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北京市通州区2013届高三上学期期末考试数学理试题 Word版含答


通州区高三年级期末考试

数学(理)试卷
2013 年 1 月 本试卷分第 I 卷和第 II 卷两部分,第 I 卷第 1 至第 2 页,第 II 卷第 3 至第 4 页,共 150 分. 考试时间长 120 分钟. 考生务必将答案答在答题卡上, 在试卷上作答无效. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.

第Ⅰ卷
目要

求的一项.

(选择题 共 40 分)

一、选择题(共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分)在每小题列出的四个选项中,选出符合题

1.已知集合 A ? x x ? 4 , B ? ?0,1,2? ,则 A ? B ?
2

?

?

(A) ? 2.在复平面内,复数 (A)第一象限 (C)第三象限

(B) ?0?

(C) ?0,1?

(D) ?0,1,2?

2i 对应的点位于 1? i
(B)第二象限 (D)第四象限
2 2

3.已知圆的直角坐标方程为 x ? y ? 2 x ? 0 .在以原点为极点, x 轴非负半轴为极轴 的极坐标系中,该圆的方程为 (A) ? ? 2cos ? (C) ? ? ?2cos ? 4.设函数 f ? x ? ? ? (A) 2 (C) ? 2 (B) ? ? 2sin ? (D) ? ? ?2sin ?

?2 x , x ≤ 0 , 则 f ? f ? ?1? ? ? ? ? ?log 2 x, x ? 0,
(B) 1 (D) ? 1

5.一个几何体的三视图如图所示,该几何 体的表面积是 (A) 16 ? 4 2
2 2

(B) 12 ? 4 2 (C) 8 ? 4 2

正(主)视图

侧(左)视图

2

(D) 4 ? 4 2 俯视图 6.执行如图所示的程序框图,输出的 S 值为 (A) 2 ? 2
51

开始 k=1,S=0 S=S+2k k=k+1 k≥50 是 输出 S 结束 否

(B) 2 ? 2
50

(C) 2 ? 1
51

(D) 2 ? 1
50

7.在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,则“ a ? 2b cos C ”是“ ?ABC 是等 腰三角形”的 (A)充分不必要条件 (C)充分必要条件 (B)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

8.已知直线 l1 : 4 x ? 3 y ? 6 ? 0 和直线 l2 : x ? ?1 ,抛物线 y 2 ? 4 x 上一动点 P 到直线 l1 和直线 l2 的距离之和的最小值是 (A)

3 5 5

(B) 2

(C)

11 5

(D) 3

第Ⅱ卷 (非选择题 共 110 分)
二、填空题(共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 9.如图,已知 AD ? 5 , DB ? 8 , AO ? 3 10 ,
E A D O C

B

则圆 O 的半径 OC 的长为



?2 x ? y ≤ 4, ? x ? 2 y ≤ 4, ? x, y 满足约束条件 ? 10.已知 则 z ? x ? y 的最大值为 . x≥0, ? ?y≥0 , ? 1 11.若 x ? 1 ? 0 ,则 x ? 的最小值为 . x ?1 ??? ???? ? 12.在边长为 1 的等边 ?ABC 中, D 为 BC 边上一动点,则 AB ? AD 的取值范围是
13.奇函数 f ? x ? 的定义域为 ? ?2, 2? ,若 f ? x ? 在 ? 0, 2? 上单调递减,且



f ?1 ? m? ? f ? m? ? 0 ,则实数 m 的取值范围是



14.对任意两个实数 x1 , x2 ,定义 max ? x1 , x2 ? ? ?

g ? x ? ? ? x ,则 max ? f ? x ? , g ? x ?? 的最小值为

? x1 , x1 ? x2 , 若 f ? x ? ? x2 ? 2 , ? x2 , x1 ? x2 .


三、解答题(共 6 小题,共 80 分)解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ? x ? ? sin x cos x ? cos x ?
2

(Ⅰ)求 f ? x ? 的最小正周期; (Ⅱ)求函数 f ? x ? 在 ? ?

1 . 2

? π π? , 的最大值和最小值. ? 8 2? ?
C1 A1 M B1

16.(本小题满分 14 分) 如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,CC1⊥底面 ABC, AC=BC=2, AB ? 2 2 ,CC1=4,M 是棱 CC1 上一点. (Ⅰ)求证:BC⊥AM; (Ⅱ)若 N 是 AB 上一点,且 CN //平面 AB1M;

AN CM ,求证: ? AB CC1

C N A

B

5 (Ⅲ)若 CM ? ,求二面角 A-MB1-C 的大小. 2
17.(本小题满分 13 分) 某工厂甲、乙两个车间包装同一种产品,在自动包装 传送带上每隔一小时抽一包产品,称其重量(单位:克) 是否合格, 分别记录抽查数据, 获得重量数据茎叶图 (如右) . (Ⅰ)根据样本数据,计算甲、乙两个车间产品重量的 均值与方差,并说明哪个车间的产品的重量相对稳定; (Ⅱ)若从乙车间 6 件样品中随机抽取两件,求所抽取两 甲



2 12 4 4311 11 025 7 10 89

件样品重量之差不超过 2 克的概率. 18.(本小题满分 14 分) 已知椭圆的中心在原点 O , 短半轴的端点到其右焦点 F ? 2,0? 的距离为 10 , 过焦点 F 作直线 l ,交椭圆于 A, B 两点. (Ⅰ)求这个椭圆的标准方程; (Ⅱ)若椭圆上有一点 C ,使四边形 AOBC 恰好为平行四边形,求直线 l 的斜率. 19.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ? x ? ? x3 ? ax2 ? bx ? a2 ? a, b ? R? . (Ⅰ)若函数 f ? x ? 在 x ? 1 处有极值为 10,求 b 的值; (Ⅱ)若对于任意的 a ? ? ?4, ??? , f ? x ? 在 x ? ?0,2? 上单调递增,求 b 的最小值.

20.(本小题满分 13 分) 现有一组互不相同且从小到大排列的数据 a0 , a1, a2 , a3 , a4 , a5 ,其中 a0 ? 0 . 记 T ? a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 , xn ?

n 1 , yn ? ? a0 ? a1 ? ? ? an ? ? n ? 0,1,2,3,4,5? , 5 T

作函数 y ? f ? x ? ,使其图象为逐点依次连接点 P ? xn , yn ?? n ? 0,1,2,3,4,5? 的折线. n (Ⅰ)求 f ? 0? 和 f ?1? 的值; (Ⅱ)设直线 P ?1P 的斜率为 kn ? n ? 1,2,3,4,5? ,判断 k1, k2 , k3 , k4 , k5 的大小关系; n n (Ⅲ)证明:当 x ? ? 0,1? 时, f ? x ? ? x .

通州区 2012 — 2013 学年度第一学期期末试卷答案

高三数学(理科)
第Ⅰ卷(选择题
一、选择题 题号 1 2 B 3 A 4 D 5 B 6 B 7 A 8 B 答案 C 二、填空题 共 40 分)

2013.1

9.

5

10.

8 3

11.

1

?1 ? ? 2 ,1? ? 12. ?

? 1 ? ? ? ,1? 13. ? 2 ?

14.

?1

三、解答题 15.解:(Ⅰ)由已知,得

f ? x? ?

1 1 sin 2 x ? cos 2 x 2 2

????????2 分

?

2 ?? ? sin ? 2 x ? ? , 2 4? ?
T? 2? ?? , 2

????????4 分

所以 即 (Ⅱ)因为

f ? x ? 的最小正周期为 ? ;
?

????????6 分

?
8

?x?

?
2 ?

,所以

0 ? 2x ?

?
4

?

5? . 4

?????? 7 分

于是,当 2 x ? 当 2x ?

?
4

?
2

时,即 x ?

?
8

时, f ? x ? 取得最大值

2 ;?? 10 分 2

?
4

?

5? 1 ? 时,即 x ? 时, f ? x ? 取得最小值 ? .?????13 分 4 2 2

16.证明: (Ⅰ)因为 三棱柱 ABC-A1B1C1 中 CC1⊥ 平面 ABC, 所以 CC1⊥ BC. ????????1 分

因为 AC=BC=2, AB ? 2 2 , 所以 由勾股定理的逆定理知 BC⊥ AC. 又因为 AC∩CC1=C, 所以 BC⊥ 平面 ACC1A1. 因为 AM ? 平面 ACC1A1, 所以 BC⊥ AM. (Ⅱ)过 N 作 NP∥BB1 交 AB1 于 P,连结 MP ,则 NP∥CC1,且 ?ANP ∽ ?ABB1 . ?????5 分 于是有 ????????4 分
C1 A1 P B1

????????2 分

????????3 分

M

NP BB1

?

AN AB


C B N A

AN CM NP CM 由已知 ,有 . ? ? BB1 CC1 AB CC1
因为 BB1=CC1. 所以 NP=CM. 所以 四边形 MCNP 是平行四边形. 所以 CN//MP. 因为 CN ? 平面 AB1M,MP ? 平面 AB1M, 所以 CN //平面 AB1 M. (Ⅲ)因为 BC⊥ AC,且 CC1⊥ 平面 ABC, 所以 以 C 为原点,CA,CB,CC1 分别为 x 轴,y 轴,
M

????????6 分 ????????7 分 ????????8 分 ????????9 分
z C1 A1 B1

z 轴建立空间直角坐标系 C-xyz.???????10 分 因为

CM ? 5

5 2

,所以 C(0,0,0),A(2,0,0),B1(0,2,4),

y C N A x B

M (0, 0, ) , AM ? ( ?2, 0, ) , 2 2 ???? ? 3 B1M ? (0, ?2, ? ) . 2

????

5

????????11 分

设平面 AMB1 的法向量 n ? ( x, y, z ) ,则 n ? AM ? 0 , n ? B1M ? 0 .

???? ?

?????

5 ? ?(?2, 0, 2 ) ? ( x, y, z )=0, ? 即? ?(0, ?2, ? 3 ) ? ( x, y, z )=0. ? ? 2

令 x ? 5 ,则 y ? ?3, z ? 4 ,即 n ? (5, ?3, 4) . 又平面 MB1C 的一个法向量是 CA=(2,0,0) ,

????????12 分

??? ?

??? ? ??? ? n ? CA 2 ??? ? ? 所以 c o s n CA > = . ? , | n | CA | 2 |
由图可知二面角 A-MB1-C 为锐角, 所以 二面角 A-MB1-C 的大小为

????????13 分

? . 4

????????14 分

2 2 17.解: (Ⅰ)设甲、乙两个车间产品重量的均值分别为 X 甲 、 X 乙 ,方差分别为 s甲 、s乙 ,

则 X甲 ?

122 ? 114 ? 113 ? 111 ? 111 ? 107 ? 113 , 6 124 ? 110 ? 112 ? 115 ? 108 ? 109 X乙 ? ? 113 , 6 1 2 2 2 2 s甲 ? ??122 ? 113? ? ?114 ? 113? ? ?113 ? 113? ? 6
2 2 2 ? ?111 ? 113? ? ?111 ? 113? ? ?107 ? 113? ? ?

????????1 分 ????????2 分

? 21 ,
2 s乙 ?

????????4 分

1? 2 2 2 124 ? 113? ? ?110 ? 113? ? ?112 ? 113 ? ?? 6

? ?1 1 5 1 1 ?? ? ? 3
2

1? 0 8 ?
2

?

1 1 3 ? ?1 0 9 ? ? ?
2

1 1 3

? 29.33 ,

????????6 分

2 2 由于 s甲 ? s乙 ,所以 甲车间的产品的重量相对稳定;????????7 分

(Ⅱ)从乙车间6件样品中随机抽取两件,结果共有 15 个:

?124,110? , ?124,112?, ?124,115?, ?124,108?, ?124,109?, ?110,112? , ?110,115?, ?110,108?, ?110,109?, ?112,115?, ?112,108? , ?112,109? , ?115,108?, ?115,109?, ?108,109? ?110,112? , ?110,108? , ?110,109? , ?108,109? .
分 . ??????9 分

设所抽取两件样品重量之差不超过2克的事件为 A,则事件 A 共有 4 个结果: ??????11

所以

P ? A? ?

4 . 15

??????13 分

18.解: (Ⅰ)由已知,可设椭圆方程为 则 a ? 10 , c ? 2 . 所以

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? ,???????? 1 分 a 2 b2
????????????????2 分

b ? a2 ? c2 ? 10 ? 4 ? 6 , ?????????????3 分
x2 y 2 ? ? 1 . ????????????????4 分 10 6

所以 椭圆方程为

(Ⅱ)若直线 l ? x 轴,则平行四边形 AOBC 中,点 C 与点 O 关于直线 l 对称,此 时点 C 坐标为 ? 2c,0? .因为 2c ? a ,所以点 C 在椭圆外,所以直线 l 与 x 轴不垂直. ????????????????6 分

于是,设直线 l 的方程为 y ? k ? x ? 2? ,点 A ? x1, y1 ? , B ? x2 , y2 ? , ?7 分

? x2 y 2 ? ? 1, ? 2 2 2 2 则 ? 10 6 整理得,? 3 ? 5k ? x ? 20k x ? 20k ? 30 ? 0 ? 8 分 ? y ? k ? x ? 2? , ?
x1 ? x2 ?
所以

20k 2 , 3 ? 5k 2

???????????????? 9 分

12k . ??????????????? 10 分 3 ? 5k 2 因为 四边形 AOBC 为平行四边形, ??? ??? ??? ? ? ? 所以 OA ? OB ? OC , ??????????????? 11 分 y1 ? y2 ? ?
所以 点 C 的坐标为 ?
2

? 20k 2 12k ? ,? ? , ???????????12 分 2 3 ? 5k 2 ? ? 3 ? 5k

所以
2

? 20k 2 ? ? 12k ?2 ? 2 ? ?? 2 ? ? 3 ? 5k ? ? ? 3 ? 5k ? ? 1 , 10 6

???????????13 分

解得 k ? 1 , 所以 k ? ?1 . 19.解:(Ⅰ) f ? ? x ? ? 3x ? 2ax ? b ,
2

????????????14 分

???????????? 1

分 于是,根据题设有

? f ? ?1? ? 3 ? 2a ? b ? 0 ? 2 ? f ?1? ? 1 ? a ? b ? a ? 10
解得 ?

?a ? 4 ?a ? ?3 或 ? ?b ? ?11 ?b ? 3

????????3 分

当?

?a ? 4 时, f ? ? x ? ? 3x 2 ? 8x ?11 , ? ? 64 ? 132 ? 0 ,所以函数有极值 ?b ? ?11
????????????????????????4 分

点; 当?

?a ? ?3 2 时, f ? ? x ? ? 3 ? x ? 1? ? 0 ,所以函数无极值点.?????5 分 ?b ? 3
b ? ?11 .????????????????????????6 分
2

所以

(Ⅱ)法一: f ? ? x ? ? 3x ? 2ax ? b ? 0 对任意 a???4, ?? , x ? ?0,2? 都成立,???7 分 所以 F ? a ? ? 2xa ? 3x ? b ? 0 对任意 a???4, ?? , x ? ?0,2? 都成立?8 分
2

因为 x ? 0 , 所以 F ? a ? 在 a???4, ?? 上为单调递增函数或为常数函数,
2

???9 分

所以 F ? a ?min ? F ? ?4? ? ?8x ? 3x ? b ? 0 对任意 x ? ?0,2? 都成立 ?10 分 即 b ? ?3x ? 8 x
2

?

?

max

.
2

????????????????11 分

4 ? 16 16 ? 又 ?3x ? 8 x ? ?3 ? x ? ? ? ? , 3? 3 3 ?
2

所以 当 x ? 所以 所以
2

4 16 2 ? ,????????????12 分 时, ? ?3 x ? 8 x ? max 3 3

b?

16 , 3 16 . 3
????????????13 分

b 的最小值为

法二: f ? ? x ? ? 3x ? 2ax ? b ? 0 对任意 a???4, ?? , x ? ?0,2? 都成立, ?????7 分 即 b ? ?3x ? 2ax 对任意 a???4, ?? , x ? ?0,2? 都成立,
2

即 b ? ?3 x ? 2ax
2

?

?

max



????????????????8 分

令 F ? x ? ? ?3x 2 ? 2ax ? ?3? x ?

? ?

a ? a2 ? ? ,????????????9 分 3? 3

2

当 a ? 0 时, F ? x ?max ? F ? 0? ? 0 ,于是 b ? 0 ;??????????10 分 当 ?4 ? a ? 0 时, F ? x ?max
2 a2 ? a? a ,于是, b ? .???11 分 ? F ?? ? ? 3 ? 3? 3

又 ?

? a2 ? 16 16 ? ? ,所以 b ? . 3 ? 3 ? max 3

????????????12 分

综上,b 的最小值为 20.(Ⅰ)解: f ? 0? ? 分

16 . 3

????????????13 分

a0 ?0, a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5

????????????2

f ?1? ?

a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ? 1; a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5

????????????4 分

(Ⅱ)解: kn ? 因为 所以

yn ? yn ?1 5 ? an , n ? 1,2,3,4,5 . ????????????6 分 xn ? xn ?1 T

a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 , k1 ? k2 ? k3 ? k4 ? k5 .
????????????8 分

(Ⅲ)证:由于 f ? x ? 的图象是连接各点 P ? xn , yn ?? n ? 0,1,2,3,4,5? 的折线,要证明 n

f ? x ? ? x ? 0 ? x ? 1? ,只需证明 f ? xn ? ? xn ? n ? 1,2,3,4? .
事实上,当 x ? ? xn?1, xn ? 时,

????9 分

f ? x? ?
?

f ? xn ? ? f ? xn?1 ? ? ? x ? xn?1 ? ? f ? xn?1 ? xn ? xn?1

xn ? x x ? xn?1 f ? xn?1 ? ? f ? xn ? xn ? xn ?1 xn ? xn ?1 xn ? x x ? xn ?1 xn ?1 ? xn xn ? xn ?1 xn ? xn ?1

?

? x.

下面证明 f ? xn ? ? xn . 法一:对任何 n ? n ? 1,2,3,4? ,

5 ? a1 ? a2 ? ? ? an ? ? ? n ? ? 5 ? n ? ? ? a1 ? a2 ? ? ? an ? ??????10 分 ? ?

? n ? a1 ? a2 ? ?? an ? ? ?5 ? n??a1 ? a2 ? ?? an ? ? n ? a1 ? a2 ? ?? an ? ? ?5 ? n? nan ??????????????11 分
? n ? a1 ? a2 ? ? ? an ? ? 5 ? n ? an ? ? ?

? n ? a1 ? a2 ? ?? an ? an?1 ? ?? a5 ? ? nT ??????????12 分
所以

f ? xn ? ?

a1 ? a2 ? ? ? an n ? ? xn .??????????13 分 T 5

法二:对任何 n ? n ? 1,2,3,4? , 当 kn ? 1 时,

yn ? ? y1 ? y0 ? ? ? y2 ? y1 ? ? ?? ? yn ? yn?1 ?
? 1 n ? k1 ? k2 ? ? ? kn ? ? ? xn ;???????????????10 分 5 5

当 kn ? 1 时,

yn ? y5 ? ? y5 ? yn ?
? 1 ? ?? yn ?1 ? yn ? ? ? yn ?2 ? yn ?1 ? ? ? ? ? y5 ? y4 ? ? ? ?

1 ? kn?1 ? kn?2 ? ? ? k5 ? 5 1 n ? 1 ? ? 5 ? n ? ? ? xn . 5 5 ? 1?
综上, f ? xn ? ? xn . ???????????????13 分


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