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基本初等函数知识点。题型


基本初等函数——指对幂函数复习讲义
知识点: 指数幂的运算性质
① ar ? as ? ar ?s (a ? 0, r, s ? R) ③ (ab)r ? ar br (a ? 0, b ? 0, r ? R) ② (ar )s ? ars (a ? 0, r, s ? R)

对数的运算性质
对数式与指数式的互化: x ? loga

幂函数
N ? a x ? N (a ? 0, a ? 1, N ? 0) .

幂函数的定义
一般地,函数 y ? x? 叫做幂函数,其中 x 为自变量, ? 是常数.

几个重要的对数恒等式 log a 1 ? 0 , loga a ? 1 , log a ab ? b . ①加法: loga M ? loga N ? loga (MN ) ②减法: log a M ? log a N ? log a

幂函数的图象

指数函数及其性质

定义

函数

y ? a x (a ? 0 且 a ? 1) 叫做指数函数
0 ? a ?1
x

M N

a ?1
y
y?a

③数乘: n loga M ? loga M n (n ? R) ④a
log a N

y?a

x

y

?N

n ⑤ log ab M ?

n log a M (b ? 0, n ? R ) b

图象

y?1
(0,1)

y?1

⑥换底公式: log a N ?
(0,1)

logb N (b ? 0, 且b ? 1) logb a

O

1

x

0
R
(0, ??)

O

1

对数函数及其性质

x

幂函数的性质 (1)当 ? ? 0 时

0

定义

函数

y ? loga x(a ? 0 且 a ? 1) 叫做对数函数
0 ? a ?1
y
x?1

1 图象都通过点 ? 0,0 ? , ?1,1? ; ○ 2 在第一象限内,函数值随 x 的增大而增大; ○ 3 在第一象限内, ? ? 1 时,图象是向下凸的; ○

定义 域 值域 过定 点 奇偶 性 单调 性

a ?1
y
x?1

y ? loga x

y ? loga x

图象过定点 (0,1) ,即当 x ? 0 时, y ? 1 . 非奇非偶

图象
O

(1,0)

1 0

(1, 0)

x

O

1

0 ? ? ? 1 时,图象是向上凸的;

0

x

4 在第一象限内,过 ?1,1? 点后,图象向右上方无限伸展; ○

(2)当 ? ? 0 时
在 R 上是增函数 在 R 上是减函数 定义 域 值域 过定 点 奇偶 性 单调 性 在 (0, ??) 上是增函数 在第一象限内, a 越大图象越高;在第二象限内, a 越大图象越 低.

a




(0, ??)

1 图象都经过点 ?1,1? ; ○ 2 在第一象限内,函数值随 x 的增大而减小,图象是向下凸的; ○ 3 在第一象限内, 图象向上与 y 轴无限地接近, 向右与 x 轴无限地接近; ○ 4 在第一象限内,过 ?1,1? 点后, ? ○

R
图象过定点 (1, 0) ,即当 x ? 1 时, y ? 0 . 非奇非偶 在 (0, ??) 上是减函数

越大,图象下落的速度越快.

a




在第一象限内, a 越大图象越靠低;在第四象限内, a 越大图象 越靠高.

基本考点与题型:
题型一:化简求值
1、若

题型二:比较大小


f (52 x?1 ) ? x ? 2 ,则 f (125) ?
2x

1.如右图函数 (1)y ? a x(2)y ? b x(3)y ? c x (4) y ? d x 的图象则 a, b, c, d ,1 之间从小

2、若 10

? 25 ,则 10? x 等于
1 B、 ? 5





题型三:取值范围 2 1. 5 2 ?1.2 b 与 1 的大小关系正确的是 1、 设 a ? ( ) , b ? ( ) . 那么实数 a 、 ( ) 3 3 A. b ? a ? 1 B. a ? b ? 1 C. b ? 1 ? a D. a ? 1 ? b
2.设 x ? 0 且 a ? b ? 1 ,这里 a ? 0, b ? 0 ,则 a , b 的大小关系是(
x x

1 A、 5
3.设

1 C、 50
( )

1 D、 625

到大的顺序是



A. b ? a ? 1

B. a ? b ? 1

C. 1 ? b ? a

D. 1 ? a ? b )

log3 5 ? a 则 log5 27 ?
a 3

2 如右图是对数函数① y ? log a x ,② y ? logb x ,

y

A

B

3a

C

?3a

D

3 a

③ y ? logc x ,④ y ? log d x 的图象, 则 a, b, c, d 与 1 的大小关系是

① ②

3.如果 log a 3 ? logb 3 ? 0 ,那么 a , b 间的关系是( A. 0 ? a ? b ? 1 B. 1 ? a ? b 0 ? b ? a ? 1 C. D. 1 ? b ? a 4.已知 log 1 m ? log 1 n ? 0 ,则

4.若 lg2=a,lg3=b,则 log512=________.
5.计算

O

1
③ ④

log2 6 ? log6 8 ?





A. n ? m ? 1
5.若 log a

2

B. m ? n ? 1

2

C. 1 ? m ? n D. 1 ? n ? m
) C. 0 ? a ? )

A

3
f ?10
x

B

?3

3

C

1

D

4

6.如果

? ? x ,则 f ?3? 等于(
B. lg 3 C. 10 ).

2 2 2 3 2 1 2 3 3 3.已知 a ? ( ) , b ? ( ) , c ? ( ) 则 a 、 b 、 c 的大小关系为 3 3 5

3 ? 1 ,则 a 的取值范围是( 7
B. 0 ? a ?

A. a ? 1 6.若 log1
a

3 或a ?1 7

3 7

D.

3 ? a ?1 7

A. log3 10 7、化简 (
1 ? 3

D. 3

10

27 ) 的结果是( 125

4、设

?1? y1 ? 40.9 , y2 ? 80.48 , y3 ? ? ? ? 2?
? y1 ? y2
B、y2

?1.5

4 ? 1 ,则a的取值范围是 ( 3
0<a<

,则





A.

3 5

B.

5 3

A.0<a<1 或 a>1B.
C、y1

C.

3

D.5

A、y3

? y1 ? y3

? y3 ? y2

D、y1

? y2 ? y3


3 或 a ? 1 C. 4

3 <a<1 4

D.

a>

3 4

题型四:恒过定点
1、函数 2、函数

8、已知

f ( x3 ) ? lg x, 则f (2) ?
(B) lg 8
1 3



) (C) lg
1 3

5. 若0<a< 1, 则log0.5a, log3 a, log5 a三者的大小关系是 (

y ? 2 x ?3 ? 3 恒过定点

(A) lg 2

1 8

(D)

1 lg 2 3

A. C.

log0.5 a>log5 a>log3 a log3 a>log5 a>log0.5 a
0.2
1

B. D.

log5 a>log3 a>log0.5 a log0.5 a>log3 a>log5 a

y ? 5 ? a x?1 ? a ? 0, a ? 1? 恒过定点

解析:

1 x ? 2, x ? 2 ,? f (2) ? lg 2 ? lg 2 ,答案选 D 3
3

3. 函数 y ? log a ( x ? 2) ? 1 的图象过定点 4.函数

9. (lg 2) 原

2

? lg 2 ? lg50 ? lg 25=



5.设 a ? log 1

?1? 3 , b ? ? ? , c ? 2 3 ,则( ) ? 3? 2 A. a ? b ? c B. c ? b ? a C. c ? a ? b

2

y ? loga ( x ? 3) ? 3(a ? 0 且 a ? 1) 恒过定点
x

D. b ? a ? c

5、若函数 y ? a ? (b ? 1)(a ? 0, a ? 1) 的图像经过第一、三、四象限,则 一定有( ) A. a ? 1且b ? 0 C. 0 ? a ? 1且b ? 0 B. 0 ? a ? 1且b ? 0 D. a ? 1且b ? 1 )



? (lg 2)2 ? (1 ? lg5)lg 2 ? lg52 ? (lg 2 ? lg5 ? 1)lg 2 ? 2lg5

6.下列大小关系正确的是( A. 0.4

? (1 ? 1) lg 2 ? 2lg 5 ? 2(lg 2 ? lg 5) ? 2 ;

? 30.4 ? log4 0.3 ;
2

B. 0.4

2

? log4 0.3 ? 30.4 ;
0.4

C. log4 0.3 ? 0.4

? 30.4 ;

D. log4 0.3 ? 3

? 0.42

6.若 0 ? a ? 1 ,则函数 y ? loga ? x ? 5? 的图象不经过( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限

D.第四象限

题型五:定义域与值域
1.函数 y ? 2
x?1

的定义域为

,值域为

题型六:单调性

补充:
1.画出

2、函数 f(x)= 1 ? 2 x 的定义域为__________ 3.已知

?1? 1.函数 y ? ? ? ? 3?

?3? 4 x ? x2

y?2

x ?1



y ? 2x ?1

的图象。

的 , , . 2.画出函数 y ?| 3 x ? 1 | 的图象,并利用图象回答:k为何值时,方程|3x- 1|=k无解?有一解?有两解?

f ( x)

的定义域为 (0,1) ,则 值域为

f (3 x ) 的定义域为__________

单调递增区间是 单调递减区间是 值域是

4.函数 y

? 4 x ? 2 x ?1 ? 1

3x 5. 函数 y ? x 值域为 3 ?1
6.若函数 f ? x ? ? 7.函数 f ( x) ?

2.函数 y ? log 1 ( x2 ? 3x ? 2) 的

2x

2

? 2 ax ? a

? 1 的定义域为 R, 则实数 a 的取值范围




2

定义域是 单调递增区间是 单调递减区间是 值域是 . , ,

1 的定义域是 log 2 ( x ? 2)

8.函数 y ? log( x?1) (3 ? x) 的定义域是 9.函数 y= log 1 (3 ? 2 x ? x 2 ) 的定义域是
2

A. x≥1+ 3 或 x≤1- 3 C. 1+ 3 ≤x<3 或-1<x≤1- 3

B. -1<x<3 D. 1- 3 ≤x≤1+ 3

3.若函数 f ( x) ? loga ( x 2 ? ax ? 3) 在区间 (?? , ) 上是减函数,则 a 的取 值范围是( A. ) B. ?1, ?? ?

a 2

3.画出函数 y= | lg(x-1)-1| 的图象,并利用图象回答:k 为何值时, 方程| lg(x-1)-1|=k 无解?有一解?有两解?

1 10.函数 f ( x) ? 的定义域为 2 log 2 (? x ? 4 x ? 3) A. (1,2)∪(2,3) B. (??,1) ? (3,??)
C. (1,3) 11.函数 f ( x) ? D.[1,3]

? 0,1?

C. 1, 2 3 ?

?

?

D. 1, 2 3

?

?

4.已知函数 f ( x ) ? ? 的取值范围是( )

?a x , ( x ? 0) .是 (??, ??) 上的减函数,则 a ?(a ? 3) x ? 4a, ( x ? 0)
1 4

3x

2

1? x

? lg(3 x ? 1) 的定义域是(



1 A. (? , ??) 3
12.函数 域是_________

1 B. (? ,1) 3
的定义域为

1 1 C. (? , ) 3 3

1 D. (??, ? ) 3
的定义

A. ( 0, ]

1 4

B. (0,1)

C. [ ,1)

D. ( 0,3)

4、函数 f ( x) ? 2 x 围是 ( A. [6,+ ?) )

2

?2( a?1) x?1

在区间 [5,??) 上是增函数,则实数 a 的取值范

,则函数

5.已知 f ( x) ? ?

?(3a ? 1) x ? 4a , x ? 1 ,满足 (??, ??) 对任意的 x1 ? x 2 都 ? log a x, x ? 1

B. (6,??)

C. (??,6]

D. (??,6)

补充:1:若函数 y ? lg(ax ? ax ? 1) 的定义域为实数集 R,则实数 a 的取值范围 .
2



f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 0 成立那么 a 的取值范围是 ( ) x1 ? x 2
1 B. (0, ) 3 1 1 C. [ , ) 7 3 1 D. [ ,1) 7

A. (0,1) 2:★若函数 y ? lg(ax ? ax ? 1) 的值域为实数集 R,则实数 a 的取值范 围 .
2

5.设 0 ? a ? 1 , 函数 f ( x) ? loga (a 2 x ? 2a x ? 2) , 则使 f ( x) ? 0 的 x 的 取值范围是( )

A (?? , 0)

B (0 , ??)

C (?? , log a 3)

D (log a 3 , ??)


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