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【成才之路】2014-2015学年高中数学 2.1.1 指数与指数幂的运算 第2课时 分数指数幂课件 新人教A版必修1


成才之路 ·数学
人教A版 ·必修1

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

第二章
基本初等函数(Ⅰ)
1.1.1 集合的概念

第二章
2.1 指数函数
1.1.1 集合的概念

第二章 2.1.1 指数与指数幂的运算
第二课时 分数指

数幂
1.1.1 集合的概念

1

预习导学

3

随堂测评

2

互动课堂

4

课后强化作业

预习导学

●课标展示 1 .理解分数指数幂的含义,掌握根式与分数指数幂的互 化. 2 .掌握指数幂的运算性质,并能对代数式进行化简或求

值.

●温故知新 旧知再现 1.根式及相关概念 (1)a的n次方根定义 n 次方根,其中n>1,且n∈N*. 如果xn=a,那么x叫做a的—

(2)a的n次方根的表示
n R ①当n是奇数时,a的n次方根表示为____ a ,a∈___. n [0,+∞) . ②当n是偶数时,a的n次方根表示为± ____ a ,a∈________

(3)根式 n 根指数 , a 叫做 a 式子 ______ 叫做根式,这里 n 叫做 _________

被开方数 . _________

2.根式的性质

0 n∈N*,且 n>1); (1) 0=___( a n∈N*,且 n>1); (2)( a)n=___( a n 为大于 1 的奇数); (3) an=___(
(4) a n
n

n

n

n

a ?a≥0? ? ___ ? |a| =? =___ ? -a ?a<0? ?______

(n 为大于 1 的偶数).

3.正整数幂的运算法则(m,n∈N*,a>0,b>0).

am+n ; am· an=________
m-n am a an =________;

amn (am)n=________ ; ambm ; (ab)m=________

4.计算

5 ; (1) ?-5?2=____ 25 ; (2)( ?-5?2)2=____ a-2 (3)( a-2) + ?2-a? + ?2-a?3=________.
2 2

3

新知导学 1.分数指数幂
m n

1

n m n m m a ,a- n =_____=_____ a ,其中 a>0, (1)意义:a =_____
m,n∈N*,n>1.

0 ,0 的 负 分 数 指 数 幂 (2)0 的 正 分 数 指 数 幂 等 于 _____ 没有意义 . __________
(3)规定了分数指数幂的意义后,指数的概念就从整数指数

有理数 指数. 推广到了_________

2.有理数指数幂的运算性质 r+s r s a (1)a s =______(a>0,r,s∈Q); ars a>0,r,s,∈Q); (2)(ar)s=_____( arbr a>0,b>0,r∈Q). (3)(ab)r=_____( [归纳总结] 三条运算性质的文字叙述: (1)同底数幂相乘,底数不变,指数相加;

(2)幂的乘方,底数不变,指数相乘;
(3)积的乘方等于乘方的积.

3.无理数指数幂
一般地,无理数指数幂aα(a>0,α是无理数)是一个确定的 ______ .有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂. 实数 [知识拓展] 在引入分数指数幂的概念后,指数概念就实 现了由整数指数幂向有理数指数幂的扩展;在引入无理数指数

幂的概念后,指数概念就实现了由有理数指数幂向实数指数幂
的扩展.

●自我检测
2 1.35

=(

) B. 35

A. 3
1

5

C.

35

D. 32

5

[答案] D

2.5



4 5

=(

) B. 1 4 55 1 5 54

A.54 5

5

C. 5

4

D.

[答案] D

3.已知 m>0,则 A.m C.1
[答案] A

1 m3

2 · m3

=(
2 B.m3 2 D.m9

)

4.已知 A.xy C.x63y
2


2 x>0,y>0,化简(x3

y



3 7

)21=(

)

x14 B. y9
1 49

2 D.21x3

y



3 7

[答案] B
[解析] x14 y9 .
2 原式=(x3 3 )21(y-7 2 )21=x3 3 ×21y-7

×21=x14y-9=

5.(5 2) A.10 C.10
2

2

=(

) B.25 D.25

[答案] B
[解析] 原式=5
2× 2

=52=25.

6.( 3)1+ 3· ( 3)1- 3=( A. 3 C.1

) B.2 3 D.3

[答案] D
[解析] 原式=( 3)1+
3+1- 3

=( 3)2=3.

互动课堂

●典例探究

1

根式与分数指数幂的互化
用分数指数幂表示下列各式(a>0,b>0):

4 用 (1) a· a; (2) a a a; 分 3 2 3 3 2 3 (3) a · 数a ; (4)( a) · ab .
指 解决本题的关键是理解分数指数幂的意义,先将 数 根式化为分数指数幂的形式,再运用分数指数幂的运算性质进 幂 行化简. 表 [分析]

3



[解析]

规律总结: 在将根式化分数指数幂的形式时,关键

是分清指数中分子、分母的位置.

1

将下列根式与分数指数幂进行互化.
2 (1)a3

;(2)a



3 4

3 2 ;(3) a a(a>0);(4)x · x (x>0).
3

3

[解析]
3 - (2)a 4

2 (1)a3

= a2. .
1 · a6 1 =a 2

3



1 4

a3 .

(3) a
3

3

1 a=a3

11 3 2 3 2 (4)x · x =x · x3 =x 3

2
2

利用分数指数幂的运算性质化简求值
3 (1) 计 算 : (2 5

) +2

0

-2

1 · (2 4

)



1 2

- - (0.01)0.5 =

________.

[分析]

(1)对于指数幂中指数、底数是负数,或是小数的

应如何化简? (2)对于根式中含有多重根号的题目应如何处理?

1 1 41 1 1 1 16 2 2 [解析] (1)原式=1+4×(9) -(100) =1+6-10=15.

规律总结:1.幂的运算的常规方法 (1)化负指数幂为正指数幂;

(2)化根式为分数指数幂;
(3)化小数为分数进行运算. 2.分数指数幂及根式化简结果的具体要求 利用分数指数幂进行根式计算时,结果可化为根式形式或 保留分数指数幂的形式,不强求统一用什么形式,但结果不能 既有根式又有分数指数幂,也不能同时含有分母和负指数.

2

化简下列各式: (1)2 3× 1.5× 12; 3 6

[解析] (1)2 3× 1.5×

3

6

1 12=2×32

31 ×(2)3 ×(3×22)

1 6

3
3

有条件的求值问题
已知
1 a2

+a



1 2

=3,求下列各式的值.

(1)a+a-1; (2)a2+a-2;

[分析] 解答本题可从整体上寻求各式与条件 联系,进而整体代入求值.

1 a2

+a



1 2



[解析] (1)将

1 a2

+a



1 2

=3 两边平方,

得 a+a-1+2=9,即 a+a-1=7. (2)将 a+a-1=7 两边平方,有 a2+a-2+2=49, ∴a2+a-2=47. (3)由于
3 a2 3 -a-2 1 =(a2 1 2

) -(a

3



)3,

=a+a-1+1=7+1=8.

规律总结:(1)条件求值是代数式求值中的常见题型,
一般要结合已知条件先化简再求值,另外要特别注意条件的应 用, 如条件中的隐含条件, 整体代入等, 可以简化解题过程. 本 题若通过
1 a2 1 +a-2

=3 解出 a 的值代入求值,则非常复杂.

(2)解决此类问题的一般步骤是

3

已知 x+y=12,xy=9,且 x<y,求

的值.

[解析]



又∵x+y=12,xy=9, ∴(x-y)2=(x+y)2-4xy=122-4×9=108. ∵x<y,∴x-y=-6 3 将②③式代入①式得



③,

●误区警示 易错点一 利用有理数指数幂的运算性质进行运算时,忽

略了底数需大于 0
4

计算:[(- 2) ]

-2 -

1 2

.
1 (-2)×(-2 )

[错解]

[(- 2) ]

-2



1 2

=(- 2)

=- 2.

[错因分析]

在利用有理数指数幂的运算性质进行运算时

忽视了底数大于0的条件.

[ 思路分析 ]

在应用有理数指数幂的运算性质进行运算
1 2

时,一定要注意底数必须大于0的数.

[正解]

[(- 2) ]

-2



1 -1 =(2) 2 = 2.

易错点二 略了底数需相同
5

利用有理数指数幂的运算性质进行运算时,忽

6 化简: a· -a. 3
3
1 6 a· -a=a3 · (-a) 1 6 1 =-a3


[错解]

1 6

1 =-a2

= a.

[错因分析]

该解法中在利用有理数指数幂的运算性质进

行运算时,忽视了底数必须相同的条件.

[思路分析]

很显然 -a有意义,则-a≥0,即 a≤0,所
1 6 1 3 1 6

6

以在进行偶次方根的化简时,要特别注意被开方数的符号.
[正解] (-a)
1 3


3

1 6 a· -a=a3 · (-a)

=-(-a)

· ( - a)

=-

1 6

1 =-(-a)2

=- -a.

1

4 化简 ?1-a? ·
2

1 =( ?a-1?3 4

)

A.- a-1 C.(a-1)
4

4

B. a-1 D. 1 4 a-1

[答案] B

[解析] 要使原式有意义,则 a-1>0 . 4 ?1-a? ·
2



3 1 - (a - 1) 4 = (a - 1)· (a - 1) 3 = |1 - a|· ?a-1?



3 4

=(a-1)

1 4

= a-1.

4

随堂测评

1. 若 a>0, 且 m, n 为整数, 则下列各式中正确的是( A.a ÷ a =a
m n
m n

)

B.am· an=am+n D.1-an=a0-n

C.(am)n=am+n

[答案] B

2. a-2可化为( A.a


5

)
5 B.a2 5 D.-a2

2 5

2 C.a5

[答案] A

4 3.a5

的根式为(
4 4

) B. a5
5

A. a C.

5

4

a5

D.

a4

[答案] A

4.下列各式中正确的是( A. B. 6
1 ?-2?2=(-2)3 3 x3y3=xy4
2 2

)

4 3

(x>0,y>0)
1 -b 3

C. a -b

1 =a3

3 x y 1 - D. y=(x) 3

(x≠0,y≠0)

[答案] D

5.若10x=3,10y=4,则10x-y=________.
[答案] 3 4

x 10 3 x-y [解析] 10 =10y=4.

6.化简求值:
3 (1)8 5 1 b2 1 )· (a2 2 ×8 5

; (2)3 3 × 3 ×

3

6

2 3 ; (3)(a 3

1 b4

)

3

1 ; (4)(a 2



1 -b2

).
3 (1)85 2 ×85
3+2

[分析] 灵活运用有理指数幂的运算性质化简求值.
[解析] =8
5

=81=8.


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