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千题百炼——高中数学100个热点问题(三):第96炼 平面几何


第十二章

第 96 炼 平面几何

其它高考考点

第 96 炼 平面几何
一、基础知识: 1、相似三角形的判定与性质 (1)相似三角形的判定 ① 三个角:若两个三角形对应角都相等,则这两个三角形相似 注:由三角形内角和为 180 可知,三角形只需两个内角对应相等即可 ② 两边及一夹角:若两个三角形的两条边对

应成比例,且所夹的角相等,则这两个三角形 相似 ③ 三边:若两个三角形三边对应成比例,则这两个三角形相似 ④(直角三角形)若两个直角三角形有两组对应边成比例,则这两个直角三角形相似 (2)相似三角形性质:若两个三角形相似,这它们的对应角相等,对应边成比例即相似比 (主要体现出“对应”两字) ,例如:若 ? ABC ?? A B C ,则有:
' ' '

?

?A ? ?A' , ?B ? ?B' , ?C ? ?C ' ,

AB AC ? ' ? ' ' AB A C'

BC B' C '

2、平行线分线段成比例:如图:已知 l1∥l2∥l3 ,且直线 m, n 与 平行线交于 A, B, C , D, E , F ,则以下线段成比例:

A B C

D E F

AB DE ? (上比下) BC EF AB DE ? (2) (上比全) AC DF BC EF ? (3) (下比全) AC DF
(1) 3、常见线段比例模型:

(1) “A”字形:在 ? ABC 中,平行 BC 的直线交三角形另两边于

A

D , E ,即形成一个“A”字,在“A”字形中,可得 ? ABC ? ? ADE ,
进而有以下线段成比例:
D E

AD AE ? DB EC DB CE ? ② AB AC AD AE DE ? ? ③ AB AC BC


B

C

(2) “8”字形:已知 AB∥CD ,连结 AD, BC 相交于 O ,即形成一个“8”字,在“8”

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字形中,有:

A

B O

? AOB ?? DOC ,从而
4、圆的几何性质:

AO BO AB ? ? OD CO CD
C

(1)与角相关的性质 ① 直径所对的圆周角是直角 ② 弦切角与其夹的弧所对的圆周角相等 ③ 同弧(或等弧)所对的圆周角是圆心角的一半 ④ 圆内接四边形,其外角等于内对角 (2)与线段相关的性质: ① 等弧所对的弦长相等 ② 过圆心作圆上一条弦的垂线,则直线垂直平分该弦 ③ 若一条直线与圆相切,则圆心与切点的连线与该直线垂直 5、与圆相关的定理 (1)切割线定理:设 PA 是 ? O 的切线, PBC 为割线, 则有: PA ? PB ? PC
2

D

A P B C O

(2) 相交弦定理: 设 AB, CD 是圆内的两条弦, 且 AB, CD 相交于 P ,则有 AP ? BP ? CP ? DP (3)切线长定理:过圆外一点 P 可作圆的两条切线,且这 两条切线的长度相等

6、射影定理:已知在直角三角形 ABC 中, ?BCA ? 90 , CD 为斜边 AB 上的高(双垂直
?

特点) ,则以下等式成立:

B

BC 2 ? BD ? BA

A C2 ? A D ? AB

C D2 ? B D ? AD

D

注:射影定理结合勾股定理,以及等面积法。在直角三角形 ABC 中的边 AC, BC, BD, DA, CD 这五条线段中,可做到已知两条边 的长度,即可求出所有边的长度 7、平面几何中线段长度的求法: (1)观察所求线段是否是某个定理的一部分,从而凑齐该定理的其他条件即可求出该线段 (2)考虑所求线段是否与其它线段存在比例关系
C A

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(3)可将此线段放入三角形中,考虑是否能通过正余弦定理解决 (4)若不易找到题目中各线段与所求线段的联系,可考虑将所求线段设为 x ,通过方程进 行求解。 二、典型例题: 例 1:如图,已知 PA 切 ? O 于 A 点,割线 PCD 与弦 AB 相交于 E 点,且 PA ? PE ? BE , 若 PC ? 4, CD ? 21 ,则 AE 的长为___________ 思路:由 PA 是切线, PCD 是割线联想到切割线定理,所以有:

PA2 ? PC ? PD ? PC ? ? PC ? CD? ? 100 ,解得 PA ? 10 ,从而
PE ? BE ? 10 ,求 AE 可联想到相交弦定理: AE ? BE ? CE ? DE ,
即 AE ?

CE ? DE ,其中 CE ? PE ? PC ? 6 , DE ? CD ? CE ? 15 ,代入可得: BE 6 ? 15 AE ? ?9 10

答案: 9 例 2:如图,四边形 ABCD 内接于圆 O , DE 与圆 O 相切于点 D , AC ? BD ? F , F 为

AC 的中点, O ? BD , CD ? 10 , BC ? 5 ,则 DE ?
思路:由 DE 与圆 O 相切可想到切割线定理:即 DE ? EA ? EB ,
2


E A F O D C

因为 BD 是直径,且 F 为 AC 的中点,所以 BD 垂直平分 AC ,且

? BAD 和 ? BCD 为对称的直角三角形。所以 AD ? CD ? 10 ,

AB ? BC ? 5 ,所以 BD ? AD2 ? AB2 ? 35 。在 ? EDF 中,

B

, ,所以由射影定理可知 由 切 线 可 知 ED ? BD , 且 AD ? BE

BD 2 ? BA ? BE ? BE ?
答案: 14

BD 2 ? 7 ,则 AE ?BE ?AB ? 2 ,进而 DE ? EA ? EB ? 14 BA

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例 3 : 如 图 , PA 与 圆 O 相 切 于 A , PCB 为 圆 O 的 割 线 , 并 且 不 过 圆 心 O , 已 知

?BPA ? 30? , PA ? 2 3 , PC ? 1 ,则圆 O 的半径等于__________.
2 思路:由 PA 与圆 O 相切于 A 可知 PA ? PC? PB,可得

PB ?

PA2 ? 12 ,从而 BC ? PB ? PC ? 11 ,在 ? PAD 中, PC
C P

O

B

可由 ?BPA ? 30? , PA ? 2 3 ,可得: DA ? 2, PD ? 4 , 从而 CD ? 3, BD ? 5 ,观察圆内的弦,延长 AO 交圆于 E , 从 而 有 AD ? DE ? CD ? DB , 与 半 径 进 行 联 系 可 得 :

A

E

AD ? ? 2R ? AD? ? CD ? DB ,代入数值可得 R ? 7
C

O D A

B

答案: R ? 7
P

例 4:如图, P 是半圆 O 的直径 BC 延长线上一点, PT 切半 圆 于 点 T , TH ? BC 于 H , 若 PT ? 1, PB? PC? 2 a , 则 PH ? ( A. )

2 a

B.

1 a

C.

a 2

D.

a 3

思路:因为 PT 切半圆于点 T ,所以考虑连结圆心与切点,可得:OT ? PT ,在 Rt ?PTO 中 具 有 双 垂 直 的 特 点 , 所 以 只 需 已 知 两 条 边 即 可 求 出 PH , 由 切 割 线 定 理 可 得 :
2 ? PB ? PC ? 2a ? ? PC ? a ? a ? 1 PT 2 ? PC ? PB , ? ,所以 ?? 2 ? PB ? PC ? 1 ? ? PB ? a ? a ? 1

BC ? PC ? PB ? 2 a2 ? 1 ,即 r ? a2 ? 1 ,从而 OT ? r ? a 2 ? 1, PO ? PC ? r ? a ,
由射影定理可得: PT ? PH ? PO ? PH ?
2

PT 2 1 ? PO a

答案:B 例 5:如图, PB 为 ? ABC 外接圆 O 的切线, BD 平分 ?PBC ,交圆 O 于 D , C, D, P 共线.若 AB ? BD, PC ? PB, PD ? 1 ,则圆 O 的半径 是 .

思 路 : 由 AB ? BD 可 知 AD 为 圆 O 的 直 径 , 由 弦 切 角 性 质 可 得

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? ) ?BAD ? ?DBP , 且在圆中 ?BAD ? ?BCD(对同弧 BD , 由 BD 平


?PBC





?D

B ?P

? , D 进 B 而C

?BAD ? ?BCD ? ?DBC ? ?DBP , 在 R ? t B P中 D,可知:

??BCD ? ?DBC ? ?DBP ? ?BCD ? ?DBC ? ?DBP ? 30? ? ? ??BCD ? ?DBC ? ?DBP ? 90
? ? ABD , 所 以 由 PD ? 1 可 得 : BD ? 2 PD ? 2 , 在 R t 中 , ?BAD ? 30 , 可 得

AD ? 2 BD ? 4 ,从而 r ?
答案: 2

1 AD ? 2 2

例 6:如图, ?ABC 内接于⊙ O ,过 BC 中点 D 作平行于 AC 的直线 l , l 交 AB 于点 E , 交 ⊙ O 于 G 、 F , 交 ⊙ O 在 点 A 切 线 于 点 P , 若

PE ? 3, ED ? 2, EF ? 3 ,则 PA 的长为



2 思 路 : 由 PA 为 切 线 可 想 到 切 割 线 定 理 , 所 以 PA ? PG ? PF ,

PF ? PE ? ED ? EF ? 8 ,只需求出 PG 即可。因为 PA 为切线,所以
弦切角 ?PAE ? ?C ,因为 PF∥AC ,所以 ?BDE ? ?C ,从而 ?BDE ? ?PAE ,进而

? E 可 证 ? P A E? ? B D

PE AE ? ? BE DE

A? E B?E D ? E ? G? E

P ? E D相 E 交弦定理可知: ,由 P E ? D E E ? F G? E 2 , 所 以 EF

AE ? BE ? GE ? EF , 所 以 P E ? P G ?
答案: 6

P ?E

1G ? 代入 E PA2 ? PG ? PF 可得: PA ? 6 ,

例 7:如图,已知 AB 和 AC 是圆的两条弦,过点 B 作圆的切线 与 AC 的延长线相交于 D ,过点 C 作 BD 的平行线与圆交于点

E ,与 AB 相交于点 F , AF ? 6 , FB ? 2 , EF ? 3 ,则线段
CD 的长为_________
思路:由 BD 是切线且 DCA 是割线可想到切割线定理,所以
2 CD ? AD ? BD ①,分别计算各线段长度。由 AF ? 6 , FB ? 2 , EF ? 3 可使用相交弦定

理得: CF ?

AF ? FB CF AF 3 16 ? 4 ,再由 CF∥BD 可得: ? ? ,所以 BD ? ,同时 EF BD BF 4 3

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AD AB 1 8 ? ? 4 ? AD ? 4CD ,代入①可得: 4CD 2 ? BD 2 ? CD ? BD ? CD FB 2 3 8 答案: 3
例 8 :如图,已知 PA 与 ? O 相切, A 为切点,过点 P 的割线交 ? O 于 B, C 两点,弦

CD / / AP , EB E : 点 F 为 CE 上一点, 且 ?P ? ?EDF , 若C AD, BC 相交于点 E ,

? 3 : 2



DE ? 3 , EF ? 2 ,则 PA ?

.

思 路 : 由 PA 与 ? O 相 切 可 想 到 切 割 线 定 理 , 即

PA2 ? PB ? PC ,只需求出 PB, PC 即可。从题目条件中很难
直接求出这两个量,考虑寻找题目中的相似三角形。由

??P ? ?EDF 可 得 : ? AEP ?? FED , 所 以 ? ??AEP ? ?FED
AE EP ? ? AE ? ED ? EP ? EF ①。由切割线定理可知 AE ? ED ? BE ? EC ②。因为 FE ED

CD / / AP







?C ? ?P







?C

?

E ? D , F所



CE DE ??C ? ?EDF ? ? DE 2 ? CE ? EF ,代入 DE ? 3 , ??CED ?? DEF ,则 ? ED EF ? CED ? ? CED ?
EF ? 2 可 得 CE ?

9 2 27 ? C E? 3 , 由 ① 可 算 得 EP ? , 所 以 B E? ,所以 2 3 4

BP ? EP ? BE ?

15 45 15 3 , PC ? PE ? CE ? 。则 PA ? PB ? PC ? 4 4 4

答案:

15 3 4

OD 平分 ?AOC 例 9: 如图,PA 切圆 O 于点 A , 割线 PBC 经过圆心 O , 若 PB ? OB ? 1 ,
交圆 O 于点 D ,连结 PD 交圆 O 于点 E ,则 PE 的长等于__________ 思路:由图可知若要求得 PE ,可想到切割线定理 模型 PE ? PD ? PA ,只需求得 PA, PD 即可。由
2

D

A

E

割线 PBC 与切线 PA 可想到切割线定理,从而可 计 算 出 PA ?

C

O

B

P

3 , 考虑 计算 PD , 可将 其 放入

? DOP 中计算,已知的边有 OD ? 1, OP ? 2 ,需

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要求解 ?DOP ,在 Rt? AOP 中,通过边的关系可判定 ?AOP ?

?

3 2? 由角平分线可知 ?AOD ? ,所以 ?DOP ? 。从而可用余弦定理计算出 PD ,即可算 3 3

,进而 ?AOC ?

?

2? , 3

出 PE 解:? PA 切圆 O 于点 A

? PA2 ? PB ? PC

由 PB ? OB ? 1 可得: r ? 1

? PC ? PB ? BC ? 1 ? 2 ? 3

? PA ? PB ? PC ? 3
在 ? AOP 中, OA ? AP, OA ? 1.OP ? 2, AP ? 3

??AOP ?

?
3

??AOC ?

? OD 平分 ?AOC

1 ? ??AOD ? ?AOC ? 2 3 2? ??POD ? ?AOD ? ?AOP ? 3

2? 3

?在 ? POD 中,由余弦定理可得: DP2 ? OP2 ? OD2 ? 2OP ? OD cos POD ? 7
? DP ? 7
由切割线定理可得: PE ? PD ? PA
2

? PE ?

PA2 3 3 7 ? ? PD 7 7

答案:

3 7 7

例 10:如图, AB, CD 是圆 O 的两条平行弦, AF ∥ BD 交

CD 于点 E ,交圆 O 于点 F ,过 B 点的切线交 CD 延长线于
点P , 若P D? C E ?1 P ,B ? 5 ,则 BC 的长为__________ 思路: 由切割线定理可得 PB ? PD ? PC ? PC ?
2

A O C E F

B

D

P

PB 2 ?5 PD

从而 DE ? PC ? PD ? CE ? 3 ,由两组平行关系可得四边形 ABDE 为平行四边形,从而

CM CE 1 1 3 AE ? BD , ? ? , 由 AF∥BD 可得: 若设 BC 为 x , 则 CM ? x, BM ? x , CB CD 4 4 4
可想到相交弦定理, AM ? FM ? CM ? BM ①,所以只需用 x 表示出 AM , FM 即可得到关

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于 x 的方程。因为 BP 与圆相切,所以 ?C ? ?DBP ,结合 ? P 可得:? BCP ?? DBP ,所 以 有

B C ? D B

C P ?5 B P

? B D

1 ? 5

, 即 AE ? x

1 x , 结 合 比 例 可 知 : 5
交 弦 定 理 可 得 :

AM ?

3 3 1 AE ? x, EM ? x 4 4 5 4 5







AE ? EF ? CE ? ED ? EF ?
3

CE ? ED 3 5 ? AE x















? 1 3 5? 1 3 x? x? ? ? x ? x ,解得: x ? 15 x ? 4 4 4 5 ?4 5
答案: BC ? 15 三、历年好题精选

M , N 是弦 AB 的三等分点, 1、 (2015, 天津) 如图, 在圆 O 中, 弦 CD, CE 分别经过点 M , N ,
若 CM ? 2, MD ? 4, CN ? 3 ,则线段 NE 的长为( A. ) D.
D

8 3

B.

3

C.

10 3

5 2
A M C

E O N B

2、 (2015,广东)如图,已知 AB 是圆 O 的直径, AB ? 4 , EC 是圆 O 的切线,切点为

C , BC ? 1 ,过圆心 O 作 BC 的平行线,分别交 EC , AC 于点

D 和点 P ,则 OD ? ______
D E

C

B

P

O

A 图1

3、 (2014,重庆)过圆外一点 P 作圆的切线 PA ( A 为切点) ,再作割 线 PBC 依 次 交 圆 于 B, C , 若 PA ? 6, AC ? 8, BC ? 9 , 则

AB ? ________

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4、 (2015,新课标 II)如图, O 为等腰三角形 ABC 内一点, ? O 与 ? ABC 的底边 BC 交于

M , N 两点,与底边上的高 AD 交于点 G ,且与 AB, AC 分
别相切于 E , F 两点 (1)证明: EF∥BC (2)若 AG 等于 ? O 的半径,且 AE ? MN ? 2 3 ,求四 边形 EBCF 的面积
B M

A G E F

D

N

C

5、 (2014,湖北)如图, P 为 ? O 外一点,过 P 点作 ? O 的两 条切线,切点分别为 A, B ,过 PA 的中点 Q 作割线交 ? O 于

C , D 两点,若 QC ? 1, CD ? 3 ,则 PB ? _______

6、 (2014, 新课标全国卷 I) 如图, 四边形 ABCD 是 ? O 的内接四边形,AB 的延长线与 DC 的延长线交于点 E ,且 CB ? CE (1)证明: ?D ? ?E (2) 设 AD 不是 ? O 的直径,AD 的中点为 M , 且 MB ? MC ,

7、 (2014,新课标 II)如图, P 是 ? O 外一点, PA 是切线, A 为切 点,割线 PBC 与 ? O 相交于点 B, C , PC ? 2 PA , D 是 PC 的中点,

AD 的延长线交 ? O 于点 E ,证明:
(1) BE ? EC (2) AD ? DE ? 2 PB
2

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8、 (2014,天津)如图所示: ? ABC 是圆的内接三角形, ?BAC 的平 分线交圆于点 D ,交 BC 于点 E ,过点 B 的圆的切线与 AD 的延长线 交于点 F ,在上述条件下,给出以下四个结论:
2 ① BD 平分 ?CBF ;② FB ? FD ? FA ;③ AE ? CE ? BE ? DE ;

④ AF ? BD ? AB ? BF ,则所有正确结论的序号是( A. ①② B. ③④ C. ①②③



D. ①②④

9、如图,在 ? ABC 中, AB ? 3, BC ? 4, CA ? 5 ,点 D 是 BC 的 中点,BE ? AC 于 E ,BE 的延长线交 ? DEC 的外接圆于点 F , 则 EF 的长为__________
A

B

D

E

C

F

10、如图, AB 是圆 O 的直径,点 C 在圆 O 上,延长 BC 到 D 使 BC ? CD ,过 C 作圆 O 的 切线交 AD 于 E .若 AB ? 8 , DC ? 4 ,则 DE ? .
D E

C

A

O B

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习题答案: 1、答案:A 解析:由 M , N 三等分 AB ,不妨设 AM ? MN ? NB ? x ,则由
E D

切 割 线 定 理 可 得 : AM ? MB ? CM ? DM ? 2 x ? 2 ? 4 , 解 得
2

O A M C N B

x ? 2 , 再 由 切 割 线 定 理 可 得 : AN ? NB ? CN ? NE , 所 以

NE ?

AN ? NB 4 ? 2 8 ? ? CN 3 3

2、答案:8 解析: 连结 OC ,由 AB ? 2 r ? 4 可得 OC ? r ? 2 ,因为 EC
D

C

B

且圆 O 于 C ,所以 OC ? EC ;另一方面,由 AB 是直径可得

E A 图1

P

O

BC ? AC ,所以 CB 的平行线 OP ? AC ,且由 O 是 AB 中
点可得 OP 为 ? ABC 的一条中位线,所以 OP ?

1 1 BC ? , 2 2

2 则在 ? OCD 中,由双垂直( OP ? AC , OC ? CD )可用射影定理 OC ? OP ? OD ,从而

OD ?

OC 2 ?8 OP

3、答案:4
2 解析: 设 PB ? x , 则由切割线定理 PA ? PB ? PC ? PB ? ? PB ? BC ? 可得: 62 ? x ? x ? 9? ,

解得: x ? 3 , PC ? 12 ,因为 PA 是切线,所以 ?C ? ?PAB ,再利用公共角 ? P 可得:

? PAB ?? PCA ,所以

PA PC PA ? AC 6 ? 8 ? ? ?4 ,即 AB ? AB AC PC 12

4、解析: (1)证明:?? ABC 是等腰三角形,且 AD ? BC

? AD 是 ?CAB 的平分线

? AE , AF 为 ? O 的切线
? EF∥BC

? AE ? AF , AD ? EF
A G E F

(2)由(1)可知 AD 是 EF 的垂直平分线,又因为 EF 是

? O 的弦
?O 在 AD 上
连结 OE , OM ,则由 AE 是切线可得 OE ? AE 设 ? O 的半径为 r ,则 AG ? r
B

M

D

N

C

? AO ? 2r ? 2OE

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?可得: ?EAO ? 30? ? ?EAF ? 60?
? AE ? AF

? ? ABC,? AEF 均为等边三角形

? AE ? 2 3

? A O ?4 , O E ? 2 ? r

? OM ? r ? 2, DM ?

1 MN ? 3 2

?OD ? 1 ,从而 AD ? AO ? OD ? 5

AB ?
2

10 3 3

? S四边形EBCF ? S? ABC ? S? AEF
5、答案:4

2 1 ? 10 3 ? 3 1 3 16 3 ? ?? ? ? 2 3 ? ? ? ? 2 ? 3 ? 2 2 2 3

?

?

解析: 由切割线定理可知:QA ? QC ? QD ? QC ? ?QC ? CD ? ? 4 , 从而 QA ? 4 , 由Q 是
2

PA 中 点 可 得 PA ? 2QA ? 4 , 再 由 切 线 长 相 等 可 得 P B? P ? A4

6、解析: (1)证明:? A, B, C , D 四点共圆

??D ? ?CBE
??CBE ? ?E
??D ? ?E

? C B? C E

(2)证明:设 BC 中点为 N ,连结 MN

? MB ? MC ?O 在直线 MN 上

?M N ? B C

? M 为 AD 中点,且 AD 不是 ? O 的直径
?OM ? AD 即 MN ? AD ? AD∥BC ??A ? ?CBE
??A ? ?E ,由(1)得 ?D ? ?E ?? ADE 为等边三角形

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7、证明: (1)连结 AB, AC

?D 是 PC 中点,且 PC ? 2 PA
? PA ? AD ??PAD ? ?PDA

? ?PDA ? ?DAC ? ?DCA, ?PAD ? ?BAD ? ?PAB ,且 ?DCA ? ?PAB
??DAC ? ?BAD
? BE ? EC
(2)由切割线定理可得: PA ? PB ? PC
2

? E? ? ?B EC

? PA ? PD ? DC ?

1 PC 2
2

? PD ? DC ? 2 PB, BD ? PB
由相交弦定理可得: AD ? DE ? BD ? DC ? PB ? 2PB ? 2PB 8、答案:D

E 由 AD 平 分 ?BAC 可 得 解 析 : ① 因 为 BF 为 切 线 , 所 以 ?D B F ? ? B A ,

?B A E ? ? C A E ?CAE ? ?DBC ,所以 ?DBF ? ?BAE ? ?CAE ? ?DBC , ,又因为
即 BD 平分 ?CBF ,①正确 ② 由切割线定理即可得到 FB ? FD ? FA ,②正确
2

③ 涉及的相似三角形为: ? AEB ?? CED ,则有 结论③与之不符,③错误

AE CE ? ,则有 AE ? DE ? BE ? CE , BE ED

? ABF ,? BDF , ④ 涉及的相似三角形为: 由?
所以

??FBD ? ?BAF 即可判定 ? ABF ?? BDF , ??F ? ?F

AB BD ? ,即 AF ? BD ? AB ? BF ,④正确 AF BF

综上所述,正确的为①②④

9、答案:

14 15

解析:连结 DE , FC ,可得: ? BDE ? BFC

?

BD BE ? ,由 AB ? 3, BC ? 4, CA ? 5 可知 AB ? BC BF BC

? BE ? AC
所以由射影定理可知: AE ?

AB 2 9 BC 2 16 ? , CE ? ? AC 5 AC 5

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12 BD ? 2 5 BD ? BC 10 ? BF ? ? BE 3 14 ? EF ? BF ? BE ? 15 10、答案: 2 解:连结 OC ? CE 为圆的切线 ? BE ? AE ? CE ?
? OC ? CE

? B C? C D , B? O

OA
D E

? OC 为 ? ADB 的中位线

?O C ∥ AD

? CE ? AD ? AB 是直径 ? A C ? B D ? 在 Rt? ACD 中,根据射影定理可得:

C

A

CD 2 CD ? DE ? DA ? DE ? AD
2

O B

因为 AC ? BD, BC ? CD

?? ABD 为等腰三角形

? AD ? AB ? 8

? DE ?

CD 2 42 ? ?2 AD 8


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