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浙江省杭州市2015年高考数学命题比赛模拟试卷(2)及答案


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2015 年高考模拟试卷 数学卷(理科)
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的。
2 1.(原创)已知 x ? R ,则“ x ? 1 ”是“ x ? x ”的(



A.

充分不必要条件 C.充要条件 2.(原创)已知 f ?x ? ? 3sin x ?cos x ? x ?R 则? 的值可以是 ( A. ? ) B.

B.必要不充分条件 D.既非充分也非必要条件

? ,函数 y ?
C.
A _

f ( x ? ? ) 的图象关于(0,0)对称,

?
6

? 3

?

?
3
B _

D.

? 6

3.(改编)如图,水平放置的三棱柱的侧棱 长和底边长均为 2,且侧棱 AA1 ? 面A1 B1C1 , 正视图是边长为 2 的正方形,该三棱柱的左 视图面积为( ) A. 4 B. 2 3

B _ _ A

A_ _ 1

B_ _ 1

A_ _ 1

正视图

B_ _ 1

俯视图

C. 2 2

D. 3 的最小值是

? 4. (改编)设点 G 是 ?ABC 的重心,若 ?A ? 120 , AB ? AC ? ?1 ,则 AG



) A.

3 4

B.

2 3

C.

2 3

D.

3 3

5. (原创)设实数 x 和 A.26

y 满足约束条件
B.24

? x ? y ? 10 ? ? x? y ?2 ? x?4 ?

,则 z ? 2 x ? 3 y 的最小值为( C.16
2



D.14 )

6.(改编)函数 y=f(x)的图象如图所示,则函数 y= log 1 f(x)的图象 大致是(

A 7. (2010 年浙江省高考数学文科 10 改编)
2

B
2 2

C

D

已知双曲线

x y ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 与抛物 2 a b

线 y ? 8x 有一个公共的焦点 F ,且两曲线的一个交点为 P ,若 PF ? 5 ,则双曲线的离心 率为 ( )
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A、 5

B、 3

C、

2 3 3

D、2

8. (浙江 2012 年高三调研理科卷)若函数 f ? x ? ? 2x ?1 , 则函数 g ? x ? ? f

? f ? x?? ? ln x 在

?0 , 1? 上的不同零点个数为(
A.2 B.5

) C.4 D.3

非选择题部分(共 110 分)
二、填空题: 本大题共 7 小题, 单空题每题 4 分,多空题每题 6 分,共 36 分。

b ? _______, c ? ______ 9.(原创)若{ a,0,1} ={ c, ,?1} ,则 a ? _____,
10.(原创)已知等比数列 {an } 是递增数列,S n 是前 n 项和, 若 a1 , a3 是方程 x ? 5x ? 4 ? 0 的
2

1 b

两个根,则公比 q=______, S 6 ? _______ 11. ( 改 编 ) 已 知 函 数 y ? f ( x) 为 奇 函 数 , 且 当 x ? 0 时 , f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 3 , 则

f (?1) ? _ _ _ _ 当 , x ? 0时,f ( x) ? _ _ _ _ _ _ _ . ___
12. (改编)平面向量 a 、 b 满足 (a ? b)(2a ? b) ? ?4 ,且| a |=2,| b |=4,则 a 与 b 的夹 角等于_______, a 在 b 上的投影为_________. 13. (改编)不等式 x ? 3 y ? ay( x ? y) 对任意 x, y ? R 恒成立,则实数 a 的最大值为
2 2

.

1 1 ? x ? , x ? [0, ) ? ? 2 2 14. 已 知 函 数 f ( x) ? ? 若 存 在 x1 , x2 , 当 0 ? x1 ? x2 ? 2 时 , 1 x ? 1 ?2 , x ? [ , 2) ? ? 2

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则 x1 f ( x2 ) 的取值范围是



15. (浙江省高考数学理调研模拟卷(一)第 16 题改编)把正整数排列成如图甲三角形数阵, 然后擦去第偶行数中的奇数和第奇数行中的偶数,得到如图乙的三角形数阵,设 aij 位于图乙 三角形数表中从上往下数第 i 行第 j 列的数,若 a mn ? 2011,则实数对 ( m, n ) 为______

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2

1 3

1
4

2 5 10 17 26 ... ... 28 ... ... 19 30 ... ... 图乙 12 21 7

4 9 14 23 32 ... ... 34 ... ... 16 25 36 ...

5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 图甲

第 15 题图

三、解答题:本大题共 5 小题,共 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16. (本题满分 14 分) (改编)已知向量 m ? (sin x,?1) ,向量 n ? ( 3 cos x,? ) ,函数

1 2

f ( x) ? (m ? n) ? m
(Ⅰ)求 f ( x ) 的最小正周期 T ; (Ⅱ)已知 a , b , c 分别为 ?ABC 内角 A , B , C 的对边, A 为锐角, a = 2 3 , c = 4 , 且 f ( A) 恰是 f ( x ) 在 [0 ,

p ] 上的最大值,求 A , b 和 ?ABC 的面积 S . 2

17.(本题满分 15 分) (浙江省衢州市 2011 年 4 月高三教学质量检测理科)如图, 在梯形 ABCD 中, AB / / CD ,

AD ? DC ? CB ? 1, ?ABC ? 60 ,四边形 ACFE 为矩形,平面 ACFE ? 平面 ABCD ,
CF ? 1 .
(I)求证: BC ? 平面 ACFE ; (II)点 M 在线段 EF 上运动,设平面 MAB 与平面 FCB 所成二面角的平面角为 ? (? ? 90 ) , 试求 cos ? 的取值范围.

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18.(本题满分 15 分) (改编) 已知椭圆 C :

x2 y2 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 经过点 P (1, ) ,且两焦点与短轴的一个端点构 2 2 a b

成等腰直角三角形。 (1)求椭圆的方程; (2)动直线 l : mx ? ny ?

1 n ? 0(m, n ? R) 交椭圆 C 于 A、B 两点,试问:在坐标平面上是 3

否存在一个定点 T,使得以 AB 为直径的圆恒过点 T。若存在,求出点 T 的坐标;若不存在, 请说明理由。

19. (本题满分 15 分) (改编)已知二次函数 y ? f ( x) 的定义域为 R, f ( x) 在 x ? m 时取得
2 最值,又知 y ? g ( x) 为一次函数,且 f ( x) ? g ( x) ? x ? x ? 2

(1)求 f ( x) 的解析式,用 m 表示 (2)当 x ? [?2,1] 时, f ( x) ? ?3 恒成立,求实数 m 的取值范围。

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20. ( 本 题 满 分 15 分 ) ( 2013 北 京 卷 改 编 ) 设 数 列 ?an ? 的 前 n 项 和 为 Sn . 已 知

2Sn 1 2 ? an ?1 ? n 2 ? n ? , n ? N* . n 3 3 (Ⅰ) 求 a2 的值;

a1 ? 1 ,

(Ⅱ) 求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅲ) 证明:对一切正整数 n ,有

1 1 ? ? a1 a2

?

1 7 ? . an 4

2015 年高考模拟试卷 数学卷(理科)

答题卷
一、选择题: 本大题共 10 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一 项是符合题目要求的。

考号

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

二、填空题:共 7 小题, 第 9 题每空 2 分,第 10,11,12 题每空 3 分,其余每题 4 分,共 36 分。 。 9、___________, __________, ___________ 11.____________,
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线

答案

10.__________, 12.__________,

_____________ _____________

____________
-5-

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姓名



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13____________,

14_____________,

15___________

三、解答题: 本大题共 5 小题, 共 74 分。解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤。 16. (本小题 14 分)

17.(本小题共 15 分)

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18. (本小题共 15 分)

19.(本小题共 15 分)

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20.(本小题共 15 分)

2015 年高考模拟试卷 数学(理科)参考答案及评分标准
一、选择题:本题考查基本知识和基本运算,每小题 5 分, 满分 40 分。

题号 答案

1
C

2
A

3
B

4
C

5
A

6
B

7
D

8
B

二、填空题:本题考查基本知识和基本运算。第 9 题每空 2 分,第 10,11,12 题每空 3 分, 其余每题 4 分。共 36 分。 9 、 a ? ?1 , b ? 1 , c ? 0 10、 2,

15 2

11、-2,

- x 2 ? 2x ? 3

12、
-8-

? , 1 3
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13、2,

14、[

2? 2 1 , ) 4 2

15、(45,38)

三、解答题(共 74 分) 16. (本题满分 14 分) (Ⅰ) f ( x) ? (m ? n) ? m ? sin x ? 1 ? 3 sin x cos x ?
2

1 2

????3 分

?

1 ? cos 2 x 3 1 3 1 ?1? sin 2 x ? ? sin 2 x ? cos 2 x ? 2 2 2 2 2 2

? sin(2 x ? ) ? 2 6
因为 ? ? 2 ,所以 T ?

?

????6 分

2? ?? 2

????7 分

(Ⅱ) 由(Ⅰ)知: f ( A) ? sin(2 A ?

?
6

) ?2

? ? ? 5? x ? [0, ] 时, ? ? 2 x ? ? 2 6 6 6
由正弦函数图象可知,当 2 x ? 所以 2 A ?

?

?
6

?

?
2

,A?

?
3

6

?

?
2

时 f ( x ) 取得最大值 3 ????9 分
2

2 2 2 由余弦定理, a ? b ? c ? 2bc cos A ∴ 12 ? b ? 16 ? 2 ? 4b ?

1 ∴b ? 2 2

???12 分 ???14 分

从而 S ?

1 1 bc sin A ? ? 2 ? 4sin 60 ? 2 3 2 2

17. (本题满分 15 分) (I)证明:在梯形 ABCD 中, ∵ AB // CD , AD ? DC ? CB ? 1 , ∠ ABC = 60 ,∴ AB ? 2 ∴ AC ? AB ? BC ? 2 AB ? BC ? cos60 ? 3
2 2 2 o 2 2 2

?????2 分

∴ AB ? AC ? BC ∴ BC ⊥ AC ??????? 4 分 ∵ 平面 ACFE ⊥平面 ABCD ,平面 ACFE ∩平面 ABCD ? AC , BC ? 平面 ABCD ∴ BC ⊥平面 ACFE ?????6 分 (II) 解法一:由(I)可建立分别以直线 CA, CB, CF 为 x轴,y轴, z轴 的如图所示空间直角 坐 标 系 , 令 FM ? ? (0 ? ? ?

B?0,1,0?, M ?? ,0,1?

3) , 则 C(0,0,0), A( 3,0,0) ,
????8 分



AB ? ? 3,1,0 , BM ? ??,?1,1?
? n1 ? AB ? 0 ?n1 ? BM ? 0 ?? 3x ? y ? 0 ??x ? y ? z ? 0
-9-

设 n1 ? ?x, y, z ?为平面 MAB 的一个法向量, 由? 得?

?

?

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取 x ? 1 ,则 n1 ? 1, 3, 3 ? ? , ∵ ∴

n2 ? ?1,0,0? 是平面 FCB 的一个法向量
| n1 ? n2 | | n1 |? | n2 | ? 1? 3 ? 1 ? ?1 1
???12 分

?

?

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????10 分

cos ? ?

?

3??

?

2

?? ? 3 ?
1 2

2

?4

∵ 当

0?? ? 3

∴ 当 ? ? 0 时, cos ? 有最 小值 。

7 , 7


? s有 最 大 值 ?? 3 时 , c o
????15 分

? 7 1? cos ? ? ? , ? ? 7 2?

解法二:①当 M 与 F 重合时,取 FB 中点为 G ,连结 AG、CG ∵ AF ? AC2 ? CF 2 ? 2 , ∴ AB ? AF ∴ AG ⊥ FB ∵ CF ? CB ? 1 ∴ CG ⊥ FB ∴ ∠ AGC = ?

FB ? 2 2 14 ∴ CG ? , AG ? 2 2 2 CG ? AG 2 ? AC 2 7 ∴ cos ? ? ? 2CG ? AG 7 ②当 M 与 E 重合时,过 B作BN // CF , 且使BN ? CF , 连结 EN、FN ,则平面 MAB ∩平面 FCB = BN , ∵ BC ⊥ CF ,又∵ AC ⊥ CF ∴ CF ⊥平面 ABC ∴ BN ⊥平面 ABC ∴ ∠ ABC = ? ∴ ? = 60 , 1 ∴ cos ? = 2 ③当 M 与 E、F 都不重合时,令 FM ? ? (0 ? ? ? 3) 延长 AM 交 CF 的延长线于 N ,连结 BN ∴ N 在平面 MAB 与平面 FCB 的交线上 ∵ B 在平面 MAB 与平面 FCB 的交线上 ∴ 平面 MAB ∩平面 FCB = BN


BC ⊥ CF



????8 分…

?????10 分

[来源:学科网]

过 C 作 CG⊥NB 交 NB 于 G ,连结 AG, 由(I)知, AC ⊥ BC , 又∵AC⊥CN, ∴ AC⊥平面 NCB ∴ AC⊥NB, 又∵ CG⊥NB,AC∩CG=C, ∴ NB⊥平面 ACG ∴AG⊥NB ∴ ∠AGC= ?
以质量求生存 - 10 努力造就实力,态度决定高度!

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在 ?NAC 中,可求得 NC=

3 ,从而,在 ?NCB 中,可求得 CG= 3??
3

3

?? ? 3 ?

2

?3

∵ ∠ACG= 90

o



AG=

AC 2 ? CG 2 ?

?? ? 3 ? ? 4 ?? ? 3 ? ? 3
2 2



c o? s ?

CG ? AG

1

?? ? 3 ?


2

?4
???14 分 ???15 分

7 1 ? cos ? ? 7 2 ? 7 1? , ? 综合①②③得, cos ? ? ? 7 2? ?


0?? ? 3

18. (本题满分 15 分) 解: (1)∵椭圆 C : 三角形, ∴a ?

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角 a2 b2

2b ∴

x2 y2 ? ?1 2b 2 b 2

又∵椭圆经过点 P (1,

2 ) ,代入可得 b ? 1 , 2
????3 分 ????5 分
2 2

x2 ? y 2 ? 1. ∴ a ? 2 ,故所求椭圆方程为 2 1 (2)首先求出动直线过(0, ? )点. 3
1 3 2 2 当 L 与 y 轴平行时,以 AB 为直径的圆的方程: x ? y ? 1
当 L 与 x 轴平行时,以 AB 为直径的圆的方程: x ? ( y ? ) ? ( )

4 3

2

????6 分 ???7 分

1 2 4 2 ? 2 ?x ? 0 ?x ? ( y ? ) ? ( ) 由? 3 3 解得? ?y ? 1 ?x 2 ? y 2 ? 1 ?
即两圆相切于点(0,1),因此,所求的点 T 如果存在,只能是(0,1) 。事实上,点 T(0, 1)就是所求的点。 ????9 分 证明如下: 当直线 L 垂直于 x 轴时,以 AB 为直径的圆过点 T(0,1)

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若直线 L 不垂直于 x 轴,可设直线 L: y ? kx ?

1 3

1 ? y ? kx ? ? ? 3 由? 消去y得 : (18k 2 ? 9) x 2 ? 12kx ? 16 ? 0 2 ?x ? y2 ? 1 ? ?2

12k ? x1 ? x 2 ? ? ? 18k 2 ? 9 记点 A( x1 , y1 ) 、 B( x 2 , y 2 ),则? ? x x ? ? 16 1 2 ? 18k 2 ? 9 ?

???12 分

又因为 TA ? ( x1, y1 ?1),TB ? ( x2 , y2 ?1)

4 4 所以TA ? TB ? x1 x2 ? ( y1 ? 1)( y 2 ? 1) ? x1 x2 ? (kx1 ? )( kx 2 ? ) 3 3
? (1 ? k 2 ) x1 x 2 ? 4 16 k ( x1 ? x 2 ) ? 3 9 ? 16 4 12 k 16 ? (1 ? k 2 ) ? ? k? ? ?0 2 2 18k ? 9 3 18k ? 9 9
???15 分

所以 TA⊥TB,即以 AB 为直径的圆恒过 点 T(0,1) 所以在坐标平面上存在一个定点 T(0,1)满足条件. (注:其他解法相应给分) 19. (本题满分 15 分) (1)设 f ( x) ? a( x ? m) ? b, ? f (1) ? 1,? a(1 ? m) ? b ? 1
2 2

又 f ( x) ? g ( x) ? x ? x ? 2 ,g(x)为一次函数
2

? a ? 1, b ? 2m ? m2 ? f ( x) ? ( x ? m) 2 ? 2m ? m2 ? x 2 ? 2mx ? 2m
(2)当 m ? ?2 ,则 f (?2) ? ?3 , m ? ?

???4 分 ???6 分 ???9 分 ???11 分 ???14 分 ???15 分

7 6

当 ? 2 ? m ? 1 ,则 f (m) ? ?3,?1 ? m ? 1 当 m. ? 1 ,则 f (1) ? ?3, 恒成立。 综上所述, m ? ?1

20. (本题满分 15 分)
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2Sn 1 2 ? an ?1 ? n 2 ? n ? , n ? N ? . (1) 解: n 3 3 1 2 ? 当 n ? 1 时, 2a1 ? 2S1 ? a2 ? ? 1 ? ? a2 ? 2 3 3
又 a1 ? 1 ,

? a2 ? 4
(2)解:

???4 分

2Sn 1 2 ? an ?1 ? n 2 ? n ? , n ? N ? . n 3 3


n ? n ? 1?? n ? 2 ? 1 2 ? 2Sn ? nan?1 ? n3 ? n 2 ? n ? nan ?1 ? 3 3 3

? 当 n ? 2 时, 2Sn ?1 ? ? n ? 1? an ?

? n ? 1? n ? n ? 1?
3

② ???8 分

由① — ②,得 2Sn ? 2Sn?1 ? nan?1 ? ? n ?1? an ? n ? n ?1?

2an ? 2Sn ? 2Sn?1

?2an ? nan?1 ? ? n ?1? an ? n ? n ?1?
? ? an ?1 an ? ?1 n ?1 n a ?a ? ? 数列 ? n ? 是以首项为 1 ? 1 ,公差为 1 的等差数列. 1 ?n?

an ? 1 ? 1? ? n ? 1? ? n,? an ? n 2 ? n ? 2 ? n 当 n ? 1 时,上式显然成立.

?an ? n2 , n ? N *
3)证明:由(2)知, an ? n2 , n ? N * ①当 n ? 1 时,

???10 分

1 7 ? 1 ? ,? 原不等式成立. a1 4 1 1 1 7 ? ? 1 ? ? ,? 原不等式亦成立. ??12 分 a1 a2 4 4

②当 n ? 2 时,

③当 n ? 3 时,

n2 ? ? n ? 1? ? ? n ? 1? ,?

1 1 ? 2 n ? n ?1? ? ? n ? 1?
1? 1 1? 1? 1 1 ? ? ? ? ?? ? ? ? 2 ? n ? 2 n ? 2 ? n ?1 n ? 1 ?
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1 ?1 1 ? 1 ? 1 1 ? 1 ? 1 1 ? ? 1? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ?1 3 ? 2 ? 2 4 ? 2 ? 3 5 ?
以质量求生存 - 13 -

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1 ?1 1 1 1 1 1 ? 1? ? ? ? ? ? ? ? 2 ?1 3 2 4 3 5

?

1 1 1 1 ? ? ? ? ? n ? 2 n n ?1 n ? 1 ?

1 ?1 1 1 1 ? 7 1? 1 1 ? 7 ? 1? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? 2 ? 1 2 n n ?1 ? 4 2 ? n n ?1 ? 4

? 当 n ? 3 时,,? 原不等式亦成立.
综上,对一切正整数 n ,有

1 1 ? ? a1 a2

?

1 7 ? . an 4

???15 分

以质量求生存

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