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平面向量一


平面向量
一、向量的基本概念 1、 2、 3、 向量:既有大小又有方向的量。向量的长度称为向量的模。 向量的三要素:起点、方向、长度。 几种特殊向量:

①零向量:长度为 0 的向量。 规定:零向量的方向是任意的;零向量与任意向量平行 ②单位向量:长度等于 1 个单位长度; ③相等向量:长度相等且方向相同; ④相反向量:长度相同且方向相反; ⑤平行向

量:方向相同或相反的非零向量; ⑥共线向量: 任意一组平行向量可移到同一条直线上, 所以完全等同于平行向量。

二、向量的加法与减法 1、 向量的加法满足: ①交换律: 2、平行四边形法则: 作图步骤:将不共线的两个向量平移至起点相同作为临边 构造平行四边形,对角线即为和向量。 (口诀:起点相同连对角) 3、三角形法则: 作图步骤:将不共线的两个向量平移至起点相同作为三角形 的两条临边,第三边即为和向量,方向由第一个向量指向第 二个向量。 (口诀:首尾相接收尾接)
1

②结合律:

4、向量的减法(加法的逆运算) : 作图步骤:将不共线的两个向量平移至起点相同作为三角形 的两条临边,第三边即为差向量,方向由第二个向量指向第 一个向量。 (口诀:起点相同连终点,被减向量定指向)

5、共线向量的加减法: 练习:

2

三、向量的数乘运算 1、实数与向量的积:实数λ 与向量 的积λ 是一个向量,满足如下规定:

3、定理: 与非零向量 共线(平行)的充要条件是有且只有一个实数λ 使得 =λ 4、

四、平面向量的坐标运算:

3

5、特殊情况的坐标表示: ①两向量平行:

②两向量垂直: 练习:

+

=0

1、已知 A、B 两点的坐标,分别求出 ①A(3,5),B(6,9)



的坐标:

②A(-3,4),B(6,3)

2、已知向量 , ,求 + , - 的坐标: ① , ② ,

3、已知点 A(0,1)B(1,0)C(1,2)D(2,1),求证:AB∥CD。

综合练习:

4

2、下列与共线向量有关的命题: ①相反向量就是方向相反的向量; ②若两向量 , 同向,且| |>| |,则 > ; ③λ ,μ 为实数,若λ 其中错误命题的序号是 μ ,则 // ; ④若| |=| |,则 = 。

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