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6.2等差数列及其前n项和


6.2

等差数列及其前n项和

第六章

6.2

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-2-

考纲要求

题型

五年考题统 命题角度分析 计 从近五年高考试题来看,等 差数列

作为基本数列模型之一, 一直是高考考查的重点,主要以 通项公式、前 n 项和公式为载 体,结合数列的性质考查分类讨 论、化归与方程等数学思想,同 时注重了通性、通法的考查,注 重了题目综合与创新,注重了对 运算能力和思维能力的考查.

1.理解等差数列 的概念. 2.掌握等差数列的通 项公式与前 n 项和 公式. 选择题 3.能在具体的问题情 填空题 境中识别数列的等 解答题 差关系,并能用等差 数列的有关知识解 决相应的问题. 4.了解等差数列与一 次函数的关系.

2013 全国 Ⅰ,理 7 2013 全国 Ⅱ,理 16 2014 全国 Ⅰ,理 17

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知识梳理 双击自测

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1.等差数列的有关概念 (1)定义:一般地,如果一个数列从第 2 项 起,每一项与它的前一项的 差 等于同一个常数 ,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列 的 公差 ,公差通常用字母 d 表示.数学语言表示为 为常数. (2)等差中项:数列 a,A,b 成等差数列的充要条件是 中 A 叫做 a,b 的 等差中项 . 2.等差数列的通项公式与前 n 项和公式 (1)若等差数列{an}的首项是 a1,公差是 d,则其通项公式为 an= a1+(n-1)d ,可推广为 an= am+(n-m)d . (2)等差数列的前 n 项和公式 Sn=
(1 + ) (-1) =na1+ d. 2 2

an+1-an=d

(n∈N*),d ,其

A=

+ 2

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3.等差数列及其前 n 项和的性质 (1)若{an}为等差数列,m+n=p+q,则 am+an=ap+aq (m,n,p,q∈N*). (2)若{an}是等差数列,公差为 d,则 ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)是公差为 md 的等差数列. (3)若 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,则数列 Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…也是 等差 数列. (4)若{an},{bn}是等差数列,则{pan+qbn}也是 等差 数列. 4.等差数列与函数的关系 (1)等差数列与一次函数的关系 an=a1+(n-1)d 可化为 an=dn+a1-d 的形式.当 d≠0 时,an 是关于 n 的一次 函数;当 d>0 时,数列为递增数列;当 d<0 时,数列为递减数列. (2)等差数列前 n 项和公式可变形为 Sn= n2+ 1 于 n 的二次函数,数列{an}是等差数列?Sn=An2+Bn(A,B 为常数).
2 2

n.当 d≠0 时,它是关

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1 2 3 4 5

1.下列结论正确的画“√”,错误的画“×”. (1)等差数列的公差是相邻两项的差. ( ) (2)若一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的差都是常数,则这个 数列是等差数列. ( ) (3)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为 n 的一次函数. ( ) (4)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意 n∈N*,都有 2an+1=an+an+2. ( ) (5)等差数列{an}的单调性是由公差 d 决定的. ( ) (6)已知数列{an}的通项公式是 an=pn+q(其中 p,q 为常数),则数列{an} 一定是等差数列. ( ) 关闭 (7)等差数列的前 n 项和公式是常数项为 0 的二次函数. ( )
(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√ (6)√ (7)×

答案

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2.在等差数列{an}中,已知 a4+a8=16,则该数列前 11 项和 S11 等于( A.58 B.88 C.143 D.176

)

关闭

S11=

11(1 +11 ) 11(4 +8 ) = =88. 2 2

关闭

B
解析 答案

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3. (2014 福建,理 3)等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1=2,S3=12,则 a6 等于( A. 8 ) B.10 C.12 D.14

关闭

因为 S3=3a1+

所以 a6=a1+(6-1)d=2+5×2=12.故选 C.

3× (3-1) 3×2 d=3×2+ d=12,所以 d=2. 2 2
关闭

C

解析

答案

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1 2 3 4 5

4.(在等差数列{an}中,已知 a1=20,an=54,Sn=999,则 d=

.

关闭

Sn=

又 an=a1+(n-1)d,

(1 + ) (20+54) = =999,解得 n=27. 2 2
关闭

17 17 即 54=20+(27-1)d,解得 d= . 13 13

解析

答案

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1 2 3 4 5

5.在小于 100 的正整数中,被 7 除余 2 的数的和为

.

关闭

易知 a1=2,an=2+7(n-1).

∵2+7(n-1)<100,∴n<15,S14=14×2+
665

14×13 ×7=665. 2

关闭

解析

答案

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1 2 3 4 5

自测点评 1.用等差数列的定义判断数列是否为等差数列,要注意
定义中的三个关键词:“从第 2 项起”、“每一项与它的前一项的差”、“同一 个常数”. 2.等差数列与函数的区别:当公差 d≠0 时,等差数列的通项公式是 n 的 一次函数;当公差 d=0 时,an 为常数. 3.公差不为 0 的等差数列的前 n 项和公式是 n 的二次函数,且常数项为 0. 4.等差数列的前 n 项和公式有两种表达形式,要根据题目给出的条件判 断使用哪一种表达形式.

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考点一等差数列的基本量的求解
1.(2014 河南郑州模拟)把 70 个面包分五份给 5 个人,使每人所得成等 差数列,且使较大的三份之和的 是较小的两份之和,则最小的一份为( 6 A.2 B.8 C.14 D.20
1

)

关闭

设等差数列{an}的公差为 d(d>0),Sn 为其前 n 项和, 由题意知,2S5=5(a1+a5)=10a3, 所以 a3=14,则这五份分别是 14-2d,14-d,14,14+d,14+2d.
关闭

A (14+14+d+14+2d)=14-2d+14-d,解得 d=6.故 14-2d=2,选 A. 又
解析 答案

1 6

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2.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,则 m 等于 ( ) A.3 B.4 C.5 D.6

关闭

由 Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,得 am=Sm-Sm-1=2,am+1=Sm+1-Sm=3, 所以等差数列的公差为 d=am+1-am=3-2=1. 由 = 1 + (m-1)d = 2, = 1 m + m(m-1)d = 0,
1 2



1 + m-1 = 2, 1 m + m(m-1) = 0,
1 2
关闭

1 = -2, 解得 C = 5.

解析

答案

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3.已知等差数列{an}的公差 d>0.设{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1,S2· S3=36. (1)求 d 及 Sn; (2)求 m,k(m,k∈N*)的值,使得 am+am+1+am+2+…+am+k=65.
关闭

解:(1)由题意知(2a1+d)(3a1+3d)=36, 将 a1=1 代入上式解得 d=2 或 d=-5. 因为 d>0,所以 d=2. 从而 an=2n-1,Sn=n2(n∈N*). (2)由(1)得 am+am+1+am+2+…+am+k=(2m+k-1)(k+1). 所以(2m+k-1)(k+1)=65. 由 m,k∈N*知 2m+k-1>k+1>1, 故 = 5, 2 + -1 = 13, 所以 = 4. + 1 = 5,

答案

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方法总结 1.等差数列的通项公式及前 n 项和公式共涉及五个量
a1,an,d,n,Sn,已知其中三个就能求另外两个,体现了用方程组解决问题的思 想. 2.减少运算量的设元的技巧,若三个数成等差数列,可设三个数为 a-d,a,a+d;若四个数成等差数列,可设四个数为 a-3d,a-d,a+d,a+3d.

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考点二等差数列的判定与证明
数列{an}满足 a1=1,a2=2,an+2=2an+1-an+2. (1)设 bn=an+1-an,证明{bn}是等差数列; (2)求{an}的通项公式.
(1)证明:由 an+2=2an+1-an+2 得 an+2-an+1=an+1-an+2, 即 bn+1=bn+2. 又 b1=a2-a1=1, 所以{bn}是首项为 1,公差为 2 的等差数列.
(2)解:由(1)得 bn=1+2(n-1) =2n-1, 即 an+1-an=2n-1. 于是 ∑ (ak+1-ak)= ∑ (2k-1), 所以 an+1-a1=n ,即 an+1=n2+a1. 又 a1=1,所以{an}的通项公式为 an=n2-2n+2.
=1
2





=1

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方法总结 1.等差数列的四种判断方法
(1)定义法:an+1-an=d(d 是常数)?{an}是等差数列. (2)等差中项法:2an+1=an+an+2(n∈N*)?{an}是等差数列. (3)通项公式:an=pn+q(p,q 为常数)?{an}是等差数列. (4)前 n 项和公式:Sn=An2+Bn(A,B 为常数)?{an}是等差数列. 2.若证明一个数列不是等差数列,则只需举出反例即可,也可以用反证 法.

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对点练习 (2014 广东梅州调研改编)若数列{a }的前 n 项和为 S ,且满
n n

足 an+2SnSn-1=0(n≥2),a1= . (1)求证:
1

1 2

成等差数列;

(2)求数列{an}的通项公式.
(1)证明:当 n≥2 时,由 an+2SnSn-1=0,得 Sn-Sn-1=-2SnSn-1, 所以 又
1 1 1

?

1 -1

=2 . 是首项为 2,公差为 2 的等差数列.

=

1 1 =2,故 1

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(2)解:由(1)可得 =2n,∴Sn= . 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=
1 2 1 2

1

1 2

?

1 2(-1)

=

-1- 1 =. 2(-1) 2(-1)

当 n=1 时,a1= 不适合上式.
1 ,n = 1 , 2 1 ,n ≥ 2(-1)

故 an=

2.

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考点三等差数列性质的应用
考情分析 等差数列的性质是高考的热点之一,很多题目利用等差
数列的基础知识也能解决,但计算量比利用等差数列的性质解决偏大,主要 类型有考查等差数列项的性质和考查等差数列和的性质.

类型一

等差数列项的性质的应用
) D.14
关闭

例 1 在等差数列{an}中,a1=2,a3+a5=10,则 a7=( A.5 B.8 C.10

由等差数列的性质,可知 a1+a7=a3+a5.因为 a1=2,a3+a5=10,所以 a7=8.故选 B.
关闭

B
解析 答案

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类型二 等差数列和的性质的应用
在等差数列{an}中,前 m 项的和为 30,前 2m 项的和为 100,则前 3m 项的 和为 .

关闭

记数列{an}的前 n 项和为 Sn,由等差数列前 n 项和的性质知 Sm,S2m-Sm,S3m-S2m 成等差数列, 则 2(S2m-Sm)=Sm+(S3m-S2m).又 Sm=30,S2m=100,S2m-Sm=100-30=70,所以 S3m-S2m=2(S2m-Sm)-Sm=110, 210 S3m=110+100=210 所以
关闭

解析

答案

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方法总结 1.等差数列项的性质:利用等差数列项的性质解决基本
量的运算体现了整体求值思想,应用时常将 an+am=2+ 与
2

am+an=ap+aq(m+n=p+q,m,n,p,q∈N*)相结合,可减少运算量. 2.等差数列和的性质:在等差数列{an}中,Sn 为其前 n 项和,则数列 Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…也是等差数列,且有 S2n=n(a1+a2n)=…=n(an+an+1);S2n-1=(2n-1)an;若 n 为偶数,则 S 偶-S 奇= ;若 n 为奇数,则 S 奇-S 偶=a 中(中间项).
2

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关闭

关闭

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对点练习 2 已知在等差数列{a }中,其前 n 项和为 S ,S =9,S =36,则
n n 3 6

a7+a8+a9=

.

关闭

∵{an}为等差数列, ∴S3,S6-S3,S9-S6 成等差数列. ∴2(S6-S3)=S3+(S9-S6). ∴ a7+a8+a9=S9-S6=2(S6-S3)-S3=2(36-9)-9=45. 45
关闭

解析

答案

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考点四等差数列的前 n 项和及其最值
在等差数列{an}中,已知 a1=20,前 n 项和为 Sn,且 S10=S15,求当 n 取何值 时,Sn 取得最大值,并求出它的最大值.
解法一:设等差数列{an}的公差为 d, ∵a1=20,S10=S15, ∴10×20+ ∴d=- . ∴an=20+(n-1)× 当 n≥14 时,an<0, ∴当 n=12 或 13 时,Sn 取得最大值,且最大值为 S13=S12=12×20+ 5 3 12×11 2 5 3 5 3 10×9 15×14 d=15×20+ d. 2 2 5 3 65 3

=- n+ .

∴a13=0,即当 n≤12 时,an>0; ×

=130.

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解法二:同解法一求得 d=- . ∴Sn=20n+
5 6 5 =6 125 n 6 25 2 2 (-1) 2

·-

5 3

5 3

=- n2+

+

∵n∈N*, ∴当 n=12 或 13 时,Sn 有最大值,且最大值为 S12=S13=130. 解法三:同解法一求得 d=- . 又由 S10=S15 得 a11+a12+a13+a14+a15=0. ∴5a13=0,即 a13=0. ∴当 n=12 或 13 时,Sn 有最大值, 且最大值为 S12=S13=130.
5 3

3 125 . 24

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方法总结 求等差数列前 n 项和 Sn 最值的两种方法
(1)函数法:将等差数列的前 n 项和 Sn=An2+Bn(A,B 为常数)看做二次函 数,根据二次函数的性质求最值. (2)邻项变号法:①利用等差数列的单调性,求出其正负转折项; ②利用性质求出其正负转折项,便可求得前 n 项和的最值.

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对点练习 1 (2014 湖北武昌联考)已知数列{a }是等差数
n

列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,{an}的前 n 项和为 Sn,则使得 Sn 达到最大 的 n 是( A.18 C.20 ) B.19 D.21
关闭

a1+a3+a5=105?a3=35,a2+a4+a6=99?a4=33, 则{an}的公差 d=33-35=-2,a1=a3-2d=39,Sn=-n2+40n, 因此当 Sn 取得最大值时,n=20. C

关闭

解析

答案

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对点练习 2 在等差数列{an}中,a1=7,公差为 d,前 n 项和为 Sn,当且 仅当 n=8 时 Sn 取得最大值,则 d 的取值范围为 .

关闭

由题意知当 d<0 时,Sn 存在最大值, ∵a1=7>0,∴数列{an}中所有非负项的和最大. 又∵当且仅当 n=8 时,Sn 取最大值, > 0, 7 + 7 > 0, ∴ 8 ∴ 9 < 0. 7 + 8 < 0, 7 7 解得 1 -1 ,-<d<-8. 8

关闭

解析

答案

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思想方法 核心规律

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满分策略

整体思想在等差数列中的应用
整体思想,就是在研究和解决有关数学问题时,通过研究问题的整体 形式、整体结构、整体特征,从而对问题进行整体处理的解题方法.从整体 上去认识问题、思考问题,常常能化繁为简、变难为易,同时又能培养学生 思维的灵活性、 敏捷性.整体思想的主要表现形式有:整体代入、 整体加减、 整体代换、整体联想、整体补形、整体改造等.在等差数列中,若要求的 Sn 所需要的条件未知或不易求出时,可以考虑整体代入. 在等差数列{an}中,其前 n 项和为 Sn.已知 Sn=m,Sm=n(m≠n),则 Sm+n= 答案:-(m+n) .

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思想方法 核心规律

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满分策略

解析:设{an}的公差为 d, 则由 Sn=m,Sm=n,
(-1) d = m, ① 2 得 (-1) = m1 + d = n. ② 2 (-)(+-1) ②-①得(m-n)a1+ · d=n-m. 2 +-1 ∵m≠n,∴a1+ d=-1. 2 (+)(+-1) ∴Sm+n=(m+n)a1+ d 2 +-1 =(m+n)(a1+ d)=-(m+n). 2

= n1 +

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思想方法 核心规律

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满分策略

对点练习 已知等差数列{a }的前 n 项和为 S ,若 a +a +a =12,则 S
n n 3 4 5

7

的值为

.

关闭

设数列{an}的首项为 a1,公差为 d, 因为 a3+a5=2a4, 所以由 a3+a4+a5=12 得 3a4=12,即 a4=4.
关闭

28 a1+3d=4,故 S7=7a1+7×6d=7(a1+3d)=7×4=28. 所以
2

解析

答案

第六章
思想方法 核心规律

6.2

等差数列及其前n项和
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满分策略

1.等差数列的判断方法: (1)定义法; (2)等差中项法; (3)利用通项公式判断; (4)利用前 n 项和公式判断. 2.公差不为 0 的等差数列的前 n 项和公式是 n 的二次函数,且常数项为 0.若某数列的前 n 项和公式是常数项不为 0 的二次函数,则该数列不是等差 数列,它从第 2 项起成等差数列. 3.方程思想和化归思想:在解有关等差数列的问题时,可以考虑化归为 a1 和 d 等基本量,通过建立方程(组)获得解.

第六章
思想方法 核心规律

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满分策略

1.当公差 d≠0 时,等差数列的通项公式是 n 的一次函数;当公差 d=0 时,an 为常数. 2.注意利用“an-an-1=d”时加上条件“n≥2”;否则,当 n=1 时,a0 无定义.


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6.2等差数列及其前n项和
§ 6.2 1.等差数列的定义 等差数列及其前 n 项和 如果一个数列___,我 们称这样的数列为等差数列,称这个常数为等差数列的___,通常用字母___表 示. 2....
6.2等差数列及前N项和
2 2 6. 等差数列的前 n 项和公式与函数的关系 d? d Sn= n2+? ?a1-2?n. 2 数列{an}是等差数列?Sn=An2+Bn,(A、B 为常数). 7. 等差数列的最...
6.2等差数列及其前n项和
§ 6.2 2014 高考会这样考 复习备考要这样做 等差数列及其前 n 项和 1.在解答题中对所求结论的运算进行等差数列的判断与证明;2.运用基 本量法求解等差数列...
第六章 6.2等差数列及其前n项和
a1+an? n?n-1? 设等差数列{an}的公差为 d,其前 n 项和 Sn= 或 Sn=na1+ d. 2 2 6.等差数列的前 n 项和公式与函数的关系 d? d Sn= n2+? ?...
2014届数学6.2等差数列及其前n项和
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6.2等差数列及其前n项和(作业)
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§6.2 等差数列及其前n项和
南通市天星湖中学教案 高三数学组 主备人:黄夏炎 §6.2 等差数列及其前 n 项和 【考情分析】 考点:等差数列定义、通项公式、 前 n 项和的公式 考纲要求:...
6.2等差数列及其前n项和(理_作业)
6.2等差数列及其前n项和(理_作业)_数学_高中教育_教育专区。限时作业 28 等差数列及其前 n 项和一、选择题 1.若数列{an}中,an=43-3n,则 Sn 取最大值...
6.2 等差数列及其前n项和
§6.2 等差数列及其前 n 项和 一、填空题(本大题共 9 小题,每小题 6 分,共 54 分) 1.设数列{an}是等差数列,其前 n 项和为 Sn,若 a6=2 且 S5...
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