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命题及其关系、充分条件与必要条件


第二讲

命题及其关系、充分条件与必要条件
日期________ 得分________

班级________ 姓名________ 学号________

一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 6 分,共 36 分.将正确答 案的代号填在题后的括号内) 1.(2011· 11 月全国百校联盟)“a=1”是“函数 f(x)=|x-a|在区间[1, +∞)上为增函数”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 a=1 时,画出 f(x)=|x-1|的图像,知 f(x)在区间[1,+∞)上为 增函数; a=0 时,f(x)=|x|在区间[1,+∞)上为增函数,但 a≠1. 答案 A 2. (2011· 福建 )若 a∈ R,则“a=2”是“(a-1)(a- 2)=0”的 ( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 解析 若“a=2”,则“(a-1)(a-2)=0”,即 a=2?(a-1)(a )

-2)=0.若“(a-1)(a-2)=0”,则“a=2,或 a=1”;故(a-1)(a -2)=0 不一定能推出 a=2,故选 A. 答案 A

评析

本小题主要考查充分条件、必要条件与充要条件的判断,

考查考生对“以小推大”的技巧是否会用到位,考查运算求解能力. 3.“a=1”是“直线 x+y=0 和直线 x-ay=0 互相垂直”的( A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 当 a=1 时,直线 x+y=0 和直线 x-ay=0 互相垂直;当直线 x +y=0 和直线 x-ay=0 互相垂直时,有 a=1.故选 C. 答案 C 评析 如果 p?q,q?p,那么 p 是 q 的充要条件. 1 1 4.(2011· 浙江)若 a,b 为实数,则“0<ab<1”是“a<b,或 b>a” 的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 1 对于 0<ab<1,如果 a>0,那么 b>0,a<b成立,如果 a<0, )

1 1 1 那么 b<0,b>a成立,因此“0<ab<1”是“a<b,或 b>a”的充分条件; 1 1 反之,若 a=-1,b=2,结论“a<b,或 b>a”成立,但条件 0<ab<1 1 1 不成立, 因此“0<ab<1”不是“a<b, 或 b>a”的必要条件; 即“0<ab<1” 1 1 是“a<b,或 b>a”的充分而不必要条件.

答案 评析

A 此题主要考查充要条件的知识, 对于问题的破解要注意逻

辑推理和举例反证相结合进行分析,以提高解题的有效性和针对性. 5.(2011· 湖北)若实数 a,b 满足 a≥0,b≥0,且 ab=0,则称 a 与 b 互补.记 φ(a,b)= a2+b2-a-b,那么 φ(a,b)=0 是 a 与 b 互补的( )

A.必要而不充分的条件 B.充分而不必要的条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要的条件 解析 根据题意知,a,b 互补,且 a,b 非负,其中至少有一个

为 0.由 φ(a, b)= a2+b2-a-b=0 可得 a≥0, b≥0, 且 ab=0.当 a≥0, b≥0,且 ab=0 时,同样可以求出 φ(a,b)=0. 答案 评析 C 本题是一道信息题, 考查理解能力和分析问题、 解决问题

的能力,同时也考查了充分必要条件的有关知识. 6.(2011· 新课标)已知 a 与 b 均为单位向量,其夹角为 θ,有下 列四个命题( )
? ? ? ? ? ?

? 2π? p1:|a+b|>1?θ∈?0, 3 ? ?2π ? p2:|a+b|>1?θ∈? 3 ,π? ? π? p3:|a-b|>1?θ∈?0,3? ? ? ?π ? p4:|a-b|>1?θ∈?3,π?

其中的真命题是(

)

A.p1,p4 C.p2,p3 解析

B.p1,p3 D.p2,p4

由|a+b|>1 可得 a2+2a· b+b2>1, ∵|a|=1, |b|=1, ∴ a· b>

? 2π? ? 2π? 1 1 - ,故 θ∈?0, 3 ?.当 θ∈?0, 3 ?时,a· b>- ,|a+b|2=a2+2a· b+ 2 2 ? ? ? ?

b2>1,即|a+b|>1;由|a-b|>1 可得 a2-2a· b+b2>1,∵|a|=1,|b|=1,
?π ? 1 ∴ a· b< ,故 θ∈?3,π?,反之也成立,选 A. 2 ? ?

答案 评析

A 此题考查向量的运算、向量的模及向量的夹角.

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 6 分,共 24 分.把正确答 案填在题后的横线上) 7.若“x∈[2,5],或 x∈{x|x<1,或 x>4}”是假命题,则 x 的 取值范围是__________. 解析 x?[2,5],且 x?{x|x<1,或 x>4}是真命题. ≤x≤4, 得 1≤x<2,故 x∈[1,2).

由{x<2,或x>5, 答案 [1,2)

8.设 p,r 都是 q 的充分条件,s 是 q 的充要条件,t 是 s 的必要 条件, t 是 r 的充分条件, 那么 p 是 t 的________条件, r 是 t 的________ 条件.(用充分、必要、充要填空)

解析

由题意可画出图形:

.由图形可看出 p

是 t 的充分条件,r 是 t 的充要条件. 答案 充分 充要

9.令 P(x):ax2+3x+2>0,若对任意 x∈R,P(x)是真命题,则 实数 a 的取值范围是__________.

解析

对任意 x∈R,P(x)是真命题,就是不等式 ax2+3x+2>0

对一切 x∈R 恒成立. (1)若 a=0,不等式仅为 3x+2>0 不能恒成立.
?a>0, ? 9 (2)若? 解得 a> . 8 ? ?Δ=9-8a<0,

(3)若 a<0,不等式显然不能恒成立. 9 综上所述,实数 a> . 8 答案 9 a> 8

10.给出下列命题: A.“数列{an}为等比数列,是“数列{anan+1}为等比数列”的充分不必 要条件; B.“a=2”是“函数 f(x)=|x-a|在区间[2,+∞)上为增函数”的充分 条件; C.“m=3”是“直线(m+3)x+my-2=0 与直线 mx-6y+5=0 互相 垂直”的充要条件; D.设 a,b,c 分别是 △ABC 三个内角 A,B,C 所对的边,若 a=1, b= 3,则 A=30° 是 B=60° 的必要不充分条件. 其中真命题的序号是________(写出所有真命题的序号). 解析

答案 AD 三、解答题(本大题共 3 小题,11、12 题 13 分,13 题 14 分.写 出证明过程或推演步骤) 11.主人邀请张三、李四、王五三个人吃饭聊天,时间到了,只 有张三、 李四准时赴约, 王五打电话说: “临时有急事, 不能来了. ” 主人听了随口说了句:“你看看,该来的没有来.”张三听了,脸色 一沉,起来一声不吭地走了,主人愣了片刻,又道了句:“哎哟,不 该走的又走了.”李四听了大怒,拂袖而去.

请你用逻辑学原理解释二人的离去原因. 解 张三走的原因是: “该来的没有来”的逆否命题是“来了不

该来的”,张三觉得自己是不该来的.李四走的原因:“不该走的又 走了”的逆否命题是“该走的没有走”,李四觉得自己是应该走的. 评析 心体会! 12.已知 p:?1-
? ?

利用原命题与逆否命题同真同假解题非常方便, 要注意用

x-1? ?≤2,q:x2-2x+1-m2≤0(m>0).若綈 3 ?

p 是綈 q 的充分不必要条件,求实数 m 的取值范围. ? x-1? ?≤2,得-2≤x≤10. 解 由?1- 3 ? ? “綈 p”:A={x|x>10,或 x<-2}. 由 x2-2x+1-m2≤0, 得 1-m≤x≤1+m(m>0). ∴“綈 q”:B={x|x>1+m,或 x<1-m,m>0}. ∵綈 p 是綈 q 的充分而不必要条件,∴A B. m>0 ? ? 结合数轴有?+m≤10 ? ?1-m≥-2, 评析 的关键. 13.设命题 p:实数 x 满足 x2-4ax+3a2<0,其中 a>0,命题 q:
2 ? ?x -x-6≤0 实数 x 满足? 2 ?x +2x-8>0. ?

解得 0<m≤3.

将充要条件问题用集合的关系来进行转化是解此类题目

(1)若 a=1,且 p∧q 为真,求实数 x 的取值范围; (2)若綈 p 是綈 q 的充分不必要条件,求实数 a 的取值范围. 解 先解不等式,把命题 p,q 具体化,第(1)问利用真值表求 x;

第(2)问由互为逆否命题等价确定 p、q 之间的关系,确定关于 a 的不 等式,问题可解. (1)由 x2-4ax+3a2<0, 得(x-3a)(x-a)<0, 又 a>0, 所以 a<x<3a. 当 a=1 时,1<x<3, 即 p 为真时,实数 x 的取值范围是 1<x<3.
2 ? ?x -x-6≤0 由? 2 得 2<x≤3, ? ?x +2x-8>0,

当 q 为真时,实数 x 的取值范围是 2<x≤3. 若 p∧q 为真,则 p 真且 q 真, 所以实数 x 的取值范围是 2<x<3. (2)綈 p 是綈 q 的充分不必要条件, 即綈 p?綈 q,且綈 q? / 綈 p, 设 A={x|綈 p},B={x|綈 q},则 A B, 又 A={x|綈 p}={x|x≤a,或 x≥3a}, B={x|綈 q}={x|x≤2,或 x>3}, 则 0<a≤2,且 3a>3, 所以实数 a 的取值范围是 1<a≤2. 评析 本题中,綈 p 是綈 q 的充分不必要条件,从而推出集合 A 与 B 的关系,确定关于 a 的不等式组,使问题获得解决.


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