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互斥事件


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17、概率
17.3
【知识网络】 1. 了解互斥事件、对立事件的概念,能判断某两个事件是否是互斥事件、是否是对立事件。 2. 了解两个互斥事件概率的加法公式,了解对立事件概率之和为 1 的结论,会用相关公式进行简单 概率计算。 【典型例题】 [例 1](1)从装有 2 个红球和 2 个白球的口

袋内任取 2 个球,那么互斥而不对立的两个事件是 ( )

互斥事件

A.至少有 1 个白球;都是白球 C.恰有一个白球;恰有 2 个白球
(2)如果事件 A、B 互斥,那么

B.至少有 1 个白球;至少有一个红球 D.至少有一个白球;都是红球
( )

A.A+B 是必然事件 C. A 与 B 一定互斥

B. A ? B 是必然事件 D. A 与 B 一定不互斥

(3)将一颗质地均匀的骰子(它是一种各面上分别标有点数 1,2,3,4,5,6 的正方体玩具)先 后抛掷 3 次,至少出现一次 6 点向上的概率是 ( )

A.216

5

B.216

25

C.216

31

D.216

91

(4)某家庭在家中有人时,电话响第 1 声时被接到的概率为 0.1,响第 2 声被接的概率为 0.3,响第 3 声时被接的概率为 0.4,响第 4 声时被接的概率为 0.1,那么电话在响前 4 声内没有被接到的概 率为 .

(5)甲、乙两人进行击剑比赛,甲获用的概率是 0.41,两人战平的概率是 0.27,那甲不输的概 率 ;甲不获胜的概率为 。

[例 2]某商场有奖销售中,购满 100 元商品得 1 张奖券,多购多得。第 1000 张奖券为一个开奖单位, 设特等奖 1 个,一等奖 10 个,二等奖 50 个。设 1 张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为 A、

B、C,求:
(1)P(A),P(B),P(C); (2)1 张奖券的中奖概率;

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(3)1 张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率。

[例 3] 在 1,2,3,4,5 条线路汽车经过的车站上,有位乘客等候着 1,3,4 路车的到来。假如汽 车经过该站的次数平均来说 2,3,4,5 路车是相等的,而 1 路车是其他各路车次数的总和。试求首 先到站的汽车是这位乘客所需要线路的汽车的概率。

[例 4]历史上有这样一个著名的概率问题:A,B 两人做游戏,掷一枚钱币,若正面出现则 A 得 1 分, 反面出现则 B 得 1 分,先得 10 者胜,胜者获得全部赌金。现在 A 已得 8 分,B 已得 7 分,而游戏因 故中断,问赌金应如何分配才合理?

【课内练习】 1. 把红、黄、蓝、白 4 张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁 4 个人,事件“甲分得红牌”与“乙分 得蓝牌”是 ( )

A.对立事件 C.互斥但不对立事件

B.不可能事件 D.对立不互斥事件

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2. 一个口袋内装有大小相同的红、蓝球各一个,采取有放回地每次摸出一个球并记下颜色为一次试 验,试验共进行 3 次,则至少摸到一次红球的概率是 ( )

A.

1 8

B.

7 8

C.

3 8

D.

5 8

3. 一个均匀的正方体的玩具的各个面上分别标以数 1,2,3,4,5,6.将这个玩具向上抛掷 1 次, 设事件 A 表示向上的一面出现奇数点,事件 B 表示向上的一面出现的点数不超过 3,事件 C 表示 向上的一面出现的点数不小于 4,则 ( )

A.A 与 B 是互斥而非对立事件 C.B 与 C 是互斥而非对立事件

B.A 与 B 是对立事件 D.B 与 C 是对立事件
( )

4. 若干个人站成一排,其中为互斥事件的是

A.“甲站排头”与“乙站排头” C.“甲站排头”与“乙站排尾”

B.“甲站排头”与“乙不站排尾” D.“甲不站排头”与“乙不站排尾”

5. 口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球,从中摸出 1 个球,摸出红球的概率为 0.42,摸出 白球的概率是 0.28.若红球有 21 个,则黑球有 个.

6. 某人在打靶中,连续射击 3 次,事件“至少有一次中靶”的互斥事件是_________,该互斥事件 是对立事件吗?答: .(填“是”或“不是”)

7. 设 A、B 为互斥事件,且 P(A)=0.1,P(B)=0.8,并记“AB”表示事件 A、B 同时发生,则

P( A ? B )=

,P(AB)=



8. 如果从不包括大小王的 52 张扑克牌中随机抽取一张牌, 那么取到红心(事件 A)的概率是 方片(事件 B)的概率是

1 , 取到 4

1 。求: 4

(1)取到红色牌(事件 C)的概率是多少? (2)取到黑色牌(事件 D)的概率是多少?

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9. 如图,一面旗帜由 3 部分构成,这 3 部分必须分别着上不同的颜色,现有红、黄、蓝、黑四种颜 色可供选择,利用树状图列出所有可能结果,并计算下列事件的概率: (1)红色不被选中; 1 (2)第 1 部分是黑色并且第 2 部分是红色. 2 3

10.甲、乙两选手在同样条件下击中目标的概率分别为 0.4 与 0.5(这里击中与否互不影响对方), 则命题:“至少有一人击中目标的概率为 P=0.4+0.5=0.9”正确吗?为什么?(这里只需要能回答为 什么即可,而不需要指出概率的大小)

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17、概率
17.3 互斥事件

A组
1. 甲、乙两人下棋,两人下成和棋的概率是

1 1 5 ,乙获胜的概率是 ,则 是 2 3 6
D.甲不输的概率

( )

A.乙胜的概率

B.乙不输的概率 C.甲胜的概率

2. 抛掷一骰子, 观察出现的点数, 设事件 A 为 “出现 1 点” , 事件 B 为 “出现 2 点” . 已知 P(A)=P(B)= 则“出现 1 点或 2 点”的概率为 ( )

1 , 6

A.

1 2

B.

1 3

C.

1 6

D.

1 12

3. 某商场有奖销售中,购满 100 元商品得 1 张奖券,多购多得.每 1000 张奖券为一个开奖单位, 并设特等奖 2 个,二等奖 20 个,三等奖 78 个.给出下列各对事件: ①“1 张奖券中特等奖”与“这张奖券中一等奖”; ②“2 张奖券至少有 1 张奖券中奖”与“这 2 张奖券都不中奖”; ③“1 张奖券中二等奖”与“另 1 张奖券不中奖”; ④“2 张奖券都中二等奖”与“这 2 张奖券分别中一、二等奖”. 其中不是互斥事件的为 ( )

A.①

B.②

C.③

D.④

4. 某班学生在一次数学考试中数学成绩的分布如下表: 则 满 的 为
分数段 人数 [0,80) 2 [80,90) [90,100) [100,110) [110,120) [120,130) [130,140) 5 6 8 12 6 4

分数不 110 分 概率

。 .

5. 从含有 5 件次品的 10 件产品中,任取 3 件,事件“所取 3 件都是正品”的对立事件为

6. 某城市有甲、乙两种报纸供居民们订阅,记事件 A:“只订甲报”;事件 B:“至少订一种报”, 事件 C:“至多订一种报”,事件 D:“不订甲报”,事件 E:“一种报也不订”,判断下列每 对事件是不是互斥事件,如果是再判断它们是不是对立事件.

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(1)A 与 C;(2)B 与 E;(3)B 与 D;(4)B 与 C;(5)C 与 E.

7. 一盒中装有各色球 12 只,其中 5 个红球、4 个黑球、2 个白球、1 个绿球.从中随机取出 1 球, 求: (1)取出 1 球是红球或黑球的概率; (2)取出的 1 球是红球或黑球或白球的概率.

8. 将两颗骰子投掷一次,求: (1)向上的点数之和是 8 的概率; (2)向上的点数之和不小于 8 的概率.

17、概率
17.3 互斥事件

B组
1. 如果 A、B 是互斥事件,则下列式子中正确的是 ( )

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A.P(A+B)=P(A)·P(B) C.P(AB)=P(A)·P(B)
2. 两个事件对立是这两个事件互斥的 A.充分不必要条件 C.充要条件

B.P(A+B)=P(A)+P(B) D.P(A)+P(B)=1
( )

B。必要不充分条件 D。既非充分又不必要条件

3. 从数字 1,2,3,4,5 中,随机抽取 3 个数字(允许重复)组成一个三位数,其各位数字之和等 于 9 的概率为 ( )

A.

13 125

B.

16 125

C.

18 125

D.

19 125

4. 某单位 36 人中 A 型血 12 人,B 型血 10 人,AB 型血 8 人,O 型血 6 人,如果从这个单位随机地 找出两个人,那么这两个人具有不同的血型的概率为 。

5. 有 3 个人每人都以相同的概率被分配到 3 个房间中的一间, 则至少有 2 人分配到同一房间的概率 为 。

6. 在数学考试中,小明的成绩在 90 分以上的概率是 0.12,在 80~89 分的概率为 0.55,在 70~79 分的概率为 0.15,在 60~69 分的概率为 0.08.计算小明在数学考试中取得 80 分以上成绩的概 率与考试不及格的概率.

7. 假设人的某一特征(如眼睛大小)是由他的一对基因所决定的,以 d 表示显性基因,r 表示隐性基 因,则具有 dd 基因的人为纯显性,具有 rr 基因的人是纯隐性,具有 rd 基因的人为混合性.纯显 性与混合性的人都表露显性基因决定的某一特征, 孩子从父母身上各得到一个基因,假定父母都是 混合性. 问:(1)一个孩子有显性基因决定的特征的概率是多少? (2)两个孩子中至少有一个有显性基因决定的特征的概率是多少?

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8. 把一颗骰子投掷 2 次,观察出现的点数,并记第一次出现的点数为 a,第二次出现的点数为 b,
? ax ? by ? 3 试就方程组 ? 解答下列问题: ?x ? 2 y ? 2

(1)求方程组只有一个解的概率; (2)求方程组只有正整数解的概率.

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参考答案
17.3
【典型例题】 [例 1](1)C。提示:恰有一个白球,便不再可能恰有 2 个白球,且恰有一个白球与恰有 2 个白球的 事件不可能必有一个发生. (2)B.提示:借助集合的 Venn 图加以理解, A ? B 为全集。 (3)D.提示:抛掷 3 次,共有 6×6×6=216 个事件总数.一次也不出现 6,则每次抛掷都有 5 种可 能,故一次也未出现 6 的事件总数为 5×5×5=125.于是

互斥事件

P(没有出现一次 6 点向上)=

125 . 216

∴P(至少出现一次 6 点向上)=1- P(没有出现一次 6 点向上)= (4)0.1.提示:1-0.1-0.3-0.4-0.1=0.1。 (5)0.68;0.59。 [例 2](1) P( A) ?

91 . 216

1 10 1 1 , P( B) ? , P(C ) ? . ? 1000 100 1000 20

(2)∵A、B、C 两两互斥, ∴P(A+B+C)= P(A)+P(B)+P(C)=

1 ? 10 ? 50 61 . ? 1000 1000

1 1 989 (3) P( A ? B) ? 1 ? P( A ? B) = 1 ? ( . ? )? 1000 100 1000
答 (1)A、B、C 的概率分别为

1 1 1 , , . 1000 100 20

(2)1 张奖券的中奖概率为

61 . 1000

(3)1 张奖券不中特等奖或一等奖的概率为

989 . 1000

[例 3] 设事件 H:“到站的是 1,3,4 路车”,事件 Ai:“第 i 路车到站”(i=1,2,3,4,5), 由题设得

P(A1)= P(A2)+ P(A3) +P(A4)+ P(A5),P(A2)= P(A3) =P(A4)= P(A5),P(A1)+ P(A2)+ P(A3) +P(A4)+ P(A5)=1.

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解得 P(A1)=

1 1 ,P(A2)= P(A3) =P(A4)= P(A5)= . 2 8

1 1 1 3 ∵H= A1+A3+A4,且 A1、A3、A4 两两互斥,∴P(H)= P(A1)+ P(A3) +P(A4)= ? ? ? . 2 8 8 4
[例 4]不妨考虑甲胜的情形。

1 1 1 掷两次甲胜,则概率 P1= ? ? ; 2 2 4
1 1 1 1 掷三次甲胜,则前两次必是一胜一负,最后一次甲胜,概率 P2= 2 ? ? ? ? ; 2 2 2 4 1 3 掷四次甲胜,则前三次中甲只胜了一次,最后一次甲胜,P3= 3 ? ( )4 ? 。 2 16

1 1 3 11 注意到以上事件两两互斥,故甲胜的概率为 ? ? ? 。 4 4 16 16
由于甲胜与乙胜的事件互为对立,故乙胜的概率为 1 ? 故赌金的分配应是 11∶5(甲∶乙)比较合理。 【课内练习】 1. C。提示:“甲分得红牌”与“乙分得蓝牌”不可能同时发生也不可能必有一个发生。

11 5 ? 。 16 16

1 2. B。提示:一次也摸不到红球的概率为 ,然后利用对立事件求所求事件的概率。 8
3. D。提示:根据互斥与对立的意义作答。 4. A。提示:“甲站排头”与“乙站排头”必不可能同时发生。 5. 0.30。提示:1-0.42-0.28=0.30,21÷0.42=50,50×0.30=15。 6. “没有一次中靶”;是。 7. 0.1,0。提示:根据互斥事件的意义:两互斥事件不可能同时发生,故 P(AB)=0。 8. (1)因为取到红心(事件 A)与取到方片(事件 B)不能同时发生,所以 A 与 B 是互斥事件,且有 1 1 1 C=A+B.故由互斥事件的概率的加法公式,得 P(C)=P(A+B)=P(A)+P(B)= ? ? . 4 4 2 (2)因为当取一张牌时,取到红色牌(事件 C)与取到黑色牌(事件 D)不可能同时发生,所以 C 与

D 也是互斥事件.又由于事件 C 与事件 D 必有一者发生,即 C+D 为必然事件,所以 C 与 D 互为对立 1 1 事件.所以 P(D)=1-P(C)= 1 ? ? . 2 2

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(1)取到红色牌(事件 C)的概率是 0.5;

(2)取到黑色牌(事件 D)的概率是 0.5. 9. 如图所有可能结果共有 24 种. 蓝 黑 黄 蓝 红 黄 黑 黄 蓝 黑 红 黑 蓝 黄 黑 黄 蓝 黑 黑 黄 红 黄 红 黑 红 红 蓝 红 黑 红 蓝 黑 黄 蓝 黄 蓝 蓝 黄 红 红

第1 第2 第3 第1 第2 第3 第1 第2 第3 第1 第2 第3 部分 部分 部分 部分 部分 部分 部分 部分 部分 部分 部分 部分

(1)红色不被选中的有 6 种结果,故概率为

1 ; 4 1 . 12

(2)第 1 部分是黑色并且第 2 部分是红色的结果有 2 种,故概率为

10.不正确.反面例子是很显然的,例如两概率分别为 0.5,0.6,则它们相加的概率大于 1 了,显然 是不可能的.错误的原因是:在做加法时,把同时击中目标的概率加了两次,事实上它们只应加一次 的.故他俩中“至少有一个击中目标”的概率应小于 0.9.(注:“至少有一个击中目标”的概率应 为:0.7,计算过程为:1- (1-0.4)(1-0.5).)

17、概率
17.3 互斥事件

A组

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1. B。提示:

5 1 1 1 1 ? ? ,乙胜 或乙平 ,也就是乙不输。 2 6 2 3 3

2. B。提示:A、B 为互斥事件,故采用概率的加法公式。 3. C。提示:①互斥不对立;②互斥且对立;④互斥不对立。 4.

21 。 43

5. “所取 3 件至少有 1 件是次品”。 6. (1)A 与 C 不互斥;(2)B 与 E 是互斥事件,还是对立事件;(3)B 与 D 不互斥;(4)B 与

C 不互斥;(5)C 与 E 不互斥.
7. 解法 1 (1)从 12 只球中任取 1 球得红球有 5 种取法,得黑球有 4 种取法,得红球或黑球共有

5+4=9 种不同取法,任取 1 球有 12 种取法. ∴任取 1 球得红球或黑球的概率为 P 1 ?

9 3 ? . 12 4

(2)从 12 只球中任取一球得红球有 5 种取法,得黑球有 4 种取法,得白球有 2 种取法.从而得红 或黑或白球的概率为 5 ? 4 ? 2 ? 11 .
12 12

(利用互斥事件求概率)记事件 A1={任取 1 球为红球},A2={任取一球为黑球},A3={任 5 4 2 1 取一球为白球},A4={任取一球为绿球},则 P( A1 ) ? , P( A2 ) ? , P( A3 ) ? , P( A4 ) ? . 12 12 12 12 解法 2 根据题意知,事件 A1,A2,A3,A4 彼此互斥,由互斥事件概率公式,得 (1)取出 1 球为红球或黑球的概率为 P( A1 + A2 ) ? P( A1 ) ? P( A2 ) ? (2)取出 1 球为红球或黑球或白球的概率为
P( A1 ? A2 ? A3 ) ? P( A1 ) ? P( A2 ) ? P( A3 ) ? 5 4 2 11 . ? ? ? 12 12 12 12

5 4 3 ? ? . 12 12 4

解法 3(利用对立事件求概率的方法) (1)由解法 2 知,取出 1 球为红球或黑球的对立事件为取出一白球或绿球,即 A1+A2 的对立事件 为 A3+A4.所以取得一红球或黑球的概率为

P(A1+A2)=1-P(A3+A4)=1-P(A3)-P(A4)= 1 ?

2 1 3 ? ? . 12 12 4
1 11 ? . 12 12

(2) A1+A2+A3 的对立事件为 A4,所以 P( A1 ? A2 ? A3 ) ? 1 ? P( A4 ) ? 1 ?

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8. 将两骰子投掷一次,共有 36 种情况,向上的点数之和的不同值共 11 种. (1)设事件 A={两骰子向上的点数之和为 8},事件 A1 ={两骰子向上的点数分别为 4 和 4},事件

A2 ={两骰子向上的点数分别为 3 和 5},事件 A3 ={两骰子向上的点数分别为 2 和 6},则 A1 与 A2 、 A3 互为互斥事件,且 A= A1 + A2 + A3,故 P(A)=P(A1 + A2 + A3)=

1 2 2 5 . ? ? ? 36 36 36 36

(2)设事件 S={两骰子向上的点数之和不小于 8},事件 A={两骰子向上的点数之和为 8},事件

B={两骰子向上的点数之和为 9},事件 C={两骰子向上的点数之和为 10},事件 D={两骰子向上的点
数之和为 11},事件 E={两骰子向上的点数之和为 12},则 A,B,C,D,E 互为互斥事件,且

S=A+B+C+D+E,P(A)=

1 1 1 5 1 ,P(B)= ,P(C)= ,P(D)= ,P(E)= ,故 9 12 18 36 36

P(S)=P(A)+P(B)+P(C)+P(D)+P(E)
=

1 5 5 1 1 1 + + + + = . 36 9 12 18 36 12
5 5 ;(2)向上的点数之和不小于 8 的概率为 . 12 36

答 (1)向上的点数之和是 8 的概率为

B组
1. B。 2. A。 3. D。提示:从 1,2,3,4,5 中,随机抽取 3 个数字(允许重复),可以组成 5×5×5=125 个不 同的三位数,其中各位数字之和等于 9 的三位数可分为以下情形: ①由 1,3,5 三个数字组成的三位数:135,153,315,351,513,531,共 6 个; ②由 1,4,4 三个数字组成的三位数:144,414,441,共 3 个; ③由 2,3,4 三个数字可以组成 6 个不同的三位数; ④由 2,2,5 三个数字可以组成 3 个不同的三位数; ⑤由 3,3,3 三个数字可以组成 1 个三位数,即 333. 故满足条件的三位数共有 6+3+6+3+1=19 个,所求的概率为

19 . 125

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12 ? 11 10 ? 9 6 ? 5 ? ? 2 2 ? 34 。 4. 1 ? 2 36 ? 35 45 2

5. 1-

3 ? 2 ?1 7 ? 。 33 9

6. 取得 80 分以上的概率为:0.12+0.55=0.67;不及格的概率为:1-0.67-0.15-0.08=0.10.

1 1 1 7. 孩子的一对基因为 dd,rr,rd 的概率分别为 , , ,孩子由显性基因决定的特征是具有 dd,rd, 4 4 2 所以

1 1 3 (1)一个孩子由显性基因决定的特征的概率为 ? ? . 4 2 4
(2)因为两个孩子如果都不具有显性基因决定的特征,即两个孩子都具有 rr 基因的纯隐性特征, 1 1 1 其概率为 ? ? ,所以两个孩子中至少有一个显性基因决定特征的概率为 1 ? 1 ? 15 . 4 4 16 16 16 8. (1) 当 a∶b≠1∶2 时, 方程组只有一个解. 因为将骰子抛掷 2 次, 可有 6×6=36 个等可能结果. 其 中满足 a∶b=1∶2 的有(1,2),(2,4),(3,6),共 3 种结果,故不满足 a∶b≠1∶2 的 33 11 结果有 33 个.于是概率为 ? . 36 12 (2)若方程有正整数解,则 x+2y≥3,于是 x+2y 不可能取到值 2,故“方程组只有正整数解” 是不可能事件,其概率为 0.


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