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2014学年浙江省富阳市第二中学高三上学期第二次质量检测数学试题


浙江省富阳市第二中学 2015 届高三上学期第二次质量检测 数学(理)试题
一、 选择题:本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分.
2 x 1.设集合 A ? {x x ? 2 x ? 3 ? 0}, B ? {x 2 ? 2} ,则 A ? (CR B) 等于

( D. (0,1)

)

A. [?1,1] 2 . ( )

B. (?1, 0)

C. [1,3) 充 分 不 必 要

a ?1 b













A. a ? b 3. ( A. 0 已 ) B. 2 知 函

B. a ? b ? 0 数

C. a ? b ,

D. b ? a ? 0 则

?2 x ,( x ? 0) f ( x) ? ? ?2 f ( x ? 1),( x ? 0)
C. 4 D. 8

f (?

1 =)

4.已知 f ( x ) ? sin(? x ? 要 ( 得 ) 到

),(? ? 0) 的图像与 y ? 1 的图像的两相邻交点间的距离为 ? , 3 y ? f ( x) 的 图 像 , 只 须 把 y ? sin ? x 的 图 像

?

? 个单位 6 ? C.向左平移 个单位 3
A.向左平移

? 个单位 6 ? D.向右平移 个单位 3
B.向右平移

5 . 下 图 是 一 个 空 间 几 何 体 的 三 视 图 , 则 这 个 几 何 体 的 侧 面 积 是 ( )

A.42

B. 21

C. 24

D. 6

?3x ? y ? 3 ? 0 ? 6.设 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 ? 0 ,若目标函数 z ? ax ? by ? a ? 0, b ? 0? 的最大值为 ? x ? 0, y ? 0 ? 6, 2 3 ? 则 的 最 小 值 为 a b
( )

A.

8 3

B.

11 3

C.

25 6

D.4

7.函数 f ( x ) 是 R 上的偶函数, g ( x ) 是 R 上的奇函数,满足 f ( x ) ? g ( x ) ? ( ) ,则有
x

1

?

(

) A. f (2) ? f (3) ? g (0) C. g (0) ? f (2) ? f (3) B. f (2) ? g (0) ? f (3) D. g (0) ? f (3) ? f (2)

8.数列 {an } 前 n 项和为 Sn ,已知 a1 ? 若 ( A.

2 ,且对任意正整数 m, n ,都有 am?n ? am ? an , 3
实 数

Sn ? a
)









a











2 3 C. D.2 3 2 ? ? ? ? 9. 设 ? 为 两 个 非 零 向 量 a , b 的 夹 角 , 已 知 对 任 意 实 数 t , | b ? t a | 的 最 小 值 为 1
B. ( ) A. 若 | a | 确定,则

1 2

?

? 唯一确定

B. 若 | b | 确定,则

?

? 唯一确定

C.若 ? 确定,则 | a | 唯一确定

?

D.若 ? 确定,则 | b | 唯一确定

?

10. 已知双曲线 M:

x2 y 2 y 2 x2 ? ? 1 ? ? 1 ,其中 b ? a ? 0 ,且双曲线 M 和双曲线 N : a 2 b2 a 2 b2

与 N 的交点在两坐标轴上的射影恰好是两双曲线的焦点,则双曲线 M 的离心率为 ( ) A.

5 ?1 2

B.

5 ?1 2

C.

5?3 2

D.

3? 5 2

二、填空题:本大题共 7 个小题,每小题 4 分,共 28 分.

2 3 2 11.已知函数 f ( x) ? loga x(a ? 0且a ? 1) 满足 f ( ) ? f ( ) ,则 f (1 ? ) ? 0 的解集为 a a x
12. 已知向量 a , b 满足 | b |? 2 , b ? (a ? b) ? ?3 ,则向量 a 在 b 上的投影 为 .

? ?

?

? ? ?

?

?

13.在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,底面 ABC 为正△ ,侧棱 A1A?面 ABC,若 AB ? AA 1, 则异面直线 A1 B 与 AC 所成的角的余弦值等于 14.已知函数 f ?x ? ? ?

?log2 ?x ? 1?, x ? 0 ,且关于 x 的方程 f ?x ? ? x ? a ? 0 有两个不同的实 x ,x ? 0 ? 3

根,则实数 a 的取值范围是________________

15.已知

x2 y2 ? ? 1 (a>b>0),M,N 是椭圆的左、右顶点,P 是椭圆上任意一点,且直线 a 2 b2 PM、PN 的斜率分别为 k1 , k2 ,且 k1k2 ? 0 ,若 k1 ? k 2 的最小值为 1,则椭圆的离心率


16.已知直线 l1 : y ? 2 x , 过定点 A(3, 2) 与 x 轴上动点 P(a,0)(a ? 2) 的直线 l2 , 则直线 l1 , l2 与 x 轴正半轴围成的三角形面积的最小值= 17.在正方体 ABCD ? A1B1C1D! 中, M、N、P、Q 分别是 AB、AA 1、C1 D 1、CC1 的中点, 给出以下四个结论① AC1 ? MN ; ② AC1 //平面 MNPQ ; ③ AC1 与 PM 相交; ④ NC1 与 PM 异面, 其中正确结论的序号是 . 三、解答题:本大题共 5 个小题,共 72 分. 18.已知 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c 若 A, B, C 成等差数列, b ? 2 ,记角

A ? x, a ? c ? f ( x ) , (1)当 f ( x ) 取最大值时,求 ?ABC 的面积;
(2)若 f ( x ?

?
6

)?

12 ,求 sin 2 x 的值. 5

19.已知函数 f ( x) ? x2 ? 2 x x ? a , a ? R . 间;

(Ⅰ)当 a ? 2 时,求函数 f ( x ) 的单调区

(Ⅱ)若函数 f ( x ) 在区间 ?0, 2? 上的最小值是 ? 1 ,求实数 a 的值.

20.在四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 是一直角梯形, ?BAD ? 90? , AD / / BC, AB ? BC ? 1,

AD ? 2, PA ? 底面ABCD, PD 与底面成 30°角.
(1)若 AE ? PC , E 为垂足,求证: PD ? 平面ABE ; (2)求平面 PAB 与平面 PCD 所成的锐二面角的余弦值.

21.已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 a2 ? 17, S10 ? 100 .(I)求数列 {an } 的通项公 式; (II)若数列 {bn } 满足 bn ? an cos(n? ) ? 2n (n ? N * ) ,求数列 {bn } 的前 n 项和.

22.如图,O为坐标原点,点F为抛物线 C1 : x2 ? 2 py( p ? 0) 的焦点,且抛物线 C1 上点P 处的切线与圆 C2 : x2 ? y 2 ? 1 相切于点 Q ; (1)当直线 PQ 的方程为 x ? y ? 2 ? 0 时, 求抛物线 C1 的方程. (2)当正数 p 变化时, 记 S1 , S2 分别为 ?FPQ, ?FOQ 的面积, 求 的最小值. y F P

S1 S2

O Q

x

高三数学(理)参考答案:

?

4 3 2? 2? (sin A ? sin cos A ? cos sin A) 3 3 3
? 2 3 sin A ? 2 cos A ? 4sin( A ?
即 f ( x ) ? 4sin( x ? 当A?

?
6

),

?
6

). 1 ac sin B ? 3 2 )? 12 3 ,即 sin x ? . 5 5

?
3

时, f ( x ) 取最大值. S ?

(2)∵ f ( x ?

?
6

) ? 4sin( x ?

?
6

?

?
6

4 ∴ cos x ? ? 1 ? sin2 x ? ? . 5
4 2 3? 2? 4 若 cos x ? ? ,此时由 ? ? ? 知 x> ,这与 A ? C ? 矛盾. 5 2 5 4 3

∴ x 为锐角,故 cos x ? ∴ sin 2 x ? 2 sin x cos x ?
2

4 . 5

24 . 25
(Ⅰ)当 a ? 2 时,求函数 f ( x ) 的单调区

19.已知函数 f ( x) ? x ? 2 x x ? a , a ? R .

间; (Ⅱ)若函数 f ( x ) 在区间 ?0, 2? 上的最小值是 ? 1 ,求实数 a 的值. 解: (1)当 x ? 2 时, f ( x) ? ? x 2 ? 4 x ? ?( x ? 2)2 ? 4 ,在 (2, ??) 上递减,
2 2 当 x ? 2 时, f ( x ) ? 3 x ? 4 x ? 3( x ? ) ?

2 3

4 2 2 ,在 ( ??, ) 上递减,在 ( , 2) 上递增 3 3 3

2 2 ? f ( x )在( ??, ),(2, ??) ? ( , 2) ? 3 3
(2) f ( x ) ? ?

?? x 2 ? 2ax ? 2 ? ?3x ? 2ax

x?a x?a

? ?( x ? a ) 2 ? a 2 ? ?? a 2 a2 ?3( x ? ) ? 3 3 ?
a ? 2 时, ?

x? a x?a

a2 ? ?1, a ? 3 ,不成立 3
3 4

0 ? a ? 2 时, a ? 3, a ?
a ? 0 时,不成立

20.在四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 是一直角梯形, ?BAD ? 90? , AD / / BC, AB ? BC ? 1,

AD ? 2, PA ? 底面ABCD, PD 与底面成 30°角.
(1)若 AE ? PC , E 为垂足,求证: PD ? 平面ABE ; (2)求平面 PAB 与平面 PCD 所成的锐二面角的余弦值. E P

A

D

B

C

解 : AC ? CD , PA ? CD ? CD ? 平面PAC ? CD ? AE , 又 A E ? P C, 所 以

A E ? 平面 P C D ? AE ?

P D AB ? PD ,所以 PD ? 平面ABE ,又

(2)以A为原点,如图建立直角坐标系

则 A(0,0,0), B(1,0,0), C (1,1,0), D(0,2,0), P(0,0,

? 平面 PAB 的法向量 u ? (0,1,0) , ? 设平面 PCD 的法向量 v ? ( x, y, z) ,

2 3 ) 3

P

A

E

D

B

C

??? ? ? 2 3 PD ? v ? 2 y ? z?0 3 ??? ? ? CD ? v ? x ? y ? 0
设 x ? 1, 则y ? 1, z ? 3

? ?v ? (1,1, 3) ? ? 5 cos?u, v? ? 5

21.已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 a2 ? 17, S10 ? 100 .(I)求数列 {an } 的通项公 式; (II)若数列 {bn } 满足 bn ? an cos(n? ) ? 2n (n ? N * ) ,求数列 {bn } 的前 n 项和. 解: (I)设 ?an ? 首项为 a1 ,公差为 d,

a1 ? d ? 17 ? ?a1 ? 19 ? 则 ?10(2a ? 9d ) 解得 ? 1 ? 100 ?d ? ?2 ? ? 2 ? an ? 19 ? (n ?1) ? (?2) ? 21 ? 2n
(II)∵ bn ? an cos(n? ) ? 2n = (?1)n an ? 2n 当 n 为偶数时, Tn ? b1 ? b2 ? ... ? bn ? (?a1 ? 2) ? (a2 ? 22 ) ? (?a3 ? 23 ) ? ... ? (an ? 2n )

n 2(1 ? 2n ) ? 2n?1 ? n ? 2 …………………10 分 = (?2) ? ? 2 1? 2 当 n 为奇数时, Tn ? b1 ? b2 ? ... ? bn ? (?a1 ? 2) ? (a2 ? 22 ) ? (?a3 ? 23 ) ? ... ? (?an ? 2n ) 2(1 ? 2n ) = ?a1 ? (a2 ? a3 ) ? ...(an ?1 ? an ) ? 1? 2 n ? 1 n ?1 ? 2 ? 2 = 2n?1 ? n ? 22 = ?19 ? 2 ? 2 n ?1 ? 2 ? n ? 2(当n为偶数) ?Tn ? ? n ?1 (当n为奇数) ?2 ? n ? 22

22.如图,O为坐标原点,点F为抛物线 C1 : x2 ? 2 py( p ? 0) 的焦点,且抛物线 C1 上点P 处的切线与圆 C2 : x2 ? y 2 ? 1 相切于点 Q ; (1)当直线 PQ 的方程为 x ? y ? 2 ? 0 时, 求抛物线 C1 的方程. (2)当正数 p 变化时, 记 S1 , S2 分别为 ?FPQ, ?FOQ 的面积, 求 的最小值.

S1 S2

y F P

O Q

x

2 ? ? x ? 2 py 解: (1) ? ? ?x ? y ? 2 ? 0 ? ? 4 p2 ? 8 2 p ? 0

?p ? 2 2
? x2 ? 4 2 y
(2)切线方程为 y ?

x0 x2 x? 0 , p 2p

x0 2 2p d? ?1 x0 2 1? ( ) p
所以 x04 ? 4 p2 ? 4 x02 点Q的横坐标为: x ?

2 , x0

S1 ?

p 1 x02 x0 ( x02 ? 2) , S2 ? 2 x0 2 4 2p

S1 x04 ( x02 ? 2) x02 ( x02 ? 2) (t ? 4)(t ? 2) ? ? ? ? 3? 2 2 S2 8 p2 2( x02 ? 4) 2t

t ? 2 2,即x02 ? 4 ? 2 2时取" ? "


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