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高一数学必修1必修2基本公式


高一数学必修 1、必修 2 基本公式
一、集合 1、集合的三个性质:确定性、互异性、无序性; 例如:高一数学难题能不能够成一个集合。 2、常用的数集符号有:自然数集 N、整数 Z、有理数 Q、实数 R、空集 ? ; 注意: (1)最小的自然数为 0; (2) ? 是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集。 3、元素与集合的关系是 ? 与 ? 的关系,集合与集合是 ? 与

? 的关系, 4、集合 A ? ?1,2,3? 的子集有 2 ? 8 个,有 ?,?1 ?,?2?,?3?,?1,2?,?1,3?,?2,3?, ?1,2,3? 。
3

5、集合的运算:

A ? B ? ? x x ? A或x ? B? , A ? B ? ? x x ? A且x ? B? , CU A ? ? x x ? U 且x ? A?
6、重要结论: (1)如果 A ? B, 则 A ? B ? B, A ? B ? A ;反之结论也成立; (2) A ? CU A ? U , A ? CU A ? ? 。 7、集合的代表元素一定要注意。 例如、 (1)集合 M ? ( x, y) x ? y ? 2 , N ? ( x, y) x ? y ? 4 则集合 M ? N = (2) 、集合 A ? x y ? x ? 1 , B ? y y ? x ? 1 ,这两个集合的关系

?

?

?

?

. 。

?

?

?

?

二、函数 1、映射:对于集合 A 中任意一个元素,在集合 B 都有唯一元素对应。 2、定义域:自变量 X 的取值范围构成的集合; 常见的题型有四类: (1)分母不为 0; (2)开偶次方根,被开方数大于或等于 0; (3)对数 的真数大于 0; (4)0 次幂的底数不能等于 0。 例:求下列函数的定义域 (1) y ?

1 ,(2) y ? x ,(3) y ? log5 x,(4) y ? ( x ? 3)0 。 x?2

3、值域:函数值 Y 的取值范围构成的集合。求值域的常见方法:直接法、图象法等。 直接法:利用常见函数的值域来求 ①一次函数 y=ax+b(a ? 0)的定义域为 R,值域为 R; ②反比例函数 y ?

k (k ? 0) 的定义域为{x|x ? 0},值域为{y|y ? 0}; x

③二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 的定义域为 R,
2 2 当 a>0 时,值域为{ y | y ? (4ac ? b ) };当 a<0 时,值域为{ y | y ? (4ac ? b ) }. 4a 4a



求下列函数的值域① y=3x+2(-1 ? x ? 1)

② f ( x) ? 2 ? 4 ? x

③y?

x x ?1

④ y ? x2 ? 2x ? 3

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解:①∵-1 ? x ? 1,∴-3 ? 3x ? 3,∴-1 ? 3x+2 ? 5,即-1 ? y ? 5,∴值域是[-1,5]

②∵ 4 ? x ? [0,??) ③y? ∵

∴ f ( x) ? [2,??) 即函数 f ( x) ? 2 ? 4 ? x 的值域是 { y| y ? 2}
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x x ?1?1 1 ? ? 1? x ?1 x ?1 x ?1
∴ y ? 1 ,即函数的值域是 { y| y?R 且 y?1}(此法亦称分离常数法)

1 ?0 x ?1

4、 (1)函数的单调性:当 x1 ? x2 , 都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则函数在该区间内为增函数; 当 x1 ? x2 , 都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则函数在该区间内为减函数。 (2)证明函数的单调性一般是根据定义来证明。步骤是:①先在定义域内任取 x1 , x2 ,②做差 比较 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 的大小,这一步最重要的是变形(常见的变形有通分、因式分解、配方法) , ③下结论。 (3)常见函数的单调性: ①一次函数单调性 y ? kx ? b ,当 k ? 0 ,函数在 R 为增函数,当 k ? 0 ,函数在 R 为减函数; ②反比例函数 y ?

k , 当 k ? 0 , 函 数 在 (??,0),(0, ??) 为 减 函 数 ; 当 k ? 0 , 函 数 在 x b 决定,其单调区间 2a

(??,0),(0, ??) 为增函数;
③二次函数 y ? ax2 ? bx ? c 的单调性由抛物线的开口方向与对称轴 x ? ? 可数形结合写出。 ④指数函数 y ? a x ,当 a ? 1 ,函数在 R 为增函数,当 0 ? a ? 1 ,函数在 R 为减函数; ⑤对数函数 y ? loga x ,当 a ? 1 ,函数在 (0, ??) 为增函数,当 0 ? a ? 1 ,函数在 (0, ?? ) 为减 函数; 5、 (1)函数的奇偶性:如果 f (? x) ? f ( x) ,则 f ( x) 为偶函数;如果 f (? x) ? ? f ( x) ,则 f ( x) 为奇函数;判断函数奇偶性的前提条件是定义域要关于原点对称。 (2)奇函数的图像关于原点对称,偶函数的图像关于 Y 轴对称,反之结论也成立。 (3)奇函数过原点(0 在定义域范围内) ; (4)奇函数的单调性在其对称区间内一致,偶函数的单调性在其对称区间内是相反的。 6、反函数:同底的指导数函数与对数函数互为反函数,它们的图形关于直线 Y=X 对称。 例、指数函数 y ? 3x 与对数函数 y ? log 3 x 互为反函数。 7、 (1)指数公式整数指数幂的概念
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an ? a ?? a? ? a? ? a(n ? N*) ? ?
n个a

a 0 ? 1(a ? 0)

a ?n ?

1 (a ? 0, n ? N *) an
n

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(2)运算性质:

m n n n a m ? a n ? a? ,( am ) ? a m ,n (ab ) ?n a? 。 b

n n (3) 根式的运算性质: ①当 n 为奇数时, ②当 n 为偶数时, a n =a; a n =|a|= ?

?a(a ? 0) . ?? a(a ? 0)



3

(?8) 3 = ;② ( ?10 ) 2 = ;③ 4 (3 ? ? ) 4 =

(4)指数函数: y ? a x (a ? 0且a ? 1) 。图象和性质如下表: a>1
6

0<a<1
6

图 象
1

5

5

4

4

3

3

2

2

1

1

1

-4

-2

0
-1

2

4

6

-4

-2

0
-1

2

4

6

(1)定义域:R 性 质 (2)值域: (0,+∞) (3)过点(0,1) ,即 x=0 时,y=1 (4)在 R 上是增函数 (4)在 R 上是减函数

8、 (1) 对数: 一般地, 如果 a?a ? 0, a ? 1? 的 b 次幂等于 N, 就是 a ? N , 那么数 b 叫做 以
b

a 为底 N 的对数,记作 loga N ? b ,a 叫做对数的底数,N 叫做真数 例如: 4 ? 16 ? log4 16 ? 2
2

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(2)重要公式:⑴负数与零没有对数;⑵ loga 1 ? 0 , loga a ? 1 ⑶对数恒等式 a
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loga N

?N
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(3) 特殊对数: 常用对数: 以 10 为底的对数叫做常用对数 常用对数 log10 N 简记作 lgN 。
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如: log10 5 简记作 lg5 ; log10 3.5 简记作 lg3.5. 自然对数:以无理数 e=2.718 为底的对数叫自然对数,自然对数 loge N 简记作 lnN 例如: loge 3 简记作 ln3 ; loge 10 简记作 ln10 (4)对数的运算法则,如果 a > 0,a ? 1,M > 0, N > 0 则 有:
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loga (MN) ? loga M ? loga N (1) M loga ? loga M ? loga N (2) N loga M n ? nloga M(n ? R) (3)
(5)对数换底公式: loga N ?

logm N logm a
② log a m b ?
n

(6)两个常用的推论:① loga b ? logb a ? 1 ,

n log a b 。 m
x
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(7)函数 y ? loga x (a ? 0且a ? 1) 叫对数函数;它是指数函数 y ? a 的反函数

对数函数对数函数的性质:
a>1 0<a<1

3

3

2.5

2.5

2

2

1.5

1.5

图 象

1
-1

1

1
1

1

0.5

0.5

0

-0.5

1

2

3

4

5

6

7

8

-1

0

1

-0.5

1

2

3

4

5

6

7

8

-1

-1

-1.5

-1.5

-2

-2

-2.5

-2.5

定义域: (0,+∞) 值域:R
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过点(1,0) ,即当 x ? 1 时, y ? 0 性 质

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x ? (0,1) 时 y ? 0

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x ? (0,1) 时
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y?0
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x ? (1,??) 时 y ? 0

x ? (1,??) 时 y ? 0
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在(0,+∞)上是增函数

在(0,+∞)上是减函数

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1 x 当 a ? 0 时,在 (0, ??) 为增函数;当 a ? 0 时,函数在 (0, ??) 为减函数。 14、 (1)零点就是使 f ( x) ? 0 的实数,零点不是点; (2)方程 f ( x) ? 0 有实数根 ? 函数 y ? f ( x) 图象与 X 轴有交点 ? 函数 y ? f ( x) 有零点。
13、幂函数:函数 y ? xa 叫做幂函数。例幂函数 y ? x2 , y ? , y ? x , y ? x 。 ( 3 )零点定理:如果函数 y ? f ( x) 在区间 ? a, b? 上的图象是连续不断的一条曲线,并且有

f (a) f (b) ? 0 ,那么 y ? f ( x) 在区间 ( a, b) 内有零点。
三、直线 1、直线的倾斜角:直线向上的方向与 X 轴所成最小正角。倾斜角取值范围是 0°≤ ? <180。 2.斜率公式:过两点 P 1 ( x1 , y1 ), P 2 ( x2 , y 2 ) 的直线的斜率公式 k ?

y2 ? y1 ? tan ? , x2 ? x1
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所有的直线都有倾斜角,当直线的倾斜角 ? = 90 ? ,没有斜率

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3.直线的方程: 直线名称 点斜式 斜截式 已知条件 直线方程 使用范围 示意图

P 1 ( x1 , y1 ), k
k, b

y ? y1 ? k ( x ? x1 )
y ? kx ? b

k存在
k存在

( x1 , y1 )
两点式 ( x2 , y 2 ) 截距式

y ? y1 x ? x1 ? y 2 ? y1 x2 ? x1
x y ? ?1 a b

x1 ? x2 , y1 ? y 2
a ? 0, b ? 0

a, b

一般式

Ax ? By ? C ? 0

A、B 不全为 0

4、两条直线的位置关系: (1) .特殊情况下的两直线平行与垂直.当两条直线中有一条直线没有斜率时: ①当另一条直线的斜率也不存在时,两直线的倾斜角都为 90°,互相平行; ②当另一条直线的斜率为 0 时,两直线互相垂直 (2) .斜率存在时两直线的平行与垂直.
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设直线 l1 和 l 2 的斜率为 k 1 和 k 2 ,它们的方程分别是: l1 : y ? k1 x ? b1 ; l 2 : y ? k 2 x ? b2 . ① l1 // l 2 ? k 1 = k 2 且 b1 ? b2 ② l1 ? l 2 ? k1 ? ?

1 ? k1k 2 ? ?1 k2

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(3)已知直线 l1 、 l 2 的方程为 l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 , l 2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 , ① l1 ∥ l 2 ?

A1 B1 C1 ; ? ? A2 B2 C2

② l1 ? l 2 ? A1 A2 ? B1 B2 ? 0 ; ③ l1 与 l 2 相交 ?

A1 B1 ? ; A2 B2 A1 B1 C1 ? ? 。 A2 B2 C2

④ l1 与 l 2 重合 ?

(4)求两直线的交点:解方程组。 四、圆 1、圆的定义:平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆

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2、圆的标准方程 : ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 圆心为 C (a, b) ,半径为 r , 特殊:若圆心在坐标原点上,这时 a ? b ? 0 ,则圆的方程就是 x 2 ? y 2 ? r 2
2 2
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3、圆的一般方程:只有当 D ? E ? 4F ? 0 时, x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ①表示的曲线才
2 2 是圆,把形如①的方程称为圆的一般方程。当 D ? E ? 4F ? 0 时,①表示以(-

D E ,- )为 2 2

圆心,

1 D 2 ? E 2 ? 4 F 为半径的圆; 2
2 2 2

4、点与圆的位置关系:点 M ( x0 , y0 ) 与圆 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r 的位置关系的判断方法: ① ( x0 ? a)2 ? ( y0 ? b)2 ? r 2 ? 点在圆上; ② ( x0 ? a)2 ? ( y0 ? b)2 ? r 2 ? 点在圆外; ③ ( x0 ? a)2 ? ( y0 ? b)2 ? r 2 ? 点在圆内。

5、直线与圆的位置关系:如果⊙O 的半径为 r,圆心 O 到直线 的距离为 d,那么 ①直线 和⊙O 相交 ②直线 和⊙O 相切 ③直线 和⊙O 相离 d<r, d=r, d>r。

6、圆与圆的位置关系:如果两圆的半径分别为 R、r,圆心距为 d,则 两圆外离 d ? r ? R ;两圆外切 d ? r ? R ;两圆相交 R ? r ? d ? r ? R ;两圆内切 d ? R ? r 两圆内含 d ? R ? r 。 五、立体几何 1、公理 1 如果一条直线的两点在一个平面内,那么这条直线上的所有点都在这个平面内 2、 公理 2 如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一 条过这个公共点的直线 3、公理 3 经过不共线的三点,有且只有一个平面 推论 1:经过直线和直线外的一点有且只有一个平面; 推论 2:经过两条相交直线有且只有一个平面; 推论 3:经过两条平行直线有且只有一个平面。 4、空间两直线的位置关系: (1)相交——有且只有一个公共点; (2)平行——在同一平面内,没有公共点; (3)异面——不在任何 一个平面内,没有公共点; ..
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5、公理 4 :平行于同一条直线的两条直线互相平行 6、如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等或互补。 推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行 ,那么这两条直线所成的锐角(或直角) 相等. 7、直线和平面的位置关系(1)直线在平面内(无数个公共点) ; (2)直线和平面相交(有且只有一个公共点) ; (3)直线和平面平行(没有公共点) ; (2)和(3)称为直线在平面外。
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8、线面平行的判定定理:平面外的一条直线和平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平 面平行. 9、平行平面的判定定理:如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面,那么这两个 平面互相平行. 10、直线与平面垂直的判定定理:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这 条直线垂直于这个平面 11、两平面垂直的判定定理: 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相 垂直
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12、线面平行的性质定理:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交, 那么这条直线和交线平行. 13、平行平面的性质定理:如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行. 14、夹在两个平行平面间的两条平行线段相等. 15、如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面 16、直线和平面所成角定义:平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和 这个平面所成的角 17、二面角的概念:平面内的一条直线把平面分为两个部分,其中的每一部分叫做半平面;从
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一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,这条直线叫做二面角的棱,每个半平面 叫做二面角的面
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18、二面角的平面角:过二面角的棱上的一点 O 分别在两个半平面内作棱的两条垂线 OA, OB , 则 ?AOB 叫做二面角 ? ? l ? ? 的平面角

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19、两平面垂直的性质定理: 若两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们的交线的直 线垂直于另一个平面 20、棱柱的概念:有两个面互相平行,其余每相邻两个面的交线互相平行,这样的多面体叫棱 柱 两个互相平行的面叫棱柱的底面(简称底) ;其余各面叫棱柱的侧面;两侧面的公共边叫棱 柱的侧棱;两底面所在平面的公垂线段叫棱柱的高。 21、棱锥的概念:有一个面是多边形,其余各面是有一个公共顶点的三角形,这样的多面体叫 棱锥 其中有公共顶点的三角形叫棱锥的侧面;多边形叫棱锥的底面或底;
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22、球的体积公式: V ?

4 ? R 3 ;球的表面积公式 S ? 4? R2 。 3

23、长方体的一条对角线长的平方等于一个顶点上的三条棱长的平方和。 24、边长为 a 的等边三角形面积为 s ?

3a 2 。 4

25、正方体内切球,球内接正方体的关系: a ? 2r, 3a ? 2r 。


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