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天体运动训练题


1.已知地球半径为 R,地球表面的重力加速度为 g,不考虑地球自转的影响.求: (1)地球第一宇宙速度 v1 的表达式; (2)若地球自转周期为 T,计算地球同步卫星距离地面的高度 h. 解:(1)第一宇宙速度等于近地卫星的环绕速度,对近地卫星列牛顿第二定律方程有 解得第一宇宙速度 (2)对地球的同步卫星的万有引力提供向心力,列牛顿第二定律方程



式中

GM=gR 联立解得

2

h=

﹣R

2.人类第一次登上月球时,宇航员在月球表面做了一个实验:将一片羽毛和一个铁锤从同一 个高度由静止同时释放,二者几乎同时落地.若羽毛和铁锤是从高度为 h 处下落,经时间 t 落到月球表面.已知引力常量为 G,月球的半径为 R. (1)求月球表面的自由落体加速度大小 g 月; (2)若不考虑月球自转的影响,求:a.月球的质量 M;b.月球的“第一宇宙速度”大小 v.

解:(1)月球表面附近的物体做自由落体运动

月球表面的自由落体加速度大小

(2)a.若不考虑月球自转的影响

月球的质量

b.质量为 m'的飞行器在月球表面附近绕月球做匀速圆周运动

月球的“第一宇宙速度”大小

3.在半径 R=5 000km 的某星球表面,宇航员做了如下实验,实验装置如图甲所示.竖直平 面内的光滑轨道由轨道 AB 和圆弧轨道 BC 组成,将质量 m=0.2kg 的小球,从轨道 AB 上高 H 处的某点由静止滑下,用力传感器测出小球经过 C 点时对轨道的压力 F,改变 H 的大小, 可测出相应的 F 大小,F 随 H 的变化关系如图乙所示.求:

(1)圆轨道的半径及星球表面的重力加速度.(2)该星球的第一宇宙速度. (3) 从轨道 AB 上高 H 处的某点由静止释放小球, 要使小球不脱离轨道, H 的范围是多少?

1

解:(1)小球过

C 点时满足

又根据

联立解得 由图可知:H1=0.5m 时,F1=0 可解得 r=0.2m ; H2=1.0m 时 F2=5N,可以解得 g=5m/s2

(2)据

可解得:

(3)要使小球不脱离轨道,当小球从与小于或等于半径高处释放,小球将运动到的最大高度为与半径等高处,此过程 小球不会脱离轨道,所以小球释放高度为 H≤0.2m。当小球通过最高点时速度大于 ,

则小球下落高度至少为

,

所以小球下落高度将大于或等于 0.5m.

考点:本题考查圆周运动、机械能守恒定律和第一宇宙速度的定义的理解。

4. 月球表面的重力加速度约为地球表面重力加速度的 1/6 ,月球的半径约为地球半径的 1/4.若地球半径为 R、地球表面的重力加速度为 g,万有引力常量为 G.求: (1)月球的质量 M 月;(2)月球上的第一宇宙速度 v 月.

解:(1)物体在月球表面上时,

月球的质量 M 月=

=

=

(2)卫星在近月轨道做匀速圆周运动时,由牛顿第二定律有

月球上的第一宇宙速度为: 5.如图 5 所示, 宇航员站在某质量分布均匀的星球表面一斜坡上 P 点沿水平方向以初速度 v0 抛出一个小球,测得小球经时间 t 落到斜坡上另一点 Q 处,斜面的倾角为 α,已知该星球半 径为 R,万有引力常量为 G,求: (1)该星球表面的重力加速度; (2)该星球的密度; (3)该星球的第一宇宙速度; (4)人造卫星绕该星球表面做匀速圆周运动的最小周期。

2

6.宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小球,经过时间 t 小球落回原处;若他在某星 球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球,需经过时间 5t 小球落回原处.(取地球表面重力 加速度 g=10 m/s2,空气阻力不计) (1)求该星球表面附近的重力加速度 g′; (2)已知该星球的半径与地球半径之比为 R 星:R 地=1:4,求该星球的第一宇宙速度与地球 第一宇宙速度之比 (1)设竖直上抛小球初速度为 v0,则 v0=gt=×g′×5t,所以 g′=g=2 m/s2.

(2) 7.宇航员到了某星球后做了如下实验:如图所示,在光滑的圆锥顶用长为 L 的细线悬挂一质 量为 m 的小球, 圆锥顶角 2θ。 当圆锥和球一起以周期 T 匀速转动时, 球恰好对锥面无压力. 已 知星球的半径为 R,万有引力常量为 G.求: (1)线的拉力; (2)该星球表面的重力加速度; (3)该星球的第一宇宙速度; (4)该星球的密度.

(1)小球做圆周运动:向心力



半径



解得线的拉力



3

( 2 )

解 得 该 星 球 表 面 的 重 力 加 速

度 (3)星球的第一宇宙速度即为该星球的近“地”卫星的环绕速度 ,设近“地”卫星的质量为

,根据向心力公式有: (4)设星球的质量为 ,则:

解得星球的密度 8.已知地球质量大约是某星体质量的 81 倍, 地球半径大约是该星体半径的 4 倍.不考虑地球、 星体自转的影响,地球表面重力加速度 g=10m/s2,求: (1)该星体表面重力加速度 g 是多少? (2)若地球的第一宇宙速度是 7.9km/s,则该星体的第一宇宙速度是多少? (3)若以相同的水平速度分别在两星体表面相同的高度平抛质量相同的物体 (不计阻力) , 则水平位移之比是多少? (4)若一人在地球表面能举起 80kg 的物体,则在该星体上能举起质量是多大的物体 (1)g′=2m/s2 (3)S1:S2=1: (2)V=7.9/ (4)m=400kg =0.79 ≈1.78km/s

9.一宇航员抵达一半径为R的星球表面后,为了测定该星球的质量M,做如下实验,取一根 细线穿过光滑的细直管,细线一端栓一质量为 m 的砝码,另一端连在一固定的测力计上,手 握细直管抡动砝码,使它在竖直平面内做完整的圆周运动。停止抡动细直管,砝码可继续在 同一竖直平面做完整的圆周运动。如图所示,观察测力计得到,当砝码运动到圆周的最高点 时,测力计的读数为 F1;当砝码运动到圆周的最低点时,测力计的读数为 F2。已知引力常 量为G,试根据题中提供的条件和测量结果,求: (1)该星球表面的重力加速度; (2)该星球的质量M; (3)该星球的第一宇宙速度。 解:(1)砝码在最高点细线的拉力为 F1,速度为 v1,则

① 砝码在最低点细线的拉力为 F2,速度为 v2,则

4

② 由机械能守恒定律得

③ 由①、②、③解得

④ (2)在星球表面,万有引力近似等于重力

⑤ 由④、⑤解得

(3)由





(或由

,得



10.已知下列数据: (1)地面附近物体的重力加速度 g; (2)地球半径 R; (3)月球与地球的两球心间的距离 r; (4)卫星环绕地球运动的第一宇宙速度 v1; (5)月球绕地球运动的周期 T1; (6)地球绕太阳运动的周期 T2; (7)万有引力常数 G。 试选取适当的数据估算地球的质量。(要求给出两种方法) 解:方法一:根据万有引力定律,在地球表面附近有:

; (3 分)

得:

(3 分)

方法二:在地球表面附近,万有引力提供向心力:

5

;(3 分)

得:

(3 分)

方法三:月球绕地球做匀速圆周运动,由万有引力提供向心力可得:

;(3 分) 得: 任选两种解法。

(3 分)

11.发射地球同步卫星时, 可认为先将卫星发射至距地面高度为 h1 的圆形轨道上, 在卫星经 过 A 点时点火(喷气发动机工作)实施变轨进入椭圆轨道,椭圆轨道的近地点为 A,远地点 为 B。在卫星沿椭圆轨道运动经过 B 点再次点火实施变轨,将卫星送入同步轨道(远地点 B 在同步轨道上) , 如图所示。 两次点火过程都是使卫星沿切向方向加速, 并且点火时间很短。 已知同步卫星的运动周期为 T,地球的半径为 R,地球表面重力加速度为 g,求: (1)地球的第一宇宙速度; (2)卫星在圆形轨道运行接近 A 点时的加速度大小; (3)卫星同步轨道距地面的高度。

(1)卫星作圆周运动向心力由重力提供

…2 分

解得:

…1 分

(2)设地球质量为 M,卫星质量为 m,万有引力常量为 G、卫星在近地圆轨道运动接近 A

点时的加速度为

,根据牛顿第二定律

…2 分

物体在地球表面上受到的万有引力等于重力

…1 分

12. (20 分) 人造地球卫星绕地球旋转(设为匀速圆周运动)时, 既具有动能又具有引力势能(引 力势能实际上是卫星与地球共有的,简略地说此势能是人造卫星所具有的)。设地球的质量 为 ,以卫星离地还需无限远处时的引力势能为零,则质量为 的人造卫星在距离地心为

处时的引力势能为

(G 为万有引力常量)。

(1)试证明:在大气层外任一轨道上绕地球做匀速圆周运动的人造卫星所具有的机械 能的绝对值恰好等于其动能。

6

(2)当物体在地球表面的速度等于或大于某一速度时,物体就可以挣脱地球引力的束 缚,成为绕太阳运动的人造行星,这个速度叫做第二宇宙速度,用 的半径, 表示地球的质量, 表示。用 表示地球

表示万有引力常量。试写出第二宇宙速度的表达式。 ,证明: 。

(3)设第一宇宙速度为

(1)设卫星在半径为 r 的轨道上做匀速圆周运动的速度为 v,地球的质量为 M,卫星的 质量为 m。有万有引力提供卫星做圆周运动的向心力:

(3 分)

所以,人造卫星的动能:

(2 分)

卫星在轨道上具有的引力势能为: 所以卫星具有的机械能为:

(3 分)

所以: 分) (2)设物体在地于表面的速度为 v2,当它脱离地球引力时 机械能守恒定律得: 得

(2

,此时速度为零,由 :

(3)第一宇宙速度即为绕地球表面运行的速度,故有:



(3 分)

7

所以有:

(2 分)

8


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