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分类加法计数原理与分步乘法计数原理


1.1.1分类加法计数原理

与 分步乘法计数原理
(第二课时)

回顾练习:

用0,1,2,3,4这五个数字可以组成多少个无 重复数字的四位偶数?
解:完成“组成无重复数字的四位偶数”这件事,有两类办法: 第一类办法 四位偶数的个位数字为0,这件事分三个步骤 完成: 第一步 从1,2,3,4中选取一个数字做千位数字,有4种 不同的选取方法; 第二步 从1,2,3,4中剩余的三个数字中选取一个数字做 百位数字,有3种不同的选取方法; 第三步 从剩余的两个数字中,选取一个数字做十位数字, 有2种不同的选取方法; 由分步乘法计数原理,第一类的四位偶数共有 N1=4×3×2=24(个)

第二类办法 四位偶数的个位数字为2或4,这件事分四个步骤 完成: 第一步 从2,4中选取一个数字做个位数字,有2种不同的选取 方法; 第二步 从1,2,3,4中剩余的三个数字中选取一个数字做千 位数字,有3种不同的选取方法; 第三步 从1,2,3,4剩余的两个数字与0共三个数字中,选取 一个数字做百位数字,有3种不同的选取方法; 第四步 从剩余的两个数字中,选取一个数字做十位数字,有2 种不同的选取方法; 由分步乘法计数原理,第二类的四位偶数共有 N2=2×3×3×2=36(个) 最后,由分类加法计数原理,符合条件的四位偶数共有 N=N1+N2=24+36=60(个)

问题1: 给程序模块命名, 需要用3个字符, 其中首字符 要求用字母A ~ G或U ~ Z , 后两个要求用数字1 ~ 9. 问最多可以给多少个程序命名? 分析 要给一个程序模块命名 ,可以分三个步骤: 第1 步, 选首字符 ;第2步, 选中间字符 ;第 3 步选最后一个字 符.而首字符又可以分为两 类. 解 先计算首字符的选法 .由分类加法计数原理 , 首字符共有 7 ? 6 ? 13 种选法. 再计算可能的不同程序 名称.由分步乘法计数原 理,最多可以有 13 ? 9 ? 9 ? 1053 个不同的名称 ,即最多可以给 1053个程序命名 .

例1 核糖核酸 ? RNA ? 分子是在生物细胞中发现 的化学成分.一个RNA分子是一个有着数百个甚 至数千个位置的长链, 长链中每一个位置上都由 一种称为碱基的化学成分所占据 .总共有 4 种不 同的碱基, 分别用 A, C , G, U 表示 .在一个RNA 分子 中, 各种碱基能够以任意次序出现, 所以在任意一 个位置上的碱基与其他位置上的碱基无关.假设 有一类RNA分子由 100 个碱基组成, 那么能有多 少种不同的RNA分子 ?
U A C G A G C A U U A

例1.分析: 用下面的图来表示由100 个碱基组成的长链, 这时我们有100个位置, 每个位置都可以从A, C , G,U中 任选一个来占据.
第1位 第2位 第3位

??????

第100位

4种

4种

4种

4种

解 100个碱基组成的长链共有 100个位置 , 如上图所示 .从左到右依次在每个位 置中, 从 A, C, G,U中任选一个填入 , 每个位置有 4种填 根据分步乘法计数原理 ,长度为 充方法. 100的所有可能的不同 RNA 分子数目有

4 ? 4 ? ? ? ? ? 4 ? 4100 ?个?.
100个4

例 2 随 着人们生活水平的提 高 , 某城市家 庭汽车拥有量迅速增长, 汽车牌照号码需要 扩容.交通管理部门出台了一种汽车牌照组 成办法, 每一个汽车牌照都必须有 3 个不重 复的英文字母和 3 个不重复的阿拉伯数 字, 并且3个字母必须合成一组出现,3个数字也 必须合成一组出现 .那么这种办法共能给多 少辆汽车上牌照 ? 分析 按照新规定 , 牌照可以分为 2 类,即字 母组合在左和字母组合 在右.确定一个牌照 的字母和数字可以分 6个步骤.

解:将汽车牌照分为2类, 一类字母组合在左, 另一 类的字母组合在右. 字母组合在左时 ,分6个步骤确定一个汽车牌 照的 字母和数字 : 第1步, 从26个字母中选 1个, 放在首位 ,有26种选法; 第 2 步, 从剩下的 25个字母中选 1 个, 放在第 2位,有 25种选法; 第3步, 从剩下的 24个字母中选 1 个, 放在第 3位,有 24种选法;
第4步, 从10个数字中选 1个, 放在第 4位,有10种选法;

第5步, 从剩下的 9个数字中选 1个, 放在第 5位,有9 种选法; 第6步, 从剩下的 8 个数字中选 1个, 放在第 6位,有8 种选法. 根据分步乘法计数原理 ,字母组合在左的牌照共 有26 ? 25 ? 24 ? 10 ? 9 ? 8 ? 11 232 000?个?. 同理,字母组合在右的牌照也 有 11 232 000个. 所以,共能给11232000 ? 11232000 ? 22464000 辆汽车上牌照 .
升华提高: 很多实际问题需要综合应用两个基本计数原理方能解决,此 时可根据需要先分类再分步,或者先分步再分类。

探究成果
1.应用两个基本计数原理解题时,首先必须弄明白怎 样就能“完成这件事”?其次要做到合理分类,准确分步, 按元素的性质分类,按事件发生的过程分步是计数问题的 基本方法。 2.对于有特殊元素或特殊位置的问题,可优先安排。

题型一:组数问题
用0,1,2,3,4这五个数字可以组成多少个无重复数字的: (1)银行存折的四位密码? (2)四位数? (3)四位奇数? 解:(1)完成“组成无重复数字的四位密码”这件事,可以 分四个步骤: 第一步 选取左边第一个位置上的数字,有5种选取方法; 第二步 选取左边第二个位置上的数字,有4种选取方法; 第三步 选取左边第三个位置上的数字,有3种选取方法; 第四步 选取左边第四个位置上的数字,有2种选取方法; 由分步乘法计数原理,可组成不同的四位密码共有 N=5×4×3×2=120(个)

(2)完成“组成无重复数字的四位数”这件事,可以分四个步 骤: 第一步 从1,2,3,4中选取一个数字做千位数字,有4 种 不同的选取方法; 第二步 从1,2,3,4中剩余的三个数字和0共四个数字中选取 一个数字做百位数字,有4种不同的选取方法; 第三步 从剩余的三个数字中选取一个数字做十位数字,有3种 不同的选取方法; 第四步 从剩余的两个数字中选取一个数字做个位数字,有2种 不同的选取方法; 由分步乘法计数原理,可组成不同的四位数共有 N=4×4×3×2=96(个)

课堂总结
两个题型:
1.组数问题 ; 2.涂色问题。

应用两个基本计数原理解题时应注意的问题:
1.首先必须明确怎样就“完成这件事”? 2.其次分类要不重不漏,分步要步骤完整。 3.还须注意特殊元素(或特殊位置)优先安排以及是 否重复等。

作业:学案(2)、课时作
业(二)


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