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空间几何体的体积


1.3.2
教学目标:

空间几何体的体积

1.了解柱、锥、台的体积公式,能运用公式求解有关体积计算问题; 2.了解柱体、锥体、台体空间结构的内在联系,感受它们体积之间的关系; 3.培养学生空间想象能力、理性思维能力以及观察能力.

教材分析及教材内容的定位: 通过分析柱体、锥体和台体空间结构的内在联 系,让学生感受柱体、锥体 和台体的体积之间的关系,体会数与形的完美结合. 教学重点: 柱、锥、台的体积计算公式 及其应用. 教学难点: 运用公式解决有关体积计算问题.

教学方法: 通过分析柱体、锥体和台体空间结构的内在联系,让学生感受柱体、锥体和 台体的体积之间的关系,体会数与形的完美结合

教学过程:
一、问题情境

类似于用单位正方形的面积度量平面图形的面积,我们可以用单位正方体 (棱长为 1 个长度单位的正方体)的体积来度量几何体的体积. 一个几何体的体积是单位正方体体积的多少倍, 那么这个几何体的体积的数 值就 是多少. 长方体的长、宽、高分别为 a,b,c,那么它的体积为 V 长方体=abc 或 V 长方体=Sh (这里,S,h 分别表示长方体的底面积和高. ) 二、学生活动 阅读课本 P59“祖暅原理”.

思考: 两个底面积相等、高也相等的棱柱(圆柱)的体积如何? 三、建构数学 1.柱体的体积.

[来源:学科网]

棱柱(圆柱)可由多边形(圆)沿某一方向平移得到,因此,两个底面积相 等、高也相等的棱柱(圆柱)应该具有相等的体积. V 2.锥体的体积. 类似地,底面积相等,高也相等的两个锥体的体积也相等.
1 V锥体 ? sh 3

柱体

= sh

3.台体的体积. 上下底面积分别是 S’,S,高是 h,则 1 V台体 ? h( S ? SS ' ? S ') 3 柱体、锥体、台体的体积公式之间有怎样的关系呢? 4.球的体积. 一个底面半径和高都等于 R 的圆柱,挖去一个以上底面为底面,下底面圆心 为顶点的圆锥后, 所得几何体的体积与一个半径为 R 的半球的体积有什么样神奇 的关系呢?——相等.
1 1 2 4 V球 ? ? R 2 ?R ? ? R 2 ?R ? ? R 3 ,所以 V球 ? ? R 3 . 2 3 3 3

四、数学运用 例1 有一堆规格相同的铁制(铁的密度是 7.8kg / cm )六角螺帽共重 6kg,已
3

知底面是正六边形,边长为 12mm,内孔直径为 10mm,高为 10mm,问这堆螺帽 大约有多少个( π 取 3.14,可用计算器)? 分析: 六角螺帽的体积是一个正六棱柱的体积与一个圆柱的体积的差,再由密度 算出一个六角螺帽的质量. 解: V ?
3 10 ?122 ? 6 ?10 ? 3.14 ? ( )2 ?10 ? 2956(mm3 ) ? 2.956(cm3 ) , 4 2

所以螺帽的个数为
6 ?1000 ? (7.8 ? 2.956) ? 260 (个)
[来源:Z*xx*k.Com]

答:这堆螺帽大约有 260 个. 例2 圆锥形封闭容器,高为 h,圆锥内水面高为 h1 , h1 ? ,若将圆锥倒置后 ,
[来源:学科网 ZXXK]

h 3

圆锥内水面高为 h2 ,求 h2 .

分析:圆锥正置与倒置时,水的体积不变,另外水面是平行于底面的平面,此平 面截得的小圆锥与原圆锥成相似体,它们的体积之比为对应 高的立方比.
2 h VS ? AB 8 ? ( 3 )3 ? 解: VS ?CD h 27

19 19 ? 19 ? 3 3 19 ? ? 倒置后:V水 : V锥 ? h23 : h3 ? ? h2 ? ? h3 ? ? h V锥 27 27 3 ? 27 ?

V水

1

例3

用刀切一个近似球体的西瓜,切下的较小部分的圆面直径为 30 cm,

高度为 5 cm,该西瓜体积大约有多大? 练习: 1.直三棱柱 ABC-A′B′C′各侧棱和底面边长均为 a,点 D 是 CC′上任意一点, 连结 A′B,BD,A′D,AD,则三棱锥 A-A′BD 的体积是多少? 2.将一个正三棱柱形的木块,旋成与它等高并且尽可能大的圆柱形,则旋 去部分的体积是原三棱柱体积的 倍;

3.表面积为 324π 的球,其内接正四棱柱的高是 1 4,求这个正四棱柱的表 面积. 五、要点归纳与方法小结 本节课学习了以下内容 1.理解柱体、锥体、台体之间的 关系;
2.球的表面积和体积公式.


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