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必修二数学教案 学案(全册)-2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系


2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 【教学目标】 (1)了解空间中两条直线的位置关系; (2)理解异面直线的概念、画法,培养学生的空间想象能力; (3)理解 并掌握公理 4; (4)理解并掌握等角定理; (5)异面直线所成角的定义、范围及应用。 【教学重难点】 重点:1、异面直线的概念; 难点:异面直线所成角的计算。 【教学过程】 (一)创设情景、导入课题 问题 1: 在平面几何中,两直线的位置关系如何? 问题 2:没有公共点的直线一定平行吗? 问题 3:没有公共点的两直线一定在同一 平面内吗? 1、通过身边诸多实物,引导学生思考、举例和相互交流得出 异面直线的概念:不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。 2、师:那么,空间两条直线有多少种位置关系?(板书课题) (二)讲授新课 1、教师给出长方体模型,引导学生得出空间的两条直线有如下三种关系: 共面直线 异面直线: 相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点; 平行直线:同一平面内,没有公共 点; 不同在任何一个平面内,没有公共点。 思考:如图所示:正方体的棱所在的直线中,与直线 AB 异面的有哪些? 2、教师再次强调异面直线不共面的特点,介绍异面直线的作图,如下图: 2、公理 4 及等角定理。 3、 (1)师:在同一平面内,如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线互相 平行。在空间中,是否有类似的规律? 组织学生 思考: 长方体 ABCD-A'B'C'D'中, 吗? 生:平行。 再联系其他相应实例归纳出公理 4 公理 4:平行于同一条直线的两条直线互相平行。 直线 a∥b =>a∥c 符号表示为:设 a、b、c 是三条 BB'∥AA',DD'∥AA', BB'与 DD'平行 c∥b 强调:公理 4 实质上是说平行具有传递性,在平面、空间这个性质都适用。 公理 4 作用:判断空间两条直线平行的依据。 例 1 空间四边形 A BCD 中,E.F.G.H 分别是 AB.BC.CD.DA 的中点 求证:四边形 EFGH 是平行四边形 证明:连接 BD 因为 EH 是△A BD 的中位线,所以 EH∥BD 且 EH= 同理 FG∥BD 且 FG= 因为 EH∥FG 且 EH=FG 1 BD 2 1 BD 2 所以四边形 EFGH 是平行四边形 点评:例 2 的讲解让学生掌握了公理 4 的运用 变式:在例 1 中如果加上条件 AC=BD,那么四边形 EFGH 是什么图形? 4、组织学生思考教材 P46 的思考题 让学生观察、思考: ∠ADC 与 A'D'C'、∠ADC 与∠ A'B'C'的两边分别对应平行,这两组角的大小关系如何? 生:∠ADC = A'D'C',∠ADC + ∠A'B'C' = 180 0 教师画出更具一般性的图形,师生共同归纳出如下定理 等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相 等或互补。 教师强调:并非所有关于平面图形的结论都可以推广到空间中来。 5、以教师讲授为主,师生共同交流,导出异面直线所成的角的概念。 (1)师:如图,已知异面直线 a、b,经过空间中任一点 O 作直线 a'∥a、b'∥b,我 们把 a'与 b'所成的锐角(或直角)叫异面直线 a 与 b 所成的角(夹角) 。 (2)强调: ① a'与 b'所成的角的大小只由 a、 b 的相互位置来确定, 与 O 的选择无关, 为了简便, 点 O 一般取在两直线中的一条上; ? ② 两条异面直线所成的角θ ∈(0,2 ); ③ 当两条异面直线所成的角是直角时, 我们就说这

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