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苏锡常镇四市2013届高三教学情况调研(二)


2012-2013 学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研(二) 数学Ⅰ试题
3?i 对应的点在第 ▲ 象限. 1? i
▲ . . 2013.5

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分.不需写出解答过程,请把答案写在答题 纸的指定位置上. 1.已知 i 是虚数单位,复数 z ?

2.设全集 U

? R ,集合 A ? ?x | ?1 ? x ? 3? , B ? ?x | x ? 1? ,则 A ? ? B ? U

3.已知数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 2n ? 1,则数据 a1 , a2 , a3 , a4 , a5 的方差为 ▲ 4. x ? 3 ”是“ x ? 5 ”的 ▲ 条件(请在“充要、 “ 充分不必要、必要不充分、既不充分也不必要”中选 择一个合适的填空) . 开始

y 5.若双曲线 x ? ? 1(a ? 0) 的一个焦点到一条渐近 a
2

2

T ?1 n?2 n ? n ?1

线的距离等于 3 ,则此双曲线方程为





6.根据右图所示的流程图,输出的结果 T 为 ▲ . 7. 1 和 9 之间插入三个正数, 在 使这五个数成等比数列, 则插入的三个数的和为 ▲ .

T ? T ? (?1) n
n?4
N 输出 T 结束 Y

1 n

? ?y ? x ? 8. 在不等式组 ? 0 ? x ? 3 所表示的平面区域内所有的格 ? 1 ?y ? x ?
点(横、纵坐标均为整数的点称为格点)中任取 3 个点, 则该 3 点恰能成为一个三角形的三个顶点的概 率为 ▲ .

9. 在矩形 ABCD 中,对角线 AC 与相邻两边所成的角为 ? ,? ,则 cos2 ? ? cos2 ? ? 1 . 类 比到空间中一个正确命题是:在长方体 ABCD ? A B1C1D1 中,对角线 AC1 与相邻三个面 1 所成的角为 ? , ? , ? ,则有 ▲ .

2 2 10 . 已 知 圆 C : ( x ? a) ? ( y ? a) ? 1(a ? 0) 与 直 线 y ? 3x 相 交 于 P , Q 两 点 , 若

?PCQ ? 900 ,则实数 a ?
x



. ▲ .

11.分别在曲线 y ? e 与直线 y ? ex ? 1 上各取一点 M 与 N ,则 MN 的最小值为 12.已知向量 a , b 满足 a ?

?

?

?

? ? ? ? ? ? 2 , b ? 1 ,且对一切实数 x , a ? xb ? a ? b 恒成立,则 a
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与 b 的夹角大小为

?





13. 已知 x ,y 均为正数, ? ? ?

sin ? cos ? cos 2 ? sin 2 ? 10 ?? ? ? 且满足 , 2 ? , ? , ?, ? 2 2 x y x y 3( x ? y 2 ) ?4 2?



x 的值为 y





14.已知 a 为正的常数,若不等式 1 ? x ? 1 ?

x x2 ? 对一切非负实数 x 恒成立,则 a 的最大 2 a

值为 ▲ . 二、解答题:本大题共 6 小题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤, 请把答案写在答题纸的指定区域内. 15.(本小题满分 14 分) 如 图 ,在 ?ABC 中 , B ?

?
4

, 角 A 的 平分 线 AD 交 BC 于 点 D , 设 ?BAD ? ? ,

sin ? ?

5 . 5

A

(1)求 sin ?BAC 和 sin C ; (2)若 BA?BC ? 28 ,求 AC 的长.
B D C

??? ??? ? ?

16.(本小题满分 14 分) 已知四棱锥 S ? ABCD 的底面 ABCD 是边长为 2 的正方形, 侧面 SAB 是等边三角形, 侧 SCD 是以 CD 为斜边的直角三角形, E 为 CD 的中点, M 为 SB 的中点. 面 (1)求证: CM // 平面 SAE ; (2)求证: SE ? 平面 SAB ; S (3)求三棱锥 S ? AED 的体积.
M C E D A B

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17.(本小题满分 14 分)
2 已知等差数列 ?an ? 的公差 d 不为零,且 a3 ? a7 , a2 ? a4 ? a6 .

(1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,求满足 Sn ? 2an ? 20 ? 0 的所有正整数 n 的集合.

18.(本小题满分 16 分) 如图,设 A , B 分别为椭圆 E :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的右顶点和上顶点,过原点 O 作 a 2 b2

直线交线段 AB 于点 M (异于点 A , B ) ,交椭圆于 C , D 两点(点 C 在第一象限内) ,

?ABC 和 ?ABD 的面积分别为 S1 与 S2 .
(1)若 M 是线段 AB 的中点,直线 OM 的方程为 y ? (2)当点 M 在线段 AB 上运动时,求

1 x ,求椭圆的离心率; 3

S1 的最大值. S2
y

B C O M A D

x

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19.(本小题满分 16 分) 如图所示,有两条道路 OM 与 ON ,?MON ? 60 ,现要铺设三条下水管道 OA ,OB , AB
0

(其中 A , B 分别在 OM , ON 上) ,若下水管道的总长度为 3km ,设 OA ? a(km) ,

OB ? b(km) .
(1)求 b 关于 a 的函数表达式,并指出 a 的取值范围; (2)已知点 P 处有一个污水总管的接口,点 P 到 OM 的距离 PH 为

3 km ,到点 O 的距离 4

PO 为

7 km ,问下水管道 AB 能否经过污水总管的接口点 P ?若能,求出 a 的值,若不能, 4

请说明理由.
N B b P

O

a

H A

M

20.(本小题满分 16 分)
2 已知 a 为正的常数,函数 f ( x) ? ax ? x ? ln x .

(1)若 a ? 2 ,求函数 f ( x ) 的单调增区间; (2)设 g ( x ) ?

f ( x) ,求函数 g ( x) 在区间 ?1,e? 上的最小值. x

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2012-2013 学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研(二) 数学 II(附加题)
21. 【选做题】本题包括 A 、 B 、 C 、 D 四小题,请选定其中两题,并在相应的答题区域内作 ...... ........... 答,若多做,则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. . A. (选修 4-1 几何证明选讲) (本小题满分 10 分) 如图, ABCD 为圆内接四边形,延长两组对边分 别交于点 E , F , ?AFB 的平分线分别交 AB ,CD 于点 H , K .求证: EH ? EK .

A D K
1 2

F

H

C
B

E
B. (选修 4—2:矩阵与变换) (本小题满分 10 分)
(第 21-A 题)

已知 A(0, 0) , B (2, 0) , C (2, 2) 在矩阵 M ? ? 分别为 A?(0, 0) , B?( 3,1) , C ?(0, 2) ,求矩阵 M .

?a b ? ? 对应变换的作用下,得到的对应点 ?c d   ?

C. (选修 4—4:坐标系与参数方程) (本小题满分 10 分) 已知曲线 C 的参数方程 ?

? x ? 2 cos ? , ? ( ? 为参数) 直线 l 的极坐标方程: , ? y ? 2sin ? ?

? ? sin(? ? ) ? 1 .直线 l 与曲线 C 交于 M , N 两点,求 MN 的长.
4

D.(选修 4—5:不等式选讲) (本小题满分 10 分) 已知常数 a 满足 ?1 ? a ? 1 ,解关于 x 的不等式: ax ? x ? 1 ? 1 .

[必做题] 第 22、23 题,每小题 10 分,计 20 分.请把答案写在答题纸的指定区域内.
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22. (本小题满分 10 分) 已知抛物线 C1 : y 2 ? x ? 1 和抛物线 C2 : y 2 ? ? x ? a 在交点处的两条切线互相垂直,求实数 a 的值.

23. (本小题满分 10 分) 已知数列 ?bn ? 满足 b1 ?

1 1 , ? bn ?1 ? 2(n ? 2, n ? N *) . 2 bn

(1)求 b2 , b3 ,猜想数列 ?bn ? 的通项公式,并用数学归纳法证明;
n n (2)设 x ? bn , y ? bn ?1 ,比较 x 与 y y 的大小.
x

答案:
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