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等比数列求和教案


等比数列求和教案
一、 教学目标 (1)知识目标:理解并掌握等比数列前 n 项和公式的推导过程及其公式的特点; (2)能力目标:能初步应用等比数列前 n 项和公式解决与之有关的问题; (3)情感目标:重视基础知识学习,积极思考探求新知。 二、 重难点 (1)重点:公式的推导、公式的特点和公式的运用; (2)难点:公式的推导方法和公式的灵活运用。 三、 教学过程 学生是认

知的主体, 设计教学过程必须遵循学生的认知规律, 尽可能地让学生去经历知 识的形成与发展过程,结合本节课的特点,我设计了如下的教学过程: 1、创设情景,提出问题: 在古印度, 有个名叫西萨的人, 发明了国际象棋, 当时的印度国王大为赞赏, 对他说: 我可以满足你的任何要求.西萨说:请给我棋盘的 64 个方格上,第一格放 1 粒小麦,第二 格放 2 粒,第三格放 4 粒,往后每一格都是前一格的两倍,直至第 64 格.国王令宫廷数学 家计算,结果出来后,国王大吃一惊.为什么呢? 此 时 我 问 : 同 学 们 , 你们 知 道 西 萨 要 的 是 多 少粒 小 麦 吗 ? 引 导 学 生 写出 麦 粒 总 数 1+ 2 + 22 + 23 + ?????? +263 .带着这样的问题,学生会动手算了起来,他们想到用计算器 依次算出各项的值,然后再求和.这时我对他们的这种思路给予肯定. 2、 师生互动,探究问题: 在肯定他们的思路后,我接着问: 1 , 2 , 22 ,?, 263 是什么数列?有何特征? 1+ 2 + 22 + 23 + ?????? +263 应归结为什么数学问题呢? 探讨 1: 设s64 =1+ 2 + 22 + 23 + ??? + 263 ,记为(1)式,注意观察每一项的特征,有何联 系?(学生会发现,后一项都是前一项的 2 倍) 探讨 2: 如果我们把每一项都乘以 2,就变成了它的后一项, (1)式两边同乘以 2 则 2 3 63 64 有 2s64 = 2 + 2 + 2 + ??? + 2 + 2 ,记为(2)式.比较(1)(2)两式,你有什么发现? 经过比较、研究,学生发现: (1) 、 (2)两式有许多相同的项,把两式相减,相同的项 64 就消去了,得到: s64 ? 2 ? 1.老师指出:这就是错位相减法,并要求学生纵观全过程,反 思:为什么(1)式两边要同乘以 2 呢? 3、 类比联想,解决问题: 这时我再顺势引导学生将结论一般化,设等比数列{an},首项为 a1,公比为 q,如何求 前 n 项和 sn?这里,让学生自主完成,并喊一名学生上黑板,然后对个别学生进行指导. a - a1q n 在学生推导完成后, 我再问:由(1 - q)sn = a1 - a1q n 得sn = 1 对不对?这里的 q 1- q 能不能等于 1?等比数列中的公比能不能为 1?q=1 时是什么数列?此时 sn=? (这里引导学 生对 q 进行分类讨论,得出公式,同时为后面的例题教学打下基础.) 4、例题讲解,深化知识 例1: 求等比数列 1 ,1 ,1 , 1 , ? ? ? 前8项和; 2 4 8 16 63 1、 等比数列 1 ,1 ,1 , 1 , ? ? ?前多少项的和是 ? 2 4 8 16 64

2、 等比数列 1 ,1 ,1 , 1 , ? ? ?, 求第5项到第 10项的和. 2 4 8 16 3、 等比数列 1 ,1 ,1 , 1 , ? ? ?求前2n项中所有偶数项的和. 2 4 8 16

首先, 学生独立思考, 自主解题, 再请学生上台来演示他们的解答, 其它同学进行评价, 然后师生共同进行总结. 5、总结归纳,加深理解 以问题的形式出现,引导学生回顾公式、推导方法,鼓励学生积极回答,然后老师再从

知识点及数学思想方法两方面总结. 6、故事结束,首尾呼应 最后我们回到故事中的问题,我们可以计算出国王奖赏的小麦约为 1.84×1019 粒,大 约 7000 亿吨,用这么多小麦能从地球到太阳铺设一条宽 10 米、厚 8 米的大道,大约是全世 界一年粮食产量的 459 倍,显然国王兑现不了他的承诺. 7、课后作业,分层练习 必做: P129 练习 1、2、3、4 选作: 思考题(1):求和 x+2x2 +3x3 +?+nxn . (2) “远望巍巍塔七层, 红光点点倍加增,共灯三百八十一, 请问尖头几盏灯?” 这首中国古诗的答案是多少?


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