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15.4正弦定理、余弦定理(第2课时)


§15 三角函数及其应用
4.2余弦定理

复习回顾
a b c 正弦定理:sin A ? sin B ? sin C

? 2R

可以解决两类有关三角形的问题: (1)已知两角和任一边。

(2)已知两边和一边的对角。

二、提出问题
那么,如果在一个三角形(非直角三角形)中,已 知两边及这两边的夹角(非直角),能否用正弦定 理解这个三角形,为什么? A A

c

b c

b

B a C a B C a b c ? ? 不能,在正弦定理 中,已知两边 及这两边的夹角,正弦定理的任一等号两边都有两 个未知量。
sin A sin B sin C

三、概念形成
在三角形ABC中,已知AB=c,AC=b和A,求BC
C

a2 ?CD2 ? BD2

? (bsin A)2 ?(c?bcos A)2
b c D a B

?b2sin2A?c2?b cos A?2bccos A
2 2

A

?b2?c2?2bccos A

当然,对于钝角三角形来说,证明类似,课后 自己完成。

几何法

三、概念形成
那么,学过向量之后,能否用向量的方法证明余弦 定理呢?


a ? b?c
| a | ? a ? (b ? c )
2 2 2

C
2

2

2

b
A

a
B

a ? b ? c ? 2b ? c

?| b | ? | c | ?2 | b | ? | c | ? cos A
2 2

c

即: a

2

? b ? c ? 2bc cos A
2 2

向量法

由此可明确
2

余弦定理
2 2

a ? b ? c ? 2bc cos A 2 2 2 b ? c ? a ? 2ca cos B 2 2 2 c ? a ? b ? 2abcosC
三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和 减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。 应用:已知两边和一个夹角,求第三边. 利用余弦定

理还可以解决 什么类型的三 角形问题?

已知:b=8,c=3,A=60?,求a的值. 解: 根据余弦定理,有 a2=b2+c2-2bccosA =82+32-2×8×3×cos60? =49 ∴a=7.

在 ?ABC 中,已知 a ? 3 3 , c ? 2 , ?B ? 150 ,求 b .

1 在△ABC 中,已知 AC=8,BC=4,cosC= , 4 证明△ABC 是等腰三角形.

解 由余弦定理知
AB2 ? AC 2 ? BC 2 ? 2 AC ? BC cos C 1 ? 64 ? 16 ? 2 ? 8 ? 4 ? ? 64 4 得 AB ? 8
因为 AB=AC,所以 ?ABC 是等腰三角形.

4 在△ABC 中,已知 AB=5, BC=4,cosB= , 5 证明△ABC 是直角三角形.

? 余弦定理 三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的 和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.

a2=b2+c2-2bccosA b2=a2+c2-2accosB c2=a2+b2-2abcosC
公式变形

b2 ? c 2 ? a 2 cos A ? 2bc 2 2 2 a ?c ?b cos B ? 2ac a 2 ? b2 ? c 2 cos C ? 2ab

已知△ABC 中,已知 a ? 2 , b ? 2 , c ? 3 ? 1 . 求△ABC 的三个内角. b2 ? c 2 ? a 2 22 ? ( 3 ? 1)2 ? ( 2)2 3 解:∵ cos A ? , ? ? 2bc 2 2 ? 2 ? ( 3 ? 1) ∴ A ? 30 a 2 ? c 2 ? b2 2 ∵ cos B ? ? 2ac 2 ∴ B ? 45 ,

∴ C ? 180 ? ( A ? B) ? 180 ? (30 ? 45 ) ? 105

△ABC 中, a ? 13 , b ? 4 3 , c ? 7 . 求三个内角.

在△ABC中,已知a2=b2+c2+bc,判断三角形的形状. 解:∵a2=b2+c2+bc, ∴b2+c2-a2=-bc, 2 2 2 1 ?bc b ?c ?a ? ? <0 ? ? cos A ? 2 2bc 2bc ∵0<A<180?,∴90?<A<180?, ∴在△ABC是钝角三角形.

在?ABC中,已知a=7,b=8,c=5,判断三角 形的形状.


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