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椭圆的简单几何性质1


第二章 圆锥曲线与方程 2.1.2 椭圆的简单几何性质

复习引入
1. 椭圆的定义是什么?

平面内到两定点F1、F2的距离之和为常数(大于|F1F2 |) 的动点的轨迹叫做椭圆。 2. 椭圆的标准方程是什么?

x2 y2 当焦点在X轴上时 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) a b 2 2 y x

当焦点在Y轴上时 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) a b

讲授新课
利用椭圆的标准方程研究椭圆的几何性质 以焦点在x轴上的椭圆为例

x y ? 2 ? 1 (a>b>0). 2 a b

2

2

讲授新课
1.范围

x y ? 2 ? 1 (a>b>0). 2 a b
y ? 1, 2 b
2

2

2

椭圆上点的坐标(x, y)都适合不等式

即x2≤a2,y2≤b2, ∴|x|≤a,|y|≤b.

x ? 1, 2 a

2

y b B2

A1 -a F1 O
-b B1

F2

A2 a x

椭圆位于直线x=±a和 y=±b围成的矩形里.

讲授新课
2.对称性

x y ? 2 ? 1 (a>b>0). 2 a b

2

2

在椭圆的标准方程里,把x换成-x,或 把y换成-y,或把x、y同时换成-x、-y时, 方程有变化吗?这说明什么?

y

椭圆关于y轴、x轴、原点 都是对称的. 坐标轴是椭圆的对称轴. F1 O 原点是椭圆的对称中心. 椭圆的对称中心叫做椭圆的中心.

F2

x

讲授新课
3.顶点
只须令x=0,得y=±b,点B1(0,-b)、 B2(0, b)是椭圆和y轴的两个交点;令y=0, 得x=±a,点A1(-a,0)、A2(a,0)是椭圆和 x轴的两个交点. y
B2

x y (a>b>0). ? ? 1 2 2 a b

2

2

A1
F1 O B1 F2

A2
x

讲授新课
3.顶点
只须令x=0,得y=±b,点B1(0,-b)、 B2(0, b)是椭圆和y轴的两个交点;令y=0, 得x=±a,点A1(-a,0)、A2(a,0)是椭圆和 x轴的两个交点.

y

椭圆有四个顶点: A1(-a, 0)、 A2(a, 0)、 B1(0, -b)、B2(0, b).

B2

A1

F1 O B1

F2

A2

x

椭圆和它的对称轴的四个交点叫椭圆的顶点.

讲授新课
3.顶点
线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和 短轴. 长轴的长等于2a. 短轴的长等于2b. a叫做椭圆的长半轴长.

b叫做椭圆的短半轴长.
|B1F1|=|B1F2|=|B2F1| =|B2F2|= a 在Rt△OB2F2中,

y B2 A1 b F1 O c F2 A2 x

B1

|OF2|2=|B2F2|2-|OB2|2,即c2=a2-b2.

讲授新课
小 结:
由椭圆的范围、对称性和顶点,

再进行描点画图,只须描出较少的
点,就可以得到较正确的图形.

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4.离心率

c ,叫做 椭圆的焦距与长轴长的比 e ? a 椭圆的离心率. ∵a>c>0, ∴0<e<1.
y

O

x

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4.离心率
椭圆的焦距与长轴长的比 椭圆的离心率. ∵a>c>0, ∴0<e<1.

c e? a

,叫做

(1)当e越接近1时,c越接近a,从而b ? a 2 ? c 2 越小,因此椭圆越扁;
( 2)当e越接近0时,c越接近0,从而b越接近a, 因此椭圆越接近于圆;

( 3)当且仅当a ? b时,c ? 0,两焦点重合, 图形变为圆,方程成为 x2 ? y2 ? a2 .

讲授新课
例1 求椭圆16x2+25y2=400的长轴和短轴 的长、离心率、焦点和顶点的坐标. 解:把已知方程化为标准方程

于是a=5,b=4,c=3. 因此,椭圆长轴和短轴的长分别是2a=10和2b=8, 离心率e=3/5, 两个焦点坐标分别为(-3,0)和(3,0), 四个顶点的坐标分别为 (-5,0),(5,0),(0,-4)和(0,4).

x y ? 2 ? 1, 2 5 4

2

2

讲授新课
练习 求经过点P (4, 1),且长轴长是短轴
长的2倍的椭圆的标准方程.
: 解: 若焦点在x轴上,设椭圆方程为 x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0), 2 a b

? a ? 2b ? 依题意有: ? 16 1 ? 2 ?1 2 ? b ?a
x2 y2 故椭圆方程为: ? ? 1. 20 5

?a ? 2 5 得: ? ?b ? 5

讲授新课
练习 求经过点P (4, 1),且长轴长是短轴
长的2倍的椭圆的标准方程.

解: 若焦点在y轴上,
y2 4x2 ? ? 1. 同理求得椭圆方程为: 65 65

所以椭圆的标准方程为 :
x2 y2 y2 x2 ? ? 1或 ? ? 1. 20 5 65 65 4

例2 如图,设M(x,y)与定点F(4,0)的距离和它到直

4 25 x ? 的距离的比是常数 , 线 l: 5 4
求点M 的轨迹方程.
解:设d是点M到直线的距离,根据题意,点M的轨迹就 是集合 P=﹛M︱ MF = 4 ﹜ 由此得
d 5 2 (x-4) +y2 4 = 25 5 -x 4

将上式两边平方,并化简,得,9x2+25y2=225,即
x2 y 2 ? ? 1. 25 9

所以,点M的轨迹就是长轴、短轴分别为10、6的椭圆.

小结:
本节课我们学习了椭圆的几个简单几何性质:范围、对 称性、顶点坐标、离心率等概念及其几何意义。了解了 研究椭圆的几个基本量a,b,c,e及顶点、焦点、对称 中心及其相互之间的关系,这对我们解决椭圆中的相关 问题有很大的帮助,给我们以后学习圆锥曲线其他的两 种曲线扎实了基础。在解析几何的学习中,我们更多的 是从方程的形式这个角度来挖掘题目中的隐含条件,需 要我们认识并熟练掌握数与形的联系。在本节课中,我 们运用了几何性质,待定系数法来求解椭圆方程,在解 题过程中,准确体现了函数与方程以及分类讨论的数学 思想。


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