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北方民族大学附属中学2015-2016学年高二上学期期末考试数学理试题


北方民族大学附属中学 2015-2016 学年度(上)高二期末试卷 数学理科
一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的 四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1. 已知椭圆

x2 y2 ? ? 1 上的一点 P 到椭圆一个焦点的距离为 3 ,则 P 到另一焦点距离为 25 16
B.7

C. 5 ( D.3 ( )

A. 2

2.动点 P 到点 M (1,0) 及点 N (3,0) 的距离之差为 2 ,则点 P 的轨迹是 A.双曲线 B.双曲线的一支 C.两条射线



D.一条射线 ( )

3.若抛物线 y 2 ? 8x 上一点 P 到其焦点的距离为 9 ,则点 P 的坐标为 A.(7, ? 14) B.(14, ? 14) C.(7, ?2 14) 15 4.已知向量 a=(2,-3,5)与向量 b=(3,λ , )平行,则 λ = 2 A. 2 3 B.

D.(?7, ?2 14) ( )

9 9 2 C. - D. - 2 2 3 → → → 5.已知不共线向量 a,b,且AB=a+2b,BC=-5a+6b,CD=7a-2b,则一定共线的三 点是 A.A、B、C C.B、C、D B.A、B、D D.A、C、D ( )

6.设 F 为抛物线 C : y 2 ? 3x 的焦点,过 F 且倾斜角为 30 ? 的直线交 C 于 A , B 两点,则

AB ?
A.

(

)

30 3

B. 6

C. 12

D. 7 3 ( )

7.已知 a=(-2,1,3),b=(-1,2,1),若 a⊥(a-λ b),则实数 λ 的值为 A.-2 14 B.- 3 14 C. 5 D.2

x2 y2 8.以 - =-1 的焦点为顶点,顶点为焦点的椭圆方程为 4 12 x2 y2 A. + =1 16 12 x2 y2 B. + =1 12 16 x2 y2 C. + =1 16 4 x2 y2 D. + =1 4 16

(

)

9.双曲线 mx2+y2=1 的虚轴长是实轴长的 2 倍,则 m 等于 1 A.- 4 B.-4 C.4 1 D. 4

(

)

10.双曲线的虚轴长为 4,离心率 e=

6 ,F1、F2 分别为它的左、右焦点,若过 F1 的直线与 2 ( )

双曲线的左支交于 A、B 两点,且|AB|是|AF2|与|BF2|的等差中项, ,则|AB|等于 A.8 2 B.4 2 C.2 2 D.8

11.设双曲线的一个焦点为 F,虚轴的一个端点为 B,如果直线 FB 与该双曲线的一条渐近 线垂直,那么此双曲线的离心率为 A. 2 B. 3 C. 3+1 2 D. 5+1 2 ( )

???? ? ???? ? 1 ????? 12.正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,点 M 在 AC1 上且 AM = MC1 ,N 为 B1B 的中点,则 2
| MN |为 A. 21 6 B. 6 6 C. 15 6 D. 15 3

???? ?

(

)

二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,将正确答案填在题 中横线上)
2 2 13.椭圆 5x ? ky ? 5 的一个焦点是 (0,2) ,那么 k ?

.

14.在空间四边形 ABCD 中, AB · CD + BC · AD + CA · BD =

??? ?

??? ?

??? ?

????

????

??? ?

.

15.若曲线

x2 y2 ? ? 1 表示双曲线,则 k 的取值范围是 4 ? k 1? k

.

16.空间四边形 OABC 中,OA=8,AB=6,AC=4,BC=5,∠OAC=45°,∠OAB =60°,则 OA 与 BC 所成角的余弦值等于 .

三、解答题(本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或

演算过程)
17. ((本题满分 10 分))已知空间四边形 OABC 如图所示,M 是 AB 的中点,N 是 CM → → 的中点,用基底{a,b,c}表示ON,求向量ON

x2 y2 18.(本题满分 12 分) (1)求与椭圆 + =1 共焦点,且过点(-2, 10)的双曲线; 16 25 (2)在抛物线 y ? 4x2 上求一点,使这点到直线 y ? 4 x ? 5 的距离最短。

19.(本题满分 12 分) k 为何值时,直线 y ? kx ? 2 和曲线 2 x ? 3 y ? 6 有两个公共点? 有一个公共点?没有公共点?
2 2

20. (本题满分 12 分)如图,平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,以顶点 A 为端点的三条棱长都为 1,且两两夹角为 60°. (1)求 AC1 的长; (2)求 BD1 与 AC 夹角的余弦值.

x2 y2 21.(本题满分 12 分)设 F1、F2 是双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的两个焦点,点 P 在双曲 a b → → → → 线上,若PF1· PF2=0,且|PF1|· |PF2|=2ac,其中 c= a2+b2,求双曲线的离心率.

x2 y2 22.(本题满分 12 分)如图,点 A 是椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的短轴位于 x 轴下方的端 a b 点,过 A 作斜率为 1 的直线交椭圆于 B 点,P 点在 y 轴上,且 BP∥x 轴, → → AB· AP=9. (1)若 P 的坐标为(0,1),求椭圆 C 的方程; (2)若 P 的坐标为(0,t),求 t 的取值范围.

北方民族大学附属中学 2015-2016 学年度(上)高二期末试卷 数学理科参考答案
一.选择题(本大题共有 12 个小题,每题 5 分共 60 分)

1 B D

2 C

3 C

4 B

5 C

6 D

7 D

8 A

9 A

10

11 D

12 A

1.B 点 P 到椭圆的两个焦点的距离之和为 2a ? 10,10 ? 3 ? 7 2.D 3.C

PM ? PN ? 2, 而MN ? 2 ,? P 在线段 MN 的延长线上
点 P 到其焦点的距离等于点 P 到其准线 x ? ?2 的距离,得 xP ? 7, y p ? ?2 14

2 -3 5 9 4. C.由 a∥b 得, = = ,解得λ =- . 3 λ 15 2 2 5.B → 3AB. ∴A、B、D 三点共线,同理 B、C、D 三项错误.故选 A. 6 C 7. D.∵a=(-2,1,3),b=(-1,2,1), ∴a-λ b=(λ -2,1-2λ ,3-λ ),由 a⊥(a-λ b)得-2(λ -2)+1-2λ +9-3λ =0? λ =2,选 D. x2 y2 y2 x2 8 D 将 - =-1 化为 - =1,易知双曲线的焦点在 y 轴上,焦点为(0,± 4),顶点 4 12 12 4 x2 y2 为(0,± 2 3),所以椭圆的 a=4,c=2 3,因此 b2=16-12=4 所以椭圆方程为 + =1. 4 16 x2 9 A 双曲线 mx2+y2=1 的方程可化为:y2- = 1, 1 - m 1 ∴a2=1,b2=- ,由 2b=4a, m ∴2 1 1 - =4,∴m=- . m 4 → → → → → → → → AD=CD-CA=CD+AC=CD+AB+BC=(7a-2b)+(a+2b)+(-5a+6b)=3a+6b=

c 6 10 A∵ = ,2b=4,∴a2=8,a=2 2,|AF2|-|AF1|=2a=4 2, a 2 |BF2|-|BF1|=2a=4 2, 两式相加得|AF2|+|BF2|-(|AF1|+|BF1|)=8 2, 又∵|AF2|+|BF2|=2|AB|,|AF1|+|BF1|=|AB|,∴|AB|=8 2. b b 11 D 设 F(-c,0) B(0,b)则 KFB= 与直线 FB 垂直的渐近线方程为 y=- x c a



b a = ,即 b2=ac 又 b2=c2-a2,∴有 c2-a2=ac c b

1± 5 两边同除以 a2 得 e2-e-1=0∴e= 2 1+ 5 ∵e>1,∴e= ,选 D. 2 12. A.设 AB =a,

??? ?

????? ???? AD =b, AA1 =c,则 a·b=b·c=c·a=0.

???? ? ???? ? ??? ? ???? 1 1 2 1 1 由条件知 MN = MA + AB + BN =- (a+b+c)+a+ c= a- b+ c 3 2 3 3 6

???? ? 2 4 2 1 2 1 2 21 ???? ? 21 ∴ MN = a + b + c = ,∴| MN |= . 9 9 36 36 6
二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,将正确答案填在题 中横线上.
13 15 1 , 14 0 , 16 3-2 2 5

(? ?, ?4 ? )

( 1? ,? )

13. 焦点在 y 轴上,则

y2 x2 5 ? ? 1, c 2 ? ? 1 ? 4, k ? 1 5 1 k k
????

14.设 AB =b, AC =c, AD =d, 则 CD =d-c, BD =d-b, BC =c-b.原式=b·(d-c)+d·(c-b)-c·(d-b)=0. 15. (4 ? k )(1 ? k ) ? 0,(k ? 4)(k ?1) ? 0, k ? 1, 或k ? ?4 16.由题意知 AO · BC = AO · ( AC - AB )= AO · AC - AO · AB =8×4×cos45°-8×6×cos60°=16 2-24. ∴cos〈 AO , BC 〉=

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

????

??? ?

????

??? ?

??? ?

????

??? ?

????

??? ?

????

??? ?

AO― →·BC― → 16 2-24 2 2-3 = = . |AO― →||BC― →| 8×5 5

3-2 2 ∴OA 与 BC 所成角的余弦值为 . 5

三、解答题(本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或 演算过程)

17. 解:
→ → → ON=OM+MN 1 → → 1→ = (OA+OB)+ MC 2 2 1 1 1 → → = (a+b)+ × (AC+BC) 2 2 2 1 1 = (a+b)+ (c-a+c-b) 2 4 1 1 1 = a+ b+ c. 4 4 2 18 解: x2 y2 (1)∵椭圆 + =1 的焦点为(0,± 3), 16 25

y2 x2 ∴所求双曲线方程设为: 2- =1, a 9-a2 又点(-2, 10)在双曲线上, ∴ 10 4 - =1,解得 a2=5 或 a2=18(舍去). a2 9-a2

y2 x2 ∴所求双曲线方程为 - =1. 5 4 (2)解:设点 P(t , 4t ) ,距离为 d , d ?
2

4t ? 4t 2 ? 5 17

?

4t 2 ? 4t ? 5 17

当t ?

1 1 时, d 取得最小值,此时 P ( ,1) 为所求的点。 2 2

? y ? kx ? 2 19.解:由 ? 2 ,得 2 x2 ? 3(kx ? 2)2 ? 6 ,即 (2 ? 3k 2 ) x2 ?12kx ? 6 ? 0 2 2 x ? 3 y ? 6 ?
? ? 144k 2 ? 24(2 ? 3k 2 ) ? 72k 2 ? 48
当 ? ? 72k 2 ? 48 ? 0 ,即 k ?
6 6 , 或k ? ? 时,直线和曲线有两个公共点; 3 3 6 6 , 或k ? ? 时,直线和曲线有一个公共点; 3 3

当 ? ? 72k 2 ? 48 ? 0 ,即 k ?

当 ? ? 72k 2 ? 48 ? 0 ,即 ?
??? ? ????

6 6 ?k? 时,直线和曲线没有公共点。 3 3

20. 解:设 AB =a, AD =b, AA1 =c,则|a|=|b|=|c|=1,

?????

〈a,b〉=〈b,c〉=〈c,a〉=60°, 1 ∴a·b=b·c=c·a= . 2 (1)| AC1 | =(a+b+c)
2 2 2 2

???? ?

2

=a +b +c +2a·b+2b·c+2a·c 1 1 1 =1+1+1+2×( + + )=6. 2 2 2 ∴AC1=| AC1 |= 6. (2) BD1 =b+c-a, AC =a+b. ∴| BD1 |= 2,| AC |= 3.

???? ?

???? ? ???? ?

??? ?

??? ?

???? ? ??? ? BD1 · AC =(b+c-a)·(a+b)
=b -a +a·c+b·c=1. ∴cos〈 BD1 , AC 〉=
2 2

???? ?

??? ?

6 . 6 6 . 6

∴AC 与 BD1 夹角的余弦值为

21 解:由双曲线定义知,||PF1|-|PF2||=2a, ∴|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|· |PF2|=4a2, 又|PF1|2+|PF2|2=4c2,∴|PF1|· |PF2|=2b2, → → 又|PF1|· |PF2|=2ac,∴2ac=2b2, 1+ 5 ∴b2=c2-a2=ac,∴e2-e-1=0,∴e= , 2 1+ 5 即双曲线的离心率为 . 2 20 解:(1)A(0,-b),l 的方程为 y+b=x,P(0,1),则 B(1+b,1), → → AB=(1+b,1+b),AP=(0,b+1), → → 又∵AB· AP=9,∴(1+b,1+b)· (0,b+1)=9, 即(b+1)2=9,∴b=2, 9 1 ∴点 B(3,1)在椭圆上,∴ 2+ =1,∴a2=12, a 4 x2 y2 所求的椭圆方程为 + =1. 12 4

(2)P(0,t),A(0,-b),B(t+b,t), → → → → AB=(t+b,t+b),AP=(0,t+b),AB· AP=9, ∴(t+b)2=9,∴b=3-t,B(3,t),
2 9 t2 2 3(t-3) 代入椭圆 2+ , 2=1,∴a = a (3-t) 3-2t

3(t-3)2 3 ∵a >b ,∴ >(3-t)2,∴0<t< . 2 3-2t
2 2


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