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4函数的表示法(2)


函数的表示法 第2课时 分段函数及映射

主备人:王烽 议课时间:2016-9-12 上课时间:9.18-9.24

一、学习目标:
1.了解映射的概念及表示方法; 2.掌握求函数解析式的方法。

二、复习旧知
1.求分段函数的函数值:

x+2, (x≤-1);
已知函数f(x)=

x2, (-1<x<2);

2x, (x≥2). 1 ,f ? ?5 ? 的值; (1)求 f ? 3? ,f( ) 2 (2)若f(x)=3,求x的值.

1 1 ? ,f ? ?5 ? ? ?3 解:(1) f ? 3? ? 6,f( ) 2 4
(2)

x? 3

三、新课讲授:
填写下图中的对应关系
(1)相应国家的首都 A
中 国 韩 国

探究点2 映射

(2)求平方 A 1-1 2-2 3 3 B 1 4

(3)乘以2 A 1 2

B
北 京 首 尔

B
123456

9 3

X的首都 x 一对一

x2 x 多对一

x

2x

一对一

(1),(2),(3)的共同特征:集合A中的任何一个元素,在集 合B中都有唯一的元素和它对应.

映射的概念
一般地,设A、B是两个非空的集合,如果按某一个确 定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合 B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应f:A→B 为从集合A到集合B的一个映射. 注意

若对应是映射,必须满足两个条件:

①A中任何一个元素在B中都有元素与之对应. ②A在B中所对应的元素是唯一的.

映射与函数的关系:

如果A、B是非空数集,那么A到B的映射f:A→B,
就叫做A到B的函数, 记作:y=f(x) 函数是一种特殊的映射

函数

映射

对应

例1

以下给出的对应是不是从集合A到B的映射?

(1)集合A={P|P是数轴上的点},集合B=R,对应关系

f:数轴上的点与它所代表的实数对应; 是 (2)集合A={P|P是平面直角坐标系中的点},集合B=
{(x,y) | x∈R,y∈R},对应关系f:平面直角坐标系 中的点与它的坐标对应; 是 (3)集合A={x|x是新华中学的班级},集合B={x|x是新 华中学的学生},对应关系f:每一个班级都对应班里的 学生. 不是

练习:
1.判断下列对应是不是从A到B的映射:
(1)A=N,B=N*,f:x→|x-2|; 解:(1)不是。集合A中的元素2在对应关系下,B中没 有元素与之对应,故不是映射.
1 (2)A={x|0≤x≤6},B={y|0≤y≤2},f:x→y= x; 2

解:(2)A中元素6在对应关系下,B中没有元素与之对
应,故不是映射.

8

四、例题讲解:
函数解析式的求法(配凑法) 1、已知f(x+1)=3x+2,求f(x) 。

解:f ( x ? 1) ? 3( x ? 1) ? 1 ? f ( x) ? 3 x ? 1

换元法:

2、已知f(2x+1)=3x+2,求f(x) 。

t ?1 解:令t ? 2 x ? 1, t ? R,即x ? 2 t ?1 3 1 f (t ) ? 3 ? ?2? t? 2 2 2 3 1 ? f ( x) ? x ? 2 2

变式训练:1、若 f ( x ? 1) ? x ? 2 x ,求f(x)
来源:zxxk.com

f ( x) ? x ?1,x ? 1
2
1 x , 求f ( x)。 2、若 f ( ) ? 2 x 1? x

x f ( x) ? 2 ,( x ? 0,x ? ?1) x ?1

待定系数法: 1、已知f(x)是一次函数,且f[f(x)]=16x-25,

求f(x) 。

25 f ( x) ? 4 x ? 5或f ( x) ? ?4 x ? 3

方程组法:
1 2、 2 f ( x) ? f ( ) ? 3x,求 f ( x)。 x

1 f ( x) ? 2 x ? x

变式训练:
1、已知函数 f ( x)满足f ( x) ? 2 f (? x) ? 3x ? 2, 求f ( x)。

f ( x) ? x ? 2

2.已知f(x)是一次函数, 且f[f(x)]=4x?1, 求f(x)的解析式。
来源:zxxk.com

1 1 f ( x) ? 2 x ? 或f ( x) ? -2 x ? 2 2

五、小结
1、映射的定义

2、求函数解析式的方法:
待定系数法;配凑法; 换元法;方程组法

六、当堂训练:

1 1 1 2 1.已知 f ( x ? ) ? x ? 2 ? 2, 求f ( x ? ) x x x 1
1 2 f ( ) ? x ? 1 ? x 2.已知 (x>0),求f(x) x

1 f (x ? ) ? x ? 2 ? 6 x x
2

1 f ( x) ? (1 ? x 2 ? 1)( x ? 0) x

3.已知f(x)是二次函数并且 f(x+1)+f(x-
1)= 2 x 2 - 4 x ? 4 ,求f(x)的解析式.

f ( x) ? x ? 2 x ? 1
2

七、作业:
1 、已知f ( x ? 1) ? x ? 2, 求f ( x)及f ( x ?1)
2

f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 1 f ( x ? 1) ? x 2 ? 4 x ? 2

2、已知函数f ( x)满足f ( x) ? 2 f (? x) ? 3x ? 2, 求f ( x)

f ( x) ? x ? 2


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