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北京市东城区2013届高三上学期期末考试(解析版) 数学文


东城区 2012-2013 学年度第一学期期末教学统一检测 高三数学 (文科)

学校_____________班级_______________姓名______________考号___________ 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,第Ⅰ卷 1 至 2 页,第Ⅱ卷 3 至 5 页,共 150 分。考试 时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上

作答无效。考试结束后,将本试卷 和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷(选择题
求的一项。

共 40 分)

一、本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要

(1)设集合 U ? {1, 2,3, 4,5} , A ? {1, 2,3} , B ? {2,3, 4} ,则 ? ( A ? B) 等于 U (A) {2,3} 【答案】B 【解析】因为 A ? B ? {2,3} ,所以 ? ( A ? B) ? {1, 4,5} ,选 B. U (2)复数 (B) {1, 4,5} (C) {4,5} (D) {1,5}

2 等于 1? i (A) ? 1 ? i

(B) ? 1 ? i

( C) 1 ? i

( D) 1 ? i

【答案】D 【解析】

2 2(1 ? i) ? ? 1? i 1 ? i (1 ? i)(1 ? i) ,选 D.

(3)已知 {an } 为等差数列,其前 n 项和为 Sn ,若 a3 ? 6 , S3 ? 12 ,则公差 d 等于 (A) 1 【答案】C 【解析】因为 a3 ? 6 , S3 ? 12 ,所以 S3 ? 12 ? (B)

5 3

(C) 2

(D) 3

3(a1 ? a3 ) 3(a1 ? 6) ? ,解得 a1 ? 2 ,所使用 2 2

a3 ? 6 ? a1 ? 2d ? 2 ? 2d ,解得 d ? 2 ,选 C.

(4)执行如图所示的程序框图,输出的 k 的值为 (A) 4 【答案】A (B) 5 (C) 6 (D) 7

【解析】第一次循环得 S ? 0 ? 20 ? 1, k ? 1 ;第二次循环得 S ? 1 ? 21 ? 3, k ? 2 ;第三次循环 得 S ? 3 ? 23 ? 11, k ? 3 ,第四次循环得 S ? 11 ? 211 ? 2059, k ? 4 ,但此时 S ? 100 ,不满足 条件,输出 k ? 4 ,所以选 A. (5) x ? 2 x ? 3 ? 0 成立”是“ x ? 3 成立”的 “
2

(A)充分不必要条件 (C)充要条件 【答案】B
2

(B)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

【解析】由 x ? 2 x ? 3 ? 0 得 x ? 3 或 x ? ?1 。所以“ x ? 2 x ? 3 ? 0 成立”是“ x ? 3 成立”
2

的必要不充分条件,选 B.

? x ? 2 y ? 8, ?2 x ? y ? 8, ? (6)已知 x , y 满足不等式组 ? 则目标函数 z ? 3x ? y 的最大值为 x ? 0, ? ? y ? 0, ? 32 (A) (B) 12 (C) 8 (D) 24 3
【答案】B 【 解 析 】 做 出 可 行 域 , 由 z ? 3x ? y 得

y ? ?3x ? z , 平 移 直 线

y ? ?3x ? z

,由图象可知当直线 y ? ?3x ? z 经过点 D 时,直线

, y ? ?3x ? z 的 的 截 距 最 大 , 此 时 最 大 , 由 题 意 知 D( 4 , 0 ) 代 入 直 线 z ? 3 x? y 得

z ? 3 ? 4 ? 12 ,所以最大值为 12,选 B.
(7)已知抛物线 y 2 ? 2 px 的焦点 F 到其准线的距离是 8 ,抛物线的准线与 x 轴的交点为 K , 点 A 在抛物线上且 | AK |? 2 | AF | ,则 ?AFK 的面积为 (A)32 【答案】A (B)16 (C)8 (D)4

【解析】由题意知 p ? 8 ,所以抛物线方程为 y 2 ? 16 x ,焦点 F (4, 0) ,准线方程 x ? ?4 ,即

y2 K (?4, 0) ,设 A( , y) , 16
抛 物 线 的 定 义 可 知 AM ? AF , 所 以 AK ?

过 A 做 AM 垂直于准线于 M,由

2 AF ? 2 AM , 即 AM ? MK , 所 以
, 0 所 以 y ?8 , 所 以

y2 ? (? 4)? y , 整 理 得 y 2 ?16 y ? 64 ? 0 , 即 ( y ? 82)? 16
S?AFK ? 1 1 KF y ? ? 8 ? 8 ? 32 ,选 A. 2 2
1

(8)给出下列命题:①在区间 (0, ??) 上,函数 y ? x?1 , y ? x 2 , y ? ( x ? 1)2 , y ? x3 中有三个 是增函数;②若 logm 3 ? logn 3 ? 0 ,则 0 ? n ? m ? 1 ;③若函数 f ( x) 是奇函数,则
x f ( x ? 1) 的图象关于点 A(1,0) 对称; ④若函数 f ( x) ? 3 ? 2 x ? 3 , 则方程 f ( x) ? 0 有 2 个

实数根,其中正确命题的个数为 (A) 1 (B) 2 【答案】C

(C) 3
1

(D) 4

?? ) , 只 有 y ? x 2 , y ? x3 是 增 函 数 , 所 以 ① 错 误 。 ② 由 【解析】①在区间 (0, 上

1 1 ? ?0 l o g 3 l o g ?3 ,可得 log3 m log3 n 0 log3 n ? log3 m ? 0 ,所以 0 ? n ? m ? 1 , m ? n ,即
所以②正确。③正确。④ f ( x) ? 3x ? 2x ? 3 ? 0 得 3 ? 2 x ? 3 ,令 y ? 3x , y ? 2 x ? 3 ,在同
x

一坐标系下做出两个函数的图象,如图 交点,所以④正确。所以正确命题的个数为 3 个。选 C.

,由图象可知。函数有两个

第Ⅱ卷(共 110 分)
二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。 (9)若向量 a , b 满足 a ? 1 , b ? 2 ,且 a , b 的夹角为 【答案】 1, 7 【 解 析 】 a ? b = a b cos

? ,则 a ? b = 3

, a ?b ?



? ?

? ?

?
3

? 2?

? ? a?b ? 7 。
(10)若 sin ? ? ? 【答案】 ?

? ? 2 ?2 ? ? ?2 1 ? 1 , a ? b ? a ? 2a? ? b ? 1 ? 2 ? 22 ? 7 , 所 以 b 2

3 ,且 tan ? ? 0 ,则 cos? ? 5



4 5

【 解 析 】 因 为 sin ? ? ?

3 ? 0 , tan ? ? 0 所 以 ? 为 第 三 象 限 , 所 以 cos ? ? 0 , 即 5

3 4 cos ? ? ? 1 ? (? )2 ? ? 。 5 5
(11)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 .

【答案】 54 【解析】由三视图可知,该几何体是底面是直角梯形的四棱柱。棱柱的高为 4,

,底面梯形的上底为 4,下底为 5,腰 CD ? 32 ?1 ? 10 ,所以梯形

(4 ? 5) ? 3 27 27 ? ? 4 ? 54 。 ,所以该几何体的体积为 2 2 2 (12)已知圆 C : x2 ? y 2 ? 6 x ? 8 ? 0 ,则圆心 C 的坐标为 ;若直线 y ? kx 与圆 C 相切,
的面积为 S ? 且切点在第四象限,则 k ? .

【答案】 (3, 0)

?

2 4
2 2

【解析】 圆的标准方程为 ( x ? 3) ? y ? 1, 所以圆心坐标为 (3, 0) , 半径为 1.要使直线 y ? kx 与圆 C 相切, 且切点在第四象限, 所以有 k ? 0 。 圆心到直线 kx ? y ? 0 的距离为

3k k 2 ?1

? 1,

即k ?
2

1 2 ,所以 k ? ? 。 8 4

(13)某种饮料分两次提价,提价方案有两种,方案甲:第一次提价 p% ,第二次提价 q % ; 方案乙:每次都提价 【答案】乙 【解析】设原价为 1,则提价后的价格:方案甲: (1 ? p%)(1 ? q%) ,乙: (1 ? 为

p?q % ,若 p ? q ? 0 ,则提价多的方案是 2

.

(1 ? p%)(1 ? q%) ?

( ?p 1
案是乙。

1 ? p% 1 ? q% p?q ? ? 1? % , 因 为 p?q?0 , 所 以 2 2 2 p?q p?q 2 %? ) ( 1? ? % ) q 1 (1 ? p %)(1? q %) ? (1? % %) ,所以提价多的方 ,即 2 2

p?q 2 %) ,因 2

(14)定义映射 f : A ? B ,其中 A ? {(m, n) m, n ?R}, B ? R ,已知对所有的有序正整数

对 (m, n) 满足下述条件: ① f (m,1) ? 1 ,②若 n ? m , f (m, n) ? 0 ;③ f (m ? 1, n) ? n[ f (m, n) ? f (m, n ?1)] 则 f (2, 2) ? 【答案】 2 ; f (n, 2) ? .

2n ? 2

? 【解析】根据定义得 f(2, 2) f

? 1 1? 2 ) ( , f

2 [ ? (f 1 , 2 ) ? f( 1 , 1 ) ] ?2 。 1 , 1 ) ? ?(
, ,

2 1

2

f (3, 2) ? f (2 ? 1, 2) ? 2[ f (2, 2) ? f (2,1)] ? 2 ? (2 ? 1) ? 6 ? 23 ? 2 f (4, 2) ? f (3 ? 1, 2) ? 2[ f (3, 2) ? f (3,1)] ? 2 ? (6 ? 1) ? 14 ? 24 ? 2

f (5, 2) ? f (4 ? 1, 2) ? 2[ f (4, 2) ? f (4,1)] ? 2 ? (14 ? 1) ? 30 ? 25 ? 2 ,所以根据归纳推理可
知 f (n, 2) ? 2n ? 2 。 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。 (15) (本小题共 13 分) 已知函数 f ( x) ? 3sin x cos x ? cos2 x . (Ⅰ)求 f ( x ) 的最小正周期; (Ⅱ)求 f ( x ) 在区间 [ ?

? ? , ] 上的最大值和最小值. 6 3

(16) (本小题共 13 分) 已知 {an } 为等比数列,其前 n 项和为 Sn ,且 Sn ? 2n ? a (n ?N ) .
*

(Ⅰ)求 a 的值及数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)若 bn ? nan ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn .

(17) (本小题共 13 分)
如图,在菱形

ABCD 中, MA ⊥平面 ABCD ,且四边形 ADNM 是平行四边形.

(Ⅰ)求证:

AC ⊥ BN ;
AB 的什么位置时,使得 AN // 平面 MEC ,并加以证明.
N M

(Ⅱ)当点 E 在

D

C B

A

E

(18) (本小题共 13 分)

? 已知函数 f ( x)

1 3 x ? mx 2 ? 3m 2 x ? 1 , m ? R . 3

(Ⅰ)当 m ? 1 时,求曲线 y ? f (x) 在点 (2, f (2)) 处的切线方程; (Ⅱ)若 f (x) 在区间 (?2,3) 上是减函数,求 m 的取值范围.

(19) (本小题共 14 分)

已知椭圆 C 的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上且过点 P( 3, ) ,离心率是 (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程;

1 2

3 . 2

(Ⅱ)直线 l 过点 E (?1, 0 ) 且与椭圆 C 交于 A , B 两点,若 EA ? 2 EB ,求直线 l 的方 程. (20) (本小题共 14 分) 已知实数组成的数组 ( x1 , x2 , x3 ,?, xn ) 满足条件: ①

?x
i ?1

n

i

? 0;



?x
i ?1

n

i

?1.

(Ⅰ) 当 n ? 2 时,求 x1 , x2 的值; (Ⅱ)当 n ? 3 时,求证: 3x1 ? 2x2 ? x3 ? 1 ;

(Ⅲ)设 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ,且 a1 ? an (n ? 2) , 求证:

?a x
i ?1

n

i i

1 ? (a1 ? an ) . 2

东城区 2012-2013 学年度第一学期期末教学统一检测 高三数学参考答案及评分标准 (文科)
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) (1)B (5)B (2)D (6)B (3)C (7)A (4)A (8)C

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) (9) 1

7
? 2 4

(10) ?

4 5

(11) 54

(12) (3, 0)

(13)乙

(14) 2

2n ? 2

注:两个空的填空题第一个空填对得 3 分,第二个空填对得 2 分. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分) (15) (共 13 分) 解: (Ⅰ) f ( x) ?

3 1 ? cos 2 x sin 2 x ? 2 2

? 1 ? sin(2 x ? ) ? .???????????????????4 分 6 2
所以 T ? ? .??????????????????????????6 分

? ? ?x? , 6 3 ? ? 5? 所以 ? ? 2 x ? ? . 6 6 6 1 ? 所以 ? ? sin(2 x ? ) ? 1 .?????????????????????10 分 2 6 ? 当 x ? ? 时,函数 f ( x ) 的最小值是 0 , 6 ? 3 当 x ? 时,函数 f ( x ) 的最大值是 .????????????????13 分 6 2
(Ⅱ)因为 ? (16) (共 13 分)

解: (Ⅰ)当 n ? 1 时, S1 ? a1 ? 2 ? a ? 0 .??????????????1 分 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? 2n?1 .?????????????????3 分 因为 {an } 是等比数列, 所以 a1 ? 2 ? a ? 21?1 ? 1 ,即 a1 ? 1 . a ? ?1 .?????????????5 分 所以数列 {an } 的通项公式为 an ? 2n?1 (n ?N* ) .?????????????6 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)得 bn ? nan ? n ? 2n?1 ,设数列 {bn } 的前 n 项和为 Tn . 则 Tn ? 1?1 ? 2 ? 2 ? 3? 22 ? 4 ? 23 ? ?? n ? 2n?1 . ①

2Tn ?

1? 2 ? 2 ? 22 ? 3? 23 ? ?? (n ?1) ? 2n?1 ? n ? 2n . ②

①-②得 ?Tn ? 1?1 ? 1? 2 ? 1? 22 ? ?? 1? 2n?1 ? n ? 2n ????????9 分

? 1 ? (2 ? 22 ? ? ? 2n?1 ) ? n ? 2n ? 1 ? 2(1 ? 2n?1 ) ? n ? 2n ??????????????11 分 ? ?(n ? 1) ? 2n ? 1.???????????????????12 分
所以 Tn ? (n ?1) ? 2n ? 1.???????????????????????13 分 (17) (共 13 分) 解: (Ⅰ)连结 BD ,则 AC ? BD . 由已知 DN ? 平面 ABCD , 因为 DN ? DB ? D , 所以 AC ? 平面 NDB . 又因为 BN ? 平面 NDB , 所以 AC ? BN . ??????????????????6 分 (Ⅱ)当 E 为 AB 的中点时,有 AN // 平面 MEC .??7 分

CM 与 BN 交于 F ,连结 EF . 由已知可得四边形 BCNM 是平行四边形,
F 是 BN 的中点, 因为 E 是 AB 的中点,
所以 AN // EF .????????10 分 又 EF ? 平面 MEC ,

N

M F D A B C

AN ? 平面 MEC ,
所以 AN // 平面 MEC .????????13 分 (18) (共 13 分)

E

解: (Ⅰ)当 m ? 1 时, f ( x) ?

1 3 x ? x 2 ? 3x ? 1 , 3

又 f '( x) ? x2 ? 2 x ? 3 ,所以 f '(2) ? 5 . 又 f (2) ?

5 , 3

所以所求切线方程为 y ?

5 ? 5( x ? 2) ,即 15x ? 3 y ? 25 ? 0 . 3

所以曲线 y ? f (x) 在点 (2, f (2)) 处的切线方程为 15x ? 3 y ? 25 ? 0 .???6 分 (Ⅱ)因为 f ' ( x) x 2 ? 2mx ? 3m 2 , ? 令 f '( x) 0 ,得 x ? ?3m 或 x ? m .?????????8 分 ? 当 m ? 0 时, f '( x) x2 ? 0 恒成立,不符合题意. ???????????9 分 ? 当 m ? 0 时, f ( x ) 的单调递减区间是 (?3m, m) ,若 f ( x ) 在区间 (?2,3) 上是减函数,

则?

??3m ? ?2, 解得 m ? 3 .?????????????????11 分 ?m ? 3.

当 m ? 0 时, f ( x ) 的单调递减区间是 (m, ?3m) ,若 f ( x ) 在区间 (?2,3) 上是减函数, 则?

?m ? ?2, ,解得 m ? ?2 . ??3m ? 3.
??????????13 分

综上所述,实数 m 的取值范围是 m ? 3 或 m ? ?2 . (19) (共 14 分) 解: (Ⅰ)设椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) . a 2 b2

?c 3 , ? ? 2 ?a 1 ?3 由已知可得 ? 2 ? 2 ? 1, ??????????????????3 分 4b ?a ?a 2 ? b 2 ? c 2 . ? ?
解得 a ? 4 , b ? 1 .
2 2

x2 ? y 2 ? 1.?????????????????????6 分 故椭圆 C 的方程为 4

(Ⅱ)由已知,若直线 l 的斜率不存在,则过点 E (?1, 0) 的直线 l 的方程为 x ? ?1 , 此时 A(?1 , ),B(?1,-

3 2

3 ) 显然 EA ? 2 EB 不成立.??????????7 分 2 ,

若直线 l 的斜率存在,则设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) .

? x2 ? ? y 2 ? 1, 则? 4 ? y ? k ( x ? 1). ?
整理得 (4k 2 ? 1) x2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ? 4 ? 0 .??????????????????9 分 由 ? ? (8k 2 )2 ? 4(4k 2 ? 1)(4k 2 ? 4)

? 4 8 2 ? 1 6? . k 0
设 A( x1,y1 ),B( x2,y2 ) .

8k 2 故 x1 ? x2 ? ? 2 ,① 4k ? 1

4k 2 ? 4 . ②????????????10 分 x1 x2 ? 2 4k ? 1

因为 EA ? 2 EB ,即 x1 ? 2 x2 ? ?3 .③ ①②③联立解得 k ? ?

15 . 6

????????????13 分

所以直线 l 的方程为 15x ? 6 y ? 15 ? 0 和 15x ? 6 y ? 15 ? 0 .?????14 分 (20) (共 14 分) (Ⅰ)解: ?

? x1 ? x2 ? 0, ? ? x1 ? x2 ? 1. ?

(1) (2)

由(1)得 x2 ? ? x1 ,再由(2)知 x1 ? 0 ,且 x2 ? 0 .

1 ? ? x1 ? 2 , ? 当 x1 ? 0 时, x2 ? 0 .得 2 x1 ? 1 ,所以 ? ???????????2 分 1 ?x ? ? . ? 2 ? 2 1 ? ? x1 ? ? 2 , ? 当 x1 ? 0 时,同理得 ? ??????????????????4 分 ?x ? 1 . ? 2 2 ?

(Ⅱ)证明:当 n ? 3 时, 由已知 x1 ? x2 ? x3 ? 0 , x1 ? x2 ? x3 =1. 所以 3x1 ? 2x2 ? x3 ? x1 ? 2( x1 ? x2 ? x3 ) ? x3

? x1 ? x3 ? x1 ? x3 ? 1.??????????????????9 分
(Ⅲ)证明:因为 a1 ? ai ? an ,且 a1 ? an (i ? 1, 2,3,?, n) . 所以 (a1 ? ai ) ? (ai ? an ) ? (a1 ? ai ) ? (ai ? an ) ? a1 ? an , 即 a1 +an ? 2ai ? a1 ? an

(i ? 1, 2,3,?, n) .???????????11 分

?a x
i ?1

n

i i

?

?a x ? 2 a ? x ? 2 a ? x
i ?1 i i 1 i ?1 i n i ?1

n

1

n

1

n

i

?

1 2

? (2a ? a ? a ) x
i ?1 i 1 n

n

i

?

1 n 1 n ( a1 ? an ? 2ai xi ) ? ? ( a1 ? an xi ) ? 2 i ?1 2 i ?1
n

?
?

1 a1 ? an 2

?x
i ?1

i

1 ( a1 ? an ) .???????????????????????14 分 2


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