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2015高考试题——数学文(山东卷)解析版


第Ⅰ卷(共 50 分)
一、 选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四

个选项中,只有一项是符合要求的
二、 1. 已知集合 A={x|2<x<4},B={x|(x-1) (x-3)<0},则 A ? B=( (A) (1,3) 【答案】C 【解析】 (B) (1,4) (C) (2,3) (D) (2,4) )

{x|1<x<3},所以 A ? B ? (2,3) ,故选 C. 试题分析:因为 B ?
考点:1.集合的基本运算;2.简单不等式的解法. 2. 若复数 Z 满足 (A)1-i 【答案】C

z =i,其中 i 为虚数单位,则 Z=( 1? i
(C)-1-i (D)-1+i

)

(B)1+i

考点:1.复数的运算;2.共轭复数. 3. 设 a=0.6 ,b=0.6 ,c=1.5 ,则 a,b,c 的大小关系是( (A)a<b<c 【答案】C 【解析】 试题分析:由 y ? 0.6 在区间 (0, ??) 是单调减函数可知, 0 ? 0.61.5 ? 0.60.6 ? 1 ,又
x
0.6 1.5 0.6

)

(B)a<c<b

(C)b<a<c

(D)b<c<a

1.50.6 ? 1 ,故选 C.
考点:1.指数函数的性质;2.函数值比较大小. 4. 要得到函数 y=sin(4x-

? )的图象,只需要将函数 y=sin4x 的图象( ) 3

(A).向左平移

?
12

个单位 (B)向右平移

?
12

个单位

(C).向左平移 【答案】B

? 个单位 3

(D)向右平移

? 个单位 3

考点:三角函数图象的变换. 5. 设 m ? R ,命题“若 m>0,则方程 x 2 ? x ? m ? 0 有实根”的逆否命题是( A. 若方程 x 2 ? x ? m ? 0 有实根,则 >0 B.若方程 x 2 ? x ? m ? 0 有实根,则 0 )

.若方程 x 2 ? x ? m ? 0 没有实根,则 >0 .若方程 x 2 ? x ? m ? 0 没有实根,则 【答案】D 【解析】 试题分析:一个命题的逆否命题,要将原命题的条件、结论加以否定,并且加以互换,故选 D. 考点:命题的四种形式. 6. 为比较甲、乙两地某月 14 时的气温状况,随机选取该月中的 5 天,将这 5 天中 14 时的 气温数据(单位:℃)制成如图所示的茎叶图.考虑以下结论: 0

①甲地该月 14 时的平均气温低于乙地该月 14 时的平均气温; ②甲地该月 14 时的平均气温高于乙地该月 14 时的平均气温;

③甲地该月 14 时的平均气温的标准差小于乙地该月 14 时的气温的标准差; ④甲地该月 14 时的平均气温的标准差大于乙地该月 14 时的气温的标准差. 其中根据茎叶图能得到的统计结论的标号为( (A)①③ (B) ①④ 【答案】B (C) ②③ (D) ②④ )

考点:1.茎叶图;2.平均数、方差、标准差. 7. 在区间[0,2]上随机地取一个数 x,则事件“ -1 ? log( ? 1 ”发生的概率为( 1 x? )
2

1 2

)

(A)

3 4

(B)

2 3

(C)

1 3

(D)

1 4

【答案】A 【解析】 试题分析:由 -1 ? log( ? 1 得, 1 x? )
2

1 2

1 1 1 1 3 log 1 2 ? log( ? log 1 , ? x ? ? 2, 0 ? x ? ,所以,由几何概型概率的计算公 1 x? ) 2 2 2 2 2 2 2 2

3 ?0 3 2 式得, P ? ? ,故选 A. 2?0 4
考点:1.几何概型;2.对数函数的性质.

2x ? 1 8. 若函数 f ( x) ? x 是奇函数,则使 f(x)>3 成立的 x 的取值范围为( 2 ?a
(A)( 【答案】C ) (B)( ) ( C) (0,1) (D) (1,+ )

)

【解析】 试题分析:由题意 f ( x) ? ? f (? x) ,即

2x ? 1 2? x ? 1 ? ? , 所以,(1 ? a)(2 x ? 1) ? 0, a ? 1 , x ?x 2 ?a 2 ?a

f ( x) ?

2x ? 1 2x ? 1 由 , f ( x ) ? ? 3 得, 1 ? 2 x ? 2, 0 ? x ? 1, 故选 C. 2x ?1 2x ?1

考点:1.函数的奇偶性;2.指数运算. 9. 已知等腰直角三角形的直角边的长为 ,将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形 成的曲面所围成的几何体的体积为( ( ) 【答案】B ( ) ) ( )

2 2?

( )

4 2?

考点:1.旋转体的几何特征;2.几何体的体积. 10. 设函数 f ( x) ? ?

?3 x ? b, x ? 1 5 ,若 f ( f ( )) ? 4 ,则 b=( x 6 ? 2 , x ?1
(C)

)

(A)1

(B)

7 8

3 4

(D)

1 2

【答案】D 【解析】

? 5 ?b ?1 ? 5 5 5 5 ? 2 试题分析:由题意, f ( ) ? 3 ? ? b ? ? b, 由 f ( f ( )) ? 4 得, ? 或 6 6 2 6 ?3( 5 ? b) ? b ? 4 ? ? 2

?5 ?2 ? b ?1 1 ,解得 b ? ,故选 D. ? 5 2 ? 2 ?b ?2 ? 4
考点:1.分段函数;2.函数与方程.

第Ⅱ卷(共 100 分) 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分
11. 执行右边的程序框图,若输入的 x 的值为 1,则输出的 y 的值是 .

【答案】 13

考点:算法与程序框图.

? y ? x ?1 ? 12. 若 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 3, 则 z ? x ? 3 y 的最大值为 ? y ?1 ?
【答案】 7 【解析】

.

试题分析:画出可行域及直线 x ? 3 y ? 0 ,平移直线 x ? 3 y ? 0 ,当其经过点 A(1, 2) 时,直 线的纵截距最大,所以 z ? x ? 3 y 最大为 z ? 1 ? 3 ? 2 ? 7 .

考点:简单线性规划. 13. 过点 P(1, )作圆 的两条切线,切点分别为 A,B,则 = .

【答案】

3 2

考点:1.直线与圆的位置关系;2.平面向量的数量积. 14. 定义运算“ ? ” : x? y ?

x2 ? y 2 ( x,y ? R, xy ? 0 ).当 x ? 0,y ? 0 时, xy
.

x ? y ? (2 y ) ? x 的最小值是
【答案】 2 【解析】

试题分析:由新定义运算知, (2 y ) ? x ?

(2 y ) 2 ? x 2 4 y 2 ? x 2 ? ,因为, x ? 0,y ? 0 , (2 y ) x 2 xy

所以, x ? y ? (2 y ) ? x ?

x 2 ? y 2 4 y 2 ? x 2 x 2 ? 2 y 2 2 2 xy ? ? ? ? 2 ,当且仅当 xy 2 xy 2 xy 2 xy

x ? 2 y 时, x ? y ? (2 y ) ? x 的最小值是 2 .
考点:1.新定义运算;2.基本不等式. 15. 过双曲线 C: 2 ?

x2 a

y2 的右焦点作一条与其渐近线平行的直线, 交C 于 ?1 (a ? 0, b ? 0) a2
.

点 P .若点 P 的横坐标为 2a ,则 C 的离心率为 【答案】 2 ? 3

考点:1.双曲线的几何性质;2.直线方程.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分
16. (本小题满分 12 分) 某中学调查了某班全部 45 名同学参加书法社团和演讲社团的情况, 数据如下表: (单位: 人) 参加书法社团 参加演讲社团 未参加演讲社团 (1) (2) 8 2 未参加书法社团 5 30

从该班随机选 1 名同学,求该同学至少参加上述一个社团的概率; 在既参加书法社团又参加演讲社团的 8 名同学中,有 5 名男同学 A1,A2,

A3,A4,A5,3 名女同学 B1,B2,B3.现从这 5 名男同学和 3 名女同学中各随机选 1 人, 求 A1 被选中且 B1 未被选中的概率. 【答案】(1) 【解析】 试题分析: (1)由调查数据可知,既未参加书法社团又未参加演讲社团的有 30 人,故至少

1 2 ;(2) . 3 15

参加上述一个社团的共有 45 ? 30 ? 15 人,所以从该班级随机选 1 名同学,利用公式计算即 得. (2)从这 5 名男同学和 3 名女同学中各随机选 1 人,其一切可能的结果组成的基本事件有:

{ A1 , B1},{ A1 , B2 },{ A1 , B3},{ A2 , B1},{ A2 , B2 },{ A2 , B3},{ A3 , B1},{ A3 , B2 },{ A3 , B3}, { A4 , B1},{ A4 , B2 },{ A4 , B3},{ A5 , B1},{ A5 , B2 },{ A5 , B3} ,共 15 个.
根据题意,这些基本事件的出现是等可能的. 事件“ A1 被选中且 B1 未被选中”所包含的基本事件有: { A1 , B2 },{ A1 , B3} ,共 2 个. 应用公式计算即得. 试题解析: (1)由调查数据可知,既未参加书法社团又未参加演讲社团的有 30 人,故至少 参加上述一个社团的共有 45 ? 30 ? 15 人,所以从该班级随机选 1 名同学,该同学至少参加 上述一个社团的概率为 P ?

15 1 ? . 45 3

(2)从这 5 名男同学和 3 名女同学中各随机选 1 人,其一切可能的结果组成的基本事件有:

{ A1 , B1},{ A1 , B2 },{ A1 , B3},{ A2 , B1},{ A2 , B2 },{ A2 , B3},{ A3 , B1},{ A3 , B2 },{ A3 , B3}, { A4 , B1},{ A4 , B2 },{ A4 , B3},{ A5 , B1},{ A5 , B2 },{ A5 , B3} ,共 15 个.
根据题意,这些基本事件的出现是等可能的. 事件“ A1 被选中且 B1 未被选中”所包含的基本事件有: { A1 , B2 },{ A1 , B3} ,共 2 个. 因此 A1 被选中且 B1 未被选中的概率为 P ? 考点:1.古典概型;2.随机事件的概率. 17. (本小题满分 12 分)

2 . 15

?ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知
cos B ? 3 6 ,sin ( A ? B) ? , ac ? 2 3 3 9

求 sin A 和 c 的值. 【答案】

2 2 ,1. 3

由正弦定理可得 a ? 2 3c ,结合 ac ? 2 3 即得. 试题解析:在 ?ABC 中,由 cos B ?

3 6 ,得 sin B ? . 3 3

因为 A ? B ? C ? ? ,所以 sin C ? sin( A ? B) ?

6 , 9 5 3 , 9 6 5 3 3 6 2 2 . ? ? ? ? 3 9 3 9 3

因为 sin C ? sin B ,所以 C ? B , C 为锐角, cos C ?

因此 sin A ? sin( B ? C ) ? sin B cos C ? cos B sin C ?

c sin A a c 由 ? ? , 可得 a ? sin C sin A sin C

2 2 c 3 ? 2 3c ,又 ac ? 2 3 ,所以 c ? 1 . 6 9

考点:1.两角和差的三角函数;2.正弦定理. 18. 如图,三棱台 DEF ? ABC 中, AB ? 2 DE,G,H 分别为 AC,BC 的中点. (I)求证: BD / / 平面 FGH ; (II)若 CF ? BC,AB ? BC, 求证:平面 BCD ? 平面 EGH .

【答案】证明见解析

思路二:在三棱台 DEF ? ABC 中,由 BC ? 2 EF , H 为 BC 的中点, 可得 HBEF 为平行四边形, BE / / HF . 在 ?ABC 中, G,H 分别为 AC,BC 的中点, 得到 GH / / AB, 又 GH ? HF ? H , 得到平面 FGH / / 平面 ABED . (II)证明:连接 HE .根据 G,H 分别为 AC,BC 的中点,得到 GH / / AB, 由 AB ? BC , 得 GH ? BC ,又 H 为 BC 的中点,得到四边形 EFCH 是平行四边形,从而 CF / / HE. 又 CF ? BC ,得到 HE ? BC . 试题解析: (I) 证法一: 连接 DG , CD. 设 CD ? GF ? M ,连接 MH , 在三棱台 DEF ? ABC 中,AB ? 2 DE,G 分别为 AC 的中点, 可得 DF / / GC , DF ? GC , 所以四边形 DFCG 是 平行四边形,则 M 为 CD 的中点,又 H 是 BC 的中点,所以 HM / / BD , 又 HM ? 平面 FGH , BD ? 平面 FGH ,所以 BD / / 平面 FGH .

证法二:在三棱台 DEF ? ABC 中,由 BC ? 2 EF , H 为 BC 的中点,

可得 BH / / EF , BH ? EF , 所以 HBEF 为平行四边形,可得 BE / / HF . 在 ?ABC 中, G,H 分别为 AC,BC 的中点, 所以 GH / / AB, 又 GH ? HF ? H , 所以平面 FGH / / 平面 ABED , 因为 BD ? 平面 ABED , 所以 BD / / 平面 FGH .

(II)证明:连接 HE .因为 G,H 分别为 AC,BC 的中点,所以 GH / / AB, 由 AB ? BC , 得

GH ? BC ,又 H 为 BC 的中点,所以 EF / / HC , EF ? HC , 因此四边形 EFCH 是平行四
边形,所以 CF / / HE. 又 CF ? BC ,所以 HE ? BC . 又 HE , GH ? 平面 EGH , HE ? GH ? H ,所以 BC ? 平面 EGH , 又 BC ? 平面 BCD ,所以平面 BCD ? 平面 EGH . 考点:1.平行关系;2.垂直关系. 19. (本小题满分 12 分) 已知数列 ?an ? 是首项为正数的等差数列,数列 ? (I)求数列 ?an ? 的通项公式; (II)设 bn ? ? an ? 1? ? 2 n ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn .
a

?

1 ? n . ? 的前 n 项和为 2n ? 1 ? an ? an ?1 ?

4 ? (3n ? 1) ? 4n ?1 . 【答案】 (I) an ? 2n ? 1. (II) Tn ? 9
【解析】 试题分析: (I)设数列 ?an ? 的公差为 d ,

令 n ? 1, 得

1 1 ? ,得到 a1a2 ? 3 . a1a2 3 1 1 2 ? ? ,得到 a2 a3 ? 15 . a1a2 a2 a3 5

令 n ? 2, 得

解得 a1 ? 1, d ? 2 即得解. (II)由(I)知 bn ? 2n ? 22 n ? 4 ? n ? 4n , 得到 Tn ? 1 ? 41 ? 2 ? 42 ? ...... ? n ? 4 n , 从而 4Tn ? 1 ? 42 ? 2 ? 43 ? ...... ? ( n ? 1) ? 4 n ? n ? 4 n ?1 , 利用“错位相减法”求和. 试题解析: (I)设数列 ?an ? 的公差为 d , 令 n ? 1, 得

1 1 ? ,所以 a1a2 ? 3 . a1a2 3 1 1 2 ? ? ,所以 a2 a3 ? 15 . a1a2 a2 a3 5

令 n ? 2, 得

解得 a1 ? 1, d ? 2 ,所以 an ? 2n ? 1. (II)由(I)知 bn ? 2n ? 22 n ? 4 ? n ? 4n , 所以 Tn ? 1 ? 41 ? 2 ? 42 ? ...... ? n ? 4 n , 所以 4Tn ? 1 ? 42 ? 2 ? 43 ? ...... ? ( n ? 1) ? 4 n ? n ? 4 n ?1 , 两式相减,得 ?3Tn ? 41 ? 42 ? ...... ? 4 n ? n ? 4 n ?1

4(1 ? 4n ) 1 ? 3n n ?1 4 ? ? n ? 4n ?1 ? ?4 ? , 1? 4 3 3
所以 Tn ?

3n ? 1 n ?1 4 4 ? (3n ? 1) ? 4n ?1 ?4 ? ? . 9 9 9

考点:1.等差数列的通项公式;2.数列的求和、 “错位相减法”. 20. (本小题满分 13 分) 设函数 . 已知曲线 在点 (1, f (1)) 处的切线

与直线 (Ⅰ)求 a 的值;

平行.

(Ⅱ)是否存在自然数 k,使得方程 f ( x) ? g ( x) 在 (k , k ? 1) 内存在唯一的根?如果存在, 求出 k;如果不存在,请说明理由; (Ⅲ)设函数 m( x) ? min{ f ( x), g ( x)} (min{p,q}表示,p,q 中的较小值) ,求 m(x)的最 大值. 【答案】 (I) a ? 1 ;(II) k ? 1 ;(III) 【解析】 试题分析: (I)由题意知, f '(1) ? 2 ,根据 f '( x) ? ln x ? (II) k ? 1 时,方程 f ( x) ? g ( x) 在 (1, 2) 内存在唯一的根. 设 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? ( x ? 1) ln x ?

4 . e2 a ? 1, 即可求得. x

x2 , ex
4 4 ? ln 8 ? 2 ? 1 ? 1 ? 0, 2 e e

通过研究 x ? (0,1] 时, h( x) ? 0 .又 h(2) ? 3ln 2 ? 得知存在 x0 ? (1, 2) ,使 h( x0 ) ? 0 .

应用导数研究函数 h( x) 的单调性,当 x ? (1, ??) 时, h( x) 单调递增. 作出结论: k ? 1 时,方程 f ( x) ? g ( x) 在 (k , k ? 1) 内存在唯一的根. (III)由(II)知,方程 f ( x) ? g ( x) 在 (1, 2) 内存在唯一的根 x0 ,且 x ? (0, x0 ) 时,

?( x ? 1) ln x, x ? (0, x0 ] ? . f ( x) ? g ( x) , x ? ( x0 , ??) 时, f ( x) ? g ( x) ,得到 m( x) ? ? x 2 , x ? ( x , ?? ) 0 ? ? ex
当 x ? (0, x0 ) 时,研究得到 m( x) ? m( x0 ). 当 x ? ( x0 , ??) 时,应用导数研究得到 m( x) ? m(2) ? 综上可得函数 m( x) 的最大值为 试题解析: (I)由题意知,曲线 又 f '( x) ? ln x ?

4 , 且 m( x0 ) ? m(2) . e2

4 . e2
在点 (1, f (1)) 处的切线斜率为 2 ,所以 f '(1) ? 2 ,

a ? 1, 所以 a ? 1 . x

(II) k ? 1 时,方程 f ( x) ? g ( x) 在 (1, 2) 内存在唯一的根.

设 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? ( x ? 1) ln x ? 当 x ? (0,1] 时, h( x) ? 0 . 又 h(2) ? 3ln 2 ?

x2 , ex

4 4 ? ln 8 ? 2 ? 1 ? 1 ? 0, 2 e e

所以存在 x0 ? (1, 2) ,使 h( x0 ) ? 0 . 因为 h '( x) ? ln x ? 时, h '( x) ? 0 , 所以当 x ? (1, ??) 时, h( x) 单调递增. 所以 k ? 1 时,方程 f ( x) ? g ( x) 在 (k , k ? 1) 内存在唯一的根. (III)由(II)知,方程 f ( x) ? g ( x) 在 (1, 2) 内存在唯一的根 x0 ,且 x ? (0, x0 ) 时,

1 x( x ? 2) 1 ?1? , 所以当 x ? (1, 2) 时, h '( x) ? 1 ? ? 0 ,当 x ? (2, ??) x x e e

?( x ? 1) ln x, x ? (0, x0 ] ? . f ( x) ? g ( x) , x ? ( x0 , ??) 时, f ( x) ? g ( x) ,所以 m( x) ? ? x 2 , x ? ( x , ?? ) 0 ? ? ex
当 x ? (0, x0 ) 时,若 x ? (0,1], m( x) ? 0;

1 ? 1 ? 0, 可知 0 ? m( x) ? m( x0 ); 故 m( x) ? m( x0 ). x x(2 ? x) 当 x ? ( x0 , ??) 时,由 m '( x) ? , 可得 x ? ( x0 , 2) 时, m '( x) ? 0, m( x) 单调递增; ex
若 x ? (1, x0 ), 由 m '( x) ? ln x ?

x ? (2, ??) 时, m '( x) ? 0, m( x) 单调递减;

4 , 且 m( x0 ) ? m(2) . e2 4 综上可得函数 m( x) 的最大值为 2 . e
可知 m( x) ? m(2) ? 考点:1.导数的几何意义;2.应用导数研究函数的单调性、最值. 21. (本小题满分 14 分) 平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C:

3 x2 y2 ,且点 + 2 =1(? > b > 0) 的离心率为 2 2 ? b

( 3,

1 )在椭圆 C 上. 2

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ) 设椭圆 E:

x2 y2 + =1 ,P 为椭圆 C 上任意一点,过点 P 的直线 y = kx + m 4a 2 4b 2

交椭圆 E 于 A,B 两点,射线 PO 交椭圆 E 于点 Q. (i)求

|OQ | 的值; |OP |

(ii)求 ?ABQ 面积的最大值.

【答案】 (I) 【解析】

| OQ | x2 (II) (i) (ii) 6 3. ?2; ? y2 ? 1; | OP | 4

试题分析: (I)由题意知

a 2 ? b2 3 3 1 2 2 ? 又 ,解得 a ? 4, b ? 1 . ? ? 1, 2 2 a 2 a 4b

x2 y 2 (II)由(I)知椭圆 E 的方程为 ? ? 1. 16 4
(i) 设 P ( x0 , y0 ),

| OQ | ? ? , 由题意知 Q(?? x0 , ?? y0 ) . | OP |

根据

x0 2 (?? x0 ) 2 (?? y0 ) 2 ? y0 2 ? 1. 及 ? ? 1 ,知 ? ? 2 . 4 16 4

(ii)设 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ), 将 y ? kx ? m 代入椭圆 E 的方程,可得

(1 ? 4k 2 ) x 2 ? 8kmx ? 4m 2 ? 16 ? 0 ,由 ? ? 0, 可得 m 2 ? 4 ? 16k 2 ????????①

4 16k 2 ? 4 ? m 2 . 及 ?OAB 的面积 应用韦达定理计算 | x1 ? x2 |? 1 ? 4k 2
S? 1 2 | m | 16k 2 ? 4 ? m 2 2 (16k 2 ? 4 ? m 2 )m 2 | m || x1 ? x2 |? ? 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 m2 m2 ) . 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

? 2 (4 ?



m2 ? t. 将直线 y ? kx ? m 代入椭圆 C 的方程,可得 1 ? 4k 2

(1 ? 4k 2 ) x 2 ? 8kmx ? 4m 2 ? 4 ? 0 ,由 ? ? 0, 可得 m 2 ? 1 ? 4k 2 ????????②
由①②可知 0 ? t ? 1, S ? 2 (4 ? t )t ? 2 ?t 2 ? 4t . 当且仅当 t ? 1 ,即 m 2 ? 1 ? 4k 2 时取得最大值 2 3. 由(i)知, ?ABQ 的面积为 3S 即得 ?ABQ 面积的最大值为 6 3.

试题解析: (I)由题意知

a 2 ? b2 3 3 1 ? 又 ,解得 a 2 ? 4, b 2 ? 1 , ? ? 1, 2 2 a 2 a 4b

所以椭圆 C 的方程为

x2 ? y 2 ? 1. 4 x2 y 2 ? ? 1. 16 4

(II)由(I)知椭圆 E 的方程为

(ii)

设 P ( x0 , y0 ),

| OQ | ? ? , 由题意知 Q(?? x0 , ?? y0 ) . | OP |

因为

x0 2 (?? x0 ) 2 (?? y0 ) 2 ?2 x 2 ? y0 2 ? 1. 又 ? ? 1 ,即 ( 0 ? y0 2 ) ? 1. 4 16 4 4 4 | OQ | ? 2. | OP |

所以 ? ? 2 ,即

(ii)设 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ), 将 y ? kx ? m 代入椭圆 E 的方程,可得

(1 ? 4k 2 ) x 2 ? 8kmx ? 4m 2 ? 16 ? 0 ,由 ? ? 0, 可得 m 2 ? 4 ? 16k 2 ????????①

4 16k 2 ? 4 ? m 2 8km 4m 2 ? 16 . 因为直线 则有 x1 ? x2 ? ? , x1 x2 ? . 所以 | x1 ? x2 |? 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2
y ? kx ? m 与 y 轴交点的坐标为 (0, m) ,所以 ?OAB 的面积

S?

1 2 | m | 16k 2 ? 4 ? m 2 2 (16k 2 ? 4 ? m 2 )m 2 | m || x1 ? x2 |? ? 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 m2 m2 ) . 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

? 2 (4 ?



m2 ? t. 将直线 y ? kx ? m 代入椭圆 C 的方程,可得 1 ? 4k 2

(1 ? 4k 2 ) x 2 ? 8kmx ? 4m 2 ? 4 ? 0 ,由 ? ? 0, 可得 m 2 ? 1 ? 4k 2 ????????②
由①②可知 0 ? t ? 1, S ? 2 (4 ? t )t ? 2 ?t 2 ? 4t . 故 S ? 2 3 . 当且仅当 t ? 1 ,即 m 2 ? 1 ? 4k 2 时取得最大值 2 3. 由(i)知, ?ABQ 的面积为 3S ,所以 ?ABQ 面积的最大值为 6 3. 考点:1.椭圆的标准方程及其几何性质;2.直线与椭圆的位置关系;3.距离与三角形面积; 4.转化与化归思想.


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2015年山东省高考数学试卷(理科)答案与解析
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2015年山东省高考数学试题及答案(理科)【解析版】
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2015年高考真题——文科数学(山东卷) Word版含解析
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2015高考试题——文数(湖北卷)解析版
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数学-2015年高考真题——山东卷(文)(word版含解析)
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2015年高考试题数学文(新课标1卷)解析版
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2015年山东省高考文科数学真题及答案 (1)
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