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安徽省涡阳县第四中学2014-2015学年高二数学下学期期末考试试题 理


涡阳四中 2014-2015 学年高二(下)期末质量检测 数 学 试 题(理科)
本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分 150 分,考试时间 120 分 钟.注意事项:将试题答案写在答题卷上,在本试卷上作答无效 。 ......... 第Ⅰ卷(选择题 共 50 分) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分共 50 分。在每小题给出的四个选

项中,只有 一项是符合题目要求的。 1. 集合 A ? {x | ln x ? 0} , B ? {x | x2 ? 16} ,则 A ? B ? ( A. (1,4) 2. 已知复数 B. [e,4) C. [1,??) ) )

D. [1,4)

,则 z 等于(

A.

2 2

z?

2

1 ? 3i

B. 2

C. 1

D. 2 ) D.既不充分也不必要条件

3.“ ? ? ? ”是“曲线 y ? sin(2 x ? ? ) 过坐标原点”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 )

4. 函数错误!未找到引用源。的单调减区间为( A.错误!未找到引用源。 用源。

B.错误!未找到引用源。

C.错误!未找到引

D. 错误!未找到引用源。 ) C.

5. 若错误!未找到引用源。,则错误!未找到引用源。的值是( A . 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。

B . 错误!未找到引用源。 D . 错误!未找到引用源。

6. 某车间加工零件的数量 x 与加工时间 y 的统计数据如下表: 零件数 x (个) 加工时间 y (分钟) 10 21 20 30 30 39

现已求得上表数据的回归方程 y ? bx ? a 中的 b 值为 0.9,则据此回归模型可以预测, 加工 100 个零件所需要的加工时间约为 ( ) A.84 分钟 B.94 分钟 C.102 分钟 D.112 分钟 7. 函数错误!未找到引用源。的大致图像为 ( )

1

y

y

y

y

o A

1

o x B

1

x o C 1 x

o

1

x

D

8. 用数学归纳法证明“ (n ? 1)(n ? 2) ? ? ? (n ? n) ? 2n ?1? 3? 5 ? ? ? ? ? (2n ?1)(n ? N * ) ”时, 从 n ? k到n ? k ? 1 ,等式左边需要增乘的代数式是( A. 2 k ? 1 B. ) D.

2k ? 1 k ?1

C.

2k ? 3 k ?1

( 2k ? 1)( 2k ? 2) k ?1

9. 某校计划组织高二年级四个班级开展研学旅行活动,初选了甲、乙、丙、丁四条不同的 研学线路, 每个班级只能在这四条线路中选择其中的一条, 且同一条线路最多只能有两个班 级选择,则不同的方案有( A.240 种 ) C. 204 种 D.96 种

B.188 种

x x 10. 定义在 R 上的函数 f ( x) 满足:f ( x) ? f ' ( x) ? 1, f (0) ? 5 , 则不等式 e f ( x) ? 4 ? e 的

解集为 (

) B. (0,??) C. (??,0) ? (3,??) D. (??,0)

A. (??,0) ? (0,??)

第Ⅱ卷(非选择题 共 100 分) 二.填空题:共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.将答案填写在题中的横线上. 11. 已知随机变量 ? 服从正态分布 N 2, ? 2 ,且 P (? ? 4) ? 0.8 ,则

?

?

P(0 ? ? ? 2) =_____________.
12. 把一枚硬币任意抛掷三次,事件 A=“至少一次出现反面”,事件 B=“恰 有一次出现正面”,求 P(B|A)= 13. 在 ( ? x )(1 ? . .

2 x

x ) 6 的展开式中, x 的系数是
a11 ? a12 ? 10 ? a20 ?

14. 已知等差数列 ?a n ?中,有 数列 ?bn ? 中,有

a1 ? a2 ? ? a30 成立.类似地,在等比 30

成立.

15 .已知函数 f ( x) ? ae x ? b ln x ( a, b 为常数)的定义域为 D,关于函数,给出下列命题: ①对于任意的正数 a ,存在正数 b ,使得对于任意的 x ? D ,都有 f ( x) ? 0 ;
2

②当 a ? 0, b ? 0 时,函数 f ( x) 存在最小值; ③若 ab ? 0 ,则 f ( x) 一定存在极值点; ④若 ab ? 0, 时,方程 f ( x) ? f ?( x) 在区间(1,2)内有唯一解. 其中正确命题的序号是 .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步 骤。 16. (本小题满分 12 分) 给 定 两 个 命 题 , p : 对 任 意 实 数 x 都 有 ax 2 ? ax ? 1 ? 0 恒 成 立 ; q : 关 于 x 的 方 程

x 2 ? x ? a ? 0 有实数根;如果 p且q为 假命题, p或q 为真命题,求实数 a 的取值范围。

17.(本小题满分 12 分) 设 f ? x? ? x ?
3

1 2 x ? 2x ? 5 . 2

(1)求函数 f ? x ? 的单调区间; (2)若当 x ? ? ?1, 2? 时 f ? x ? ? m 恒成立,求 m 的取值范围

18.(本小题满分 12 分) 如图,在曲线 y ? x 2 ( x ≥ 0) 上某一点 A 处作一切线使之与曲线以及 x 轴所围的面积为 试求:

1 , 12

(1)切点 A 的坐标; (2)在切点 A 的切线方程.

3

19.(本小题满分 12 分) 已知数列 ?an ? 满足 Sn ? 2n ? an ? 1(n ? N ? ) 其中 S n 表示数列 {a n } 的前 n 项和. , (1)计算 a1 , a2 , a3 , a4 ,并由此猜想通项公式 an ; (2)用数学归纳法证明(1)中的猜想。

20.(本小题满分 13 分) “中国式过马路” 存在很大的交通安全隐患.某调查机构为了解路人对 “中国式过马路 ” 的态度是否与性别有关, 从马路旁随机抽取 30 名路人进行了问卷调查, 得到了如下列联表: 男性 反感 不反感 合计 女性 合计

a ? 10 c?

b? d ?8
30

已知在这 30 人中随机抽取 1 人抽到反感“中国式过马路 ”的路人的概率是

8 . 15

(1)请将上面的 2×2 列联表补充完整(在答题卡上直接填写结果,不需要写求解过程) ,并 据此资料分析反感“中国式过马路 ”与性别是否有关? (2)若从这 30 人中的女性路人 中随机抽取 2 人参加一活动,记反感“中国式过马路”的人 .... 数为 X,求 X 的分布列和数学期望. 参考数据和公式:
2 2×2 列联表 K 公式: K ?

2

n(ad ? bc) 2 2 , K 的临界值表: (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
0.25 1.323 0.15 2.072 0.10 2.706 0.05 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 0.005 7.879 0.001 10.828

P( K 2 ? k )

0.50 0.455

0.40 0.708

k

21.(本小题满分 14 分) 已知函数

1 ? ln ? x ? 1? ? x ? 0? . x ? ?? 上单调性并证明你的结论; (1)试判断函数 f ? x ? 在? 0, f ? x? ?
k 对于任意x ? (0, ??) 恒成立,求正整数 k 的最大值; x ?1 2 n ?3 (3)求证: ?1 ? 1? 2 ??1 ? 2 ? 3??1 ? 3 ? 4 ? ??? ? . ?1 ? n ? n ? 1? ? ? >e
(2)若 f ( x) ? 涡阳四中 2014-2015 学年高二(下)期末质量检测
4

数学试题(理科)参考答案 一、选择题:DCADB 二.填空题: 11. 0.3 12. CADCB

3 7

13.31

14.

10

b11b12 ?b20 ? 30 b1b2 ?b30

15. ②③④

三.解答题 16.解:

1 p : 0 ? a ? 4, q : a ? .............6分 4 1 (1) p真q假, ? a ? 4; 4 (2) p假q真,a ? 0. 1 综上 : a<0或 ? a ? 4............12分 4

17. 解: ( 1 )由 f

'

? x? ? 3x2 ? x ? 2 ? 0

得 x ?1或 x ? ?

2 所以函数的单调增区间为 3,

? 2 ? ? 3 ? 2? ? ? 2 ? (2)根据上一步知函数在区间 ? ?1, ? ? 上递增,在区间 ? ? ,1? 上递减,在区间 ?1, 2? 上 3? ? 3 ? ? 2 22 递增,又 f (? ) ? 5 ? f (2) ? 7 ,所以在区间 ??1, 2? 上 f max ? 7 ,要使 f ? x? ? m 恒 3 27 成立,只需 m ? 7 即可……………12 分
单调减区间为 ? ? , 1? ……………6 分

2? ? ? ??, ? ? , ?1, ?? ? 3? ?

2 2 18.解:A( x0 , x0 )则切线方程为y ? x0 ? 2 x0 ( x ? x0 ), x0 1 1 3 1 ? C ( x0 , 0).S ? ? x 2 dx ? x0 ? , 0 2 4 12 ? x0 ? 1, 即A(1,1)...........10分

? 切线方程为2 x ? y ? 1 ? 0........12分
19. 解:(1) a1 ?

3 7 15 , a2 ? , a3 ? , 2 4 8

a = 16
4

31

猜测 an ? 2 ?

1 2n

……6 分

(2) ①由(1)知当 n ? 1 时,命题成立; ②假设 n ? k 时,命题成立,即 ak ? 2 ?

1 , 2k

5



n ? k ?1



,

a1 ? a2 ?

? ak ? ak ?1 ? ak ?1 ? 2(k? 1) ? 1

,



a1 ? a2 ?

? ak ? 2k? 1 ? ak ∴ 2k ? 1 ? ak ? 2ak ?1 ? 2(k? 1) ? 1 ? 2k? 3 ,
1 , 2k ak ?1 ? 2 ? 1 , 2 k ?1
……12 分

∴ 2ak ?1 ? 2 ? 2 ?

即当 n ? k ? 1 时,命题成立. 根据①②得 n ? N
*

, an ? 2 ?

1 都成立 2n

20.解: (1) 男性 反感 不反感 合计 10 6 16 女性 6 8 14 合计 16 14 30 ……………3 分 设 H 0 :反感“中国式过马路 ”与性别与否无关 由已知数据得: ? ?
2

30(10 ? 8 ? 6 ? 6) 2 ? 1.158 ? 3.841 , 16 ?14 ?16 ?14

所以,没有充足的理由认为反感“中国式过马路”与性别有关. ………6 分 (2) X 的可能取值为 0,1, 2.

P( X ? 0) ?

2 1 C8 C1 4 48 6 C8 ? , P ( X ? 1) ? ? , 2 2 C14 13 C14 91 2 C6 15 ? , 2 C14 91

P( X ? 2) ?

……9 分

所以 X 的分布列为:

X
P

0

1

2

4 48 13 91 4 48 15 6 X 的数学期望为: EX ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? . 13 91 91 7
21. 解:(1)

15 91
……………13 分

? x ? 0,? f ' ( x) ? 0

6

故函数

f ? x ? 在? 0, ? ?? 上单调递减……………………3 分
k ( x ? 1) ? [1 ? ln( x ? 1)] ? k ? g ( x) ? x ?1 x

(2) f ? x ?>

x ? 1 ? ln( x ? 1) 令 h( x) ? x ? 1 ? ln(x ? 1) x ? 0 x2 x h ' ( x) ? ? 0 ? h( x) 在(0, ? ?) ? ……………………6 分 x ?1 ? h(2) ? 1 ? ln 3 ? 0, h(3) ? 2 ? 2 ln 2 ? 0 g ' ( x) ?

??唯一x0 ? (2,3), h( x0 ) ? 0 即 x0 ? 1 ? ln(x0 ? 1)
因此函数 g ( x) 在 (0, x0 ) ?, 在 ( x0 ,??) ?

? g ( x)min ? g ( x0 ) ? x0 ? 1? (3, 4) ……………………8 分
所以正整数 k 的最大值是 3……………………9 分 (3)由 2 知: f ? x ? > 令 x ? n ? (n ? 1) 则

ln[n(n ? 1) ? 1] ? 2 ?

3x 3 3 3 ?1 ? 2 ? ? 2? ? ln( x ? 1) ? x ?1 x ?1 x x ?1 11 分 3 1 ……… 1

n(n ? 1)

? 2 ? 3( ? ) n n ?1

再令 n=1,2,……n,两边分别相加得:

ln[(1 ? 1? 2) ? (1 ? 2 ? 3) ?

(1 ? n ? (n ? 1)) ? 2n ? 3(1 ?

2 n ?3 ……………………14 分 ? ?1 ? 1? 2 ??1 ? 2 ? 3??1 ? 3 ? 4 ? ??? ? ?1 ? n ? n ? 1? ? ? >e

1 ) ? 2n ? 3 n ?1

涡阳四中命题双向细目表 题 目 类 型 目标层次 题 号 知识考点 预估难度 分 出处

识 理 应 分 综 教 练 课 自 易 中 难 值 记 解 用 析 合 材 习 外 编 易 易 易

1 2 3

集合 复数 充要条件

7

4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

单调区间 定积分 线性回归 函数图像 数学归纳法 排列组合 导数的应用 正态分布 条件概率 二项式定理 推理与证明 导数的应用 逻辑用语 导数的应用 定积分与导数 数学归纳法 独立性检验与分布列 导数的应用 易 易 易

易 易 易 易 中 中 难 易 易 易 中 难

中 中 难

8


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