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利用导数解决函数单调性问题


函数极大值、极小值 1、极大值:如果 x ? c 是函数 f(x)在某个开区间 (u , v ) 上的最大值点,即不等式

f (c) ? f ( x) 对一切 x ? (u, v) 成立, 就说函数 f(x)在 x ? c 处取到极大值 f (c) , 并称 c 为
函数 f(x)的一个极大值点, f (c) 为 f(x)的一个极大值。 2、极小值

:如果 x ? c 是函数 f(x)在某个开区间 (u , v ) 上的最小值点,即不等式

f (c) ? f ( x) 对一切 x ? (u, v) 成立, 就说函数 f(x)在 x ? c 处取到极小值 f (c) , 并称 c 为
函数 f(x)的一个极小值点, f (c) 为 f(x)的一个极小值。 3、极大值与极小值统称为极值 ,极大值点与极小值点统称为极值点;若 f ?(c) ? 0 , 则 x ? c 叫做函数 f(x)的驻点;可导函数的极值点必为驻点,但驻点不一定是极值点。 4、判别 f(c)是极大、极小值的方法:若 x0 满足 f ?(c) ? 0 ,且在 c 的两侧 f (x) 的导 数异号,则 c 是 f (x) 的极值点, f (c) 是极值,并且如果 f ?(x) 在 c 两侧满足“左正右负” , 则 c 是 f (x) 的极大值点,f (c) 是极大值; 如果 f ?(x) 在 c 两侧满足 “左负右正”则 c 是 f (x) , 的极小值点, f ( x0 ) 是极小值 5、求可导函数 f(x)的极值的步骤: (1)确定函数的定义区间,求导数 f′(x) (2)求 f(x)的驻点,即求方程 f′(x)=0 的根 (3)用函数的导数为 0 的点,顺次将函数的定义区间分成若干小开区间,并列成表格. 检查 f′(x)在方程根左右的值的符号,如果左正右负,那么 f(x)在这个根处取得极大值; 如果左负右正,那么 f(x)在这个根处取得极小值;如果左右不改变符号即都为正或都为负, 那么 f(x)在这个根处无极值 典例剖析
3 2 例 1 已知 f ( x) ? x ? ax ? bx ? c 在 x ? 1 与 x ? ?

2 时,都取得极值. 3

(1) 求 a , b 的值; (2)若 f ( ?1) ?

3 ,求 f ( x) 的单调区间和极值; 2

分析:可导函数在 x0 点取到极值时, f ( x0 ) ? 0 ;求函数极值时,先求单调区间,再求 极值。 2 解: (1)f ′(x)=3x +2a x+b=0.

2 由题设,x=1,x=- 为 f ′(x)=0 的解. 3 2 2 b 2 1 - a=1- , =1×(- ).∴a=- ,b=-2. 3 3 3 3 2 1 2 1 3 3 (2)f (x)=x - x -2 x+c,由 f (-1)=-1- +2+c= ,c=1. 2 2 2 1 2 3 ∴f (x)=x - x -2 x+1. 2

x f ′(x)

2 (-∞,- ) 3 +

2 (- ,1) 3 -

(1,+∞) +

2 2 ∴f (x)的递增区间为(-∞,- ) ,及(1,+∞) ,递减区间为(- ,1) . 3 3 2 2 49 1 当 x=- 时,f (x)有极大值,f (- )= ;当 x=1 时,f (x)有极小值,f (1)=- . 3 3 27 2 例 2 设函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? c 的图象如图所示,且与 y ? 0 在原点相切,若函数的极 小值为 ?4 , (1)求 a, b, c 的值; (2)求函数的递减区间. 分析;从图上可得 x ? 0 是函数的极大值点,函数的图象经过(0,0) 点且图象与 x 轴相切于(0,0)点,可先求出 a, b, c 的值。 解: (1)函数的图象经过(0,0)点 ∴ c=0,又图象与 x 轴相切于(0,0)点, y ' =3x +2ax+b ∴ 0=3×0 +2a×0+b,得 b=0 ∴ y=x +ax , y ' =3x +2ax
3 2 2 2 2

2 2 a 时, y' ? 0 ,当 x ? ? a 时, y' ? 0 3 3 2 当 x= ? a 时,函数有极小值-4 3 2 3 2a 2 ∴ (? a) ? a( ) ? ?4 ,得 a=-3 3 3
当x?? (2) y ' =3x -6x<0,解得 0<x<2 ∴ 递减区间是(0,2) 例 3:已知函数 f ( x ) ?
2

1 +lnx, 求 f (x) 的极值. x2

2 1 x2 ? 2 ' 解;因为 f (x)=- 3 ? ? , 令 f (x)=0,则 x= ? 2 3 x x x
'

注意函数定义域为(0, ? ? ) ,所以驻点是 x= 2 , 当 x ? (0,

2 )时 f ' (x)<0, f (x) 为减函数,

当 x ? ( 2 ,+ ? )时 f (x)>0, f (x) 为增函数,
'

所以 x= 2 是极小值点, f (x) 的极小值为 f( 2 )= 评析:注意函数的定义域 点击双基 1、函数 y=1+3x-x 有
3

1 (1+ln2),没有极大值。 2



) B。极小值-2,极大值 2 D。极小值-1,极大值 3 ( C m?0
3

A.极大值 1,极小值-1, C.极大值 3 ,极小值 –2,
3

2、函数 y=3+mx+x 有极值的充要条件是 A m>0
'
2

) D, m ? 0

B

m<0

解析: y =3 x +m=0 则方程要有两解,函数 y=3+mx+x 才有极值。 3、 f (x)在区间(a,b)的图像如右 则 f(x) 在区间(a,b)内有极大值点( ) A 2个 B。3 个 C 4个 D 1个
'

Y

a

A

B 0

C

D

x b

4 4、y=x+ 的极大值为______极小值为________ x
5、若函数 f ( x ) = x ( x - c ) 在 x ? 2 处有极大值,则常数 c 的值为_________;
2

思悟小结 1.可导函数 f(x)在极值点的导数为 0,但是导数为 0 的点不一定是极值点.如果 f(x) 在 x0 处连续,在 x0 两侧的导数异号,那么点 x0 是函数 f(x)的极值点. 2.求可导函数 f(x)的极值的步骤如下: (1)求 f(x)的定义域,求 f ? (x) ; ? (x)=0,求其稳定点; (2)由 f (3)检查 f ? (x)在方程根左右的值的符号,如果左正右负,那么 f(x)在这个根处 取极大值;如果左负右正,那么 f(x)在这个根处取极小值;如果左右同号,那么 f(x) 在这个根处不取极值.


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