当前位置:首页 >> >>

2011年全国卷2高考理科数学试卷(及答案)


年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷) 2011 年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷) 数学
小题。 分钟。 本试卷共 4 页,三大题 21 小题。满分 150 分,考试时间 120 分钟。 注意事项: 注意事项: 答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填在试题卷和答题卡上, 1. 答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形 码粘贴在答题卡上指定位置。 码粘贴在答题卡上指定位置。 选择题每小题选出答案后, 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动, 2. 选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,答在试题卷上无效。 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,答在试题卷上无效。 毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内, 3. 填空题和解答题用 0.5 毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内,答在 试题卷上无效。 试题卷上无效。 考试结束,请将本试题卷和答题卡一并上交 卷和答题卡一并上交。 4. 考试结束,请将本试题卷和答题卡一并上交。 小题, 在每小题给出的四个选项中, 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 选择题: 有一项是满足题目要求的。 有一项是满足题目要求的。 1.复数 z = 1 + i , z 为 z 的共轭复数,则 z z ? z ? 1 = (A) -2i (B) -i (C) i (D) 2i 2. 函数 y = 2 x ( x ≥ 0 ) 的反函数为 (A) y =

x2 ( x ∈ R) 4
2

(B) y =

x2 ( x ≥ 0) 4
2

(C) y = 4 x

( x ∈ R)

(D) y = 4 x

( x ≥ 0)
(D) a > b
3 3

3.下面四个条件中,使 a > b 成立的充分而不必要的条件是 (A) a > b + 1 (B)

a > b ? 1 (C) a 2 > b 2

4.设 Sn 为等差数列 {an } 的前 n 项和,若 a1 = 1 ,公差 d = 2, S k + 2 ? S k = 24 ,则 k= (A) 8 (B) 7 (C) 6 (D) 5

5.设函数 f ( x ) = cos ω x (ω > 0 ) ,将 y = f ( x ) 的图像向右平移 像与原图像重合,则 ω 的最小值等于 (A)

π
3

个单位长度后,所得的图

1 3

(B)

3

(C) 6

(D) 9

6.已知直二面角 α ? l ? β ,点 A ∈ α , AC ⊥ l , C 为垂足, B ∈ β , BD ⊥ l , D 为垂足,若

AB = 2, AC = BD = 1 ,则 D 到平面 ABC 的距离等于

(A)

2 2

(B)

3 3

(C)

6 3

(D) 1

7.某同学有同样的画册 2 本,同样的集邮册 3 本,从中取出 4 本赠送给 4 为朋友,每位朋友 1 本,则不同的赠送方法共有 (A) 4 种 (B) 10 种 (C) 18 种 (D) 20 种 8.曲线 y = e (A)
2x

+ 1 在点 ( 0, 2 ) 处的切线与直线 y = 0 和 y = x 围成的三角形的面积为
1 2
(C)

1 3

(B)

2 3

(D) 1

9.设 f ( x ) 是周期为 2 的奇函数,当 0 ≤ x ≤ 1 时, f ( x ) = 2 x (1 ? x ) ,则 f ? ? (A) ?

? 5? ?= ? 2?

1 1 (B) ? 2 4

(C)

1 4

(D)

1 2

10.已知抛物线 C:y 2 = 4 x 的焦点为 F, 直线 y = 2 x ? 4 与 C 交于 A、 两点, cos ∠AFB = B 则 (A)

4 5

(B)

3 5

(C)

?

3 5

(D) ?

4 5
o

若 11.已知平面 α 截一球面得圆 M,过圆心 M 且与 α 成 60 二面角的平面 β 截该球面得圆 N, 该球面的半径为 4.圆 M 的面积为 4π ,则圆 N 的面积为 (B) 9π (C) 11π (D) 13π (A) 7π 12. 设向量 a, b, c 满足 a = b = 1, a b = ? (A) 2 (B)

r r r

r

r

r r

r 1 r r r r , a ? c, b ? c = 60o ,则 c 的最大值等于 2
1

3

(C)

2

(D)

小题, 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请将答案填在答题卡对应题号的位 填空题: 置上,一题两空的题 其答案按先后次序填写. 置上,一题两空的题,其答案按先后次序填写. 13. 1 ?

(

x

)

20

的二项展开式中, x 的系数与 x 的系数之差为

9

.

14. 已知 α ∈ ?

5 ?π ? ,则 tan 2α = , π ? , sin α = 5 ?2 ?

.

15. 已知 F1、F2 分别为双曲线 C :

x2 y 2 ? = 1 的左、 右焦点, A ∈ C , M 的坐标为 ( 2, 0 ) , 点 点 9 27
.

AM 为 ∠F1 AF2 的角平分线,则 AF2 =

16. 已知点 E、F 分别在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的棱 BB1、CC1 上,且 B1 E = 2 EB ,

CF = 2 FC1 ,则面 AEF 与面 ABC 所成的二面角的正切值等于

.

小题, 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 解答题: 17.(本小题满分 10 分)

?ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a, b, c 。已知 A ? C = 90o , a + c = 2b ,求 C

18.(本小题满分 12 分) 根据以往统计资料,某地车主购买甲种保险的概率为 0.5,购买乙种保险但不购买甲种 保险的概率为 0.3,设各车主购买保险相互独立。 (Ⅰ)求该地 1 为车主至少购买甲、乙两种保险中的 1 种的概率; (Ⅱ)X 表示该地的 100 为车主中,甲、乙两种保险都不购买的车主数,求 X 的期望。

19.(本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 S-ABCD 中, AB / / CD, BC ⊥ CD ,侧面 SAB 为等边三角形, AB=BC=2,CD=SD=1. (Ⅰ)证明: SD ⊥ 平面SAB ; (Ⅱ)求 AB 与平面 SBC 所成的角的大小。

20.(本小题满分 12 分) 设数列 {an } 满足 a1 = 0,

1 1 ? =1 1 ? an +1 1 ? an

(Ⅰ)求 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设 bn =

1 ? an +1 n

,记 S n =

∑b
k =1

n

k

,证明: S n < 1 。

21.(本小题满分 12 分) 已知 O 为坐标原点, 为椭圆 C : x + F
2

y2 = 1 在 y 轴正半轴上的焦点, F 且斜率为 ? 2 过 2

的直线 l 与 C 交于 A、B 两点,点 P 满足 OA + OB + OP = 0. (Ⅰ)证明:点 P 在 C 上; (Ⅱ)设点 P 关于点 O 的对称点为 Q,证明:A、P、B、Q 四点在同一个圆上。

uuu uuu uuu r r r

22.(本小题满分 12 分) (Ⅰ)设函数 f ( x ) = ln (1 + x ) ?

2x ,证明:当 x > 0 时, f ( x ) > 0 x+2
19

(Ⅱ)从编号 1 到 100 的 100 张卡片中每次随机抽取一张,然后放回,用这种方式连续

1 ?9? 抽取 20 次,设抽到的 20 个号码互不相同的概率为 p ,证明: p < ? ? < 2 e ? 10 ?

2011 年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷) 年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷)

数学试题参考答案(不是标准答案) 数学试题参考答案(不是标准答案)
一、选择题:本题考查基础知识和基本运算.每小题 5 分,满分 60 分. 选择题:本题考查基础知识和基本运算. 1. B 2. B 3. A 4. D 5.C 6. C 7. B 8. D 9. A 10.D 11. D 12. A 填空题:本题考查基础知识和基本运算. 二、填空题:本题考查基础知识和基本运算.每小题 5 分,满分 20 分. 13. 0 14.

?

4 3

15. 6

16.

2 3

小题, 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分. 解答题: 17.(本小题满分 10 分) 解:由 A ? C = 90 ,得 B = π ? A ? C =
o

π
2

? 2C

故 sin A = sin ? 由a+c =

?π ? ?π ? + C ? = cos C , sin B = sin ? ? 2C ? = cos 2C ?2 ? ?2 ?

2b ? sin A + sin C = 2 sin B , 2 cos 2C , cos C + sin C = 2 ( cos 2 C ? sin 2 C )

故 cos C + sin C = 又显然 C <

π
2

,故 cos C ? sin C =

2 2 2 ,再由 cos C + sin C = 1 , 2

解得: cos C =

6+ 2 π ,于是 C = 4 12

18.(本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)设购买乙种保险的概率为 x ,因为购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为 0.3 故 (1 ? 0.5 ) x = 0.3 ? x = 0.6 , 所以该地 1 为车主至少购买甲、乙两种保险中的 1 种的概率为 1 ? (1 ? 0.5 )(1 ? 0.6 ) = 0.8 (Ⅱ)由(Ⅰ)易知,甲、乙两种保险都不购买的概率为 1 ? 0.8 = 0.2 所以有 X 个车主甲、乙两种保险都不购买的概率为 p = C100 ( 0.2 )
X X

( 0.8 )

100 ? X

显然,X 服从二项分布,即 X 所以 EX = 100 × 0.2 = 20

B (100, 0.2 ) ,

X 的期望为 20 19.(本小题满分 12 分) (Ⅰ)证明:在直角梯形 ABCD 中,AB=BC=2,CD=1, AB / / CD, BC ⊥ CD 易算得: AD = BD = 5 , 又因为侧面 SAB 为等边三角形,SD=1,AB=2, 所以 SD + SA = 5 = AD , SD + SB = 5 = BD
2 2 2 2 2 2



于是 SD ⊥ SA , SD ⊥ SB , 所以 SD ⊥ 平面SAB (Ⅱ)设点 A 到平面 SBC 的距离为 d, 因为 SD ⊥ 平面SAB ,所以 SD ⊥ AB ,从而 SD ⊥ CD , 因而可以算得: SC =

2 ,又 SB = BC = 2 ,故 S ?SBC =

7 2

又因为 CD / / 平面SAB ,所以点 C 到平面 SAB 的距离为 SD = 1 另外,显然 S ?SBA =

3 2 ×2 = 3 , 4

所以 V四棱锥A? SBC =

1 7 1 × d = V四棱锥C ? SAB = × 3 × 1 3 2 3

得: d =

2 21 7

设 AB 与平面 SBC 所成的角为 α ,则

2 21 21 , sin α = 7 = 2 7
即 AB 与平面 SBC 所成的角为 arc sin

21 (显然 α 是锐角) 7

20.(本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)由

1 1 ? = 1 得: 1 ? an +1 1 ? an

数列 ?

? 1 ? 1 =1 ? 是等差数列,首项为 1 ? a1 ?1 ? an ?



1 1 = 1 + ( n ? 1) × 1 = n ,从而 an = 1 ? 1 ? an n
1 ? an +1 n
= 1?

(Ⅱ) bn =
n

=

1? 1?

1 n +1 = n +1 ? n = 1 ? 1 n n n +1 n n +1

所以 S n =

∑b
k =1

k

1 1 1 1 1 1 + ? +L + ? = 1? <1 2 2 3 n n +1 n +1

21.(本小题满分 12 分) (Ⅰ)证明:易知:F ( 0,1) ,故:l : y = ? 2 x + 1 ,代入椭圆方程得:4 x 2 ? 2 2 x ? 1 = 0 , 设 A ( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) , P ( x, y ) ,则 x1 + x2 =

2 , y1 + y2 = ? 2 ( x1 + x2 ) + 2 = 1 , 2

因为 OA + OB + OP = 0. 所以 ( x1 , y1 ) + ( x2 , y2 ) + ( x, y ) = ( 0, 0 )

uuu uuu uuu r r r

? 2 ? 12 ? ? 2 x, y ) = ( ? x1 ? x2 , ? y1 ? y2 ) = ? ? , ?1? ,将此坐标代入椭圆: ? ( ? 2 ? ? 2 ? + 2 =1, ? ? ? ? ?
所以点 P 在 C 上。 ( Ⅱ ) 由 ( Ⅰ ) :

2

4x2 ? 2 2x ?1 = 0



l : y = ? 2x + 1





? 2 ? 6 3 +1 ? ? 2 + 6 1? 3 ? ? ? ? 2 ? 2 A? , , , ?1? ,所以 Q ? ?, B? ? ,因为 p ? ? ? ? ? ? 2 ? ? 2 ,1? ? 4 2 ? ? 4 2 ? ? ? ? ? ? ?
于是可以算得:k AP = 2 2 + 6 ,k AQ =

6 ? 2 2 ,k BP = 2 2 ? 6 ,k BQ = ? 6 ? 2 2

tan ∠PBQ = ?4 2 , tan ∠APB =

2 2 6 , tan ∠PAQ = ?4 2 tan ∠AQB = 6 3 3

于是四边形 APBQ 对角互补,从而 A、P、B、Q 四点在同一个圆上。

22 .(本小题满分 12 分) 证明: (Ⅰ) x > 0 时, f ′ ( x ) =

2 ( x + 2) ? 2x 1 x2 ? = > 0, 2 2 1+ x ( x + 2) ( x + 1)( x + 2 )

于是 f ( x ) 在 ( 0, +∞ ) 上单调增,所以 f ( x ) > f ( 0 ) = 0 (Ⅱ) p =

100 × 99 × L × 82 × 81 99 × 98 × L × 81 = 10020 10019

=

( 99 × 81) × (98 × 81) ×L × ( 91× 89 ) × 90
100
19

(共有
19

19 ? 1 = 9 对数相乘) 2

90 2 × 902 × L × 902 × 90 9019 ? 9 ? x>0≤ = =? ? 10019 10019 ? 10 ?
由(Ⅰ) ?1 < x < 0 时,也有 f ′ ( x ) = ,

x2

( x + 1)( x + 2 )

2

>0,

故 f ( x ) 在 ( ?1, 0 ) 上单调增,所以 f ? ?

? 1? ? < f ( 0) = 0 ? 10 ?

1 ? 1? ?9? 5 ?9? 2 = ln ? ? + < 0 即 f ? ? ? = ln ? ? + ? 10 ? ? 10 ? 19 ? 10 ? 19 10 1 ?9? ?9? 即 19 ln ? ? < ?2 ,两边同时取 e 的对数得: ? ? < e ?2 = 2 e ? 10 ? ? 10 ? 1 ?9? 综上所述: p < ? ? < 2 e ? 10 ?
19 19


相关文章:
2011年高考全国卷2理科数学试题及详细解答
2011年高考全国卷2理科数学试题及详细解答_数学_高中教育_教育专区。2011 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学(必修+选修 II) 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第...
11年全国高考数学卷及答案
11年全国高考数学卷及答案_高考_高中教育_教育专区。2011 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学(必修+选修 II)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)...
2011年全国高考2卷理科数学试题及答案
2011年全国高考2理科数学试题及答案_高考_高中教育_教育专区。2011 年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷 II) 数学本试卷共 4 页,三大题 21 小题。满分 ...
2011年高考全国卷理科数学新课标卷及解析
2011年高考全国卷理科数学新课标卷及解析_数学_高中教育_教育专区。2011 年普通...2 x 上,则 cos 2? = 2011 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学 (A) ...
2011年高考数学理科试卷(全国2卷)(含答案)
2009年全国高考理科数学试... 10页 免费 2010年高考理科数学全国2卷... 8页...2011年高考理综试题及答案... 13页 5财富值如要投诉违规内容,请到百度文库投诉...
2011年高考理科数学试题及答案(新课标卷)word版(2)
2011年高考理科数学试题及答案(新课标卷)word版(2)_数学_高中教育_教育专区。2011 年普通高等学校招生全国统一考试 课标全国卷(理科数学)第I卷 一、选择题:本大...
2011年高考理科数学全国卷2及答案_图文
2011年高考理科数学全国卷2及答案2011年高考理科数学及答案 2011 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学(必修+选修Ⅱ)一、选择题(每小题 5 分,共 60 分)...
2011年高考数学理科试卷(全国2卷)(含答案)(全国卷)
绝密★启用前 2011 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学(必修+选修 II) 本试卷分第 I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第 I 卷 1 至 2 页。...
2011年全国卷高考理科数学试卷及答案word版
2011年全国卷高考理科数学试卷及答案word版_高考_高中教育_教育专区。2011 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学(必修+选修 II) 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第...
2011年高考全国2卷数学理科详细解析
2011年高考全国2卷数学理科详细解析。2011 年普通高等学校招生全国统一考试 全国Ⅱ卷理科数学(必修+选修 II) 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分...
更多相关标签: