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100测评网09级高三数学总复习讲义——解三角形


欢迎登录《100 测评网》www.100ceping.com 进行学习检测,有效提高学习成绩. 09 级高三数学总复习讲义——解三角形
知识清单 常用的主要结论有: (1)A+B+C=1800 ⑵任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边. ⑶等边对等角: a ? b ? A ? B ; 大边对大角: a ? b ? A ? B .

1 1 底

× 高= r (a ? b ? c ) (其中 r 是内切圆半径) 2 2 1 ? ab sin C ? 2 a b c ? ? ? 2 R (正弦定理) ⑸ sin A sin B sin C
⑷S
ABC

?

⑹ a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A, 课前预习

b2 ?

(余弦定理)

1.已知 ?ABC三边长分别为 a, b, c且a 2 ? b2 ? c 2 ? 3ab ,求 ?C _____ 2.在 ?ABC 中,如果 sin A ∶ sin B ∶ sin C =5∶6∶8,那么此三角形最大角的余弦值是 .

3.在 ?ABC 中, a 、 b 分别为角 A 、 B 的对边,若 B ? 60? , C ? 75? , a ? 8 ,则边 b 的长等于 4. ?ABC 中, ?A ? A.

?
3

, BC ? 3 , AB ? 6 ,则 ?C ?

? 6

B.

? 4

C.

3? 4

D.

? 3? 或 4 4

5.已知:在⊿ABC 中, A. 直角三角形 B.

c cos C ? ,则此三角形为 b cos B
等腰直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰或直角三角形 ).

6.在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a, b, c, A ? A. 1 B. 2 C.

?
3

, a ? 3, b ? 1, 则 c ? (
D.

3 —1

3

7.如图,测量河对岸的塔高 AB 时,可以选与塔底 B 在 同 一 水 平 面 内 的 两 个 测 点

C



D

. 测 得

?BCD ? 150,?BDC ? 300,CD ? 30 米, 并在点 C 测得塔顶 A 的仰角为

60 0 , 则 BC=

米, 塔高 AB=

米。
2 2 2

8.在△ ABC 中, a , b , c 分别是 ? A , ? B , ?C 的对边,且 b ? c ? 3bc ? a 则 ? A 等于 ( A. ) B.

? 6

? 3

C.

2? 3

D.

5? 6

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9.在 V ABC 中, B ? 45 (A) 5

, c ? 5 2, b ? 5 ,则 a 等于(
(C) 5 (D) 10

)

2

(B) 5

3

10.在 200 米高的山顶上,测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为 300,600,则塔高为( ) (A)

400 米 3

(B)

400 3 米 3

(C)

200 3 米 3

(D) 200 米 A 3

11.在 ABC 中, a ? x, b ? 2, , B ? 45 ,若这个三角形有两解,则 x 的取值范围是( )

( A) x ? 2

( B) x ? 2
?
3

(C)2 ? x ? 2 2

( D)2 ? x ? 2 3

12.在 ?ABC 中,已知内角 A ?

,边 BC ? 2 3 .设内角 B ? x ,面积为 y .

(1) 求函数 y ? f ( x) 的解析式和定义域; (2) 求 y 的最大值. 典型例题 EG1.正弦定理与余弦定理 在 ? ABC 中,若 A.

? a ? b ? c?? c ? b ? a ? ? 3bc ,则 A ? ? ? .
B. 120 C.

150

60

D.

30

变式 1:在 ? ABC 中,若 a ? 13 , c ? 4 , A ? 60 ,则 b ? __________. 变式 2:在 ? ABC 中,若 b ?

2 , A ? 30 , C ? 105 ,则此三角形的周长为__________.

变式 3:已知 a、b、c 是△ABC 中∠A、∠B、∠C 的对边,S 是△ABC 的面积.若 a=4,b=5,S=5

3 ,求

c 的长度. EG2.三角形中的几何计算 在 ? ABC 中, AB ? AC ? 3 , BC ? 2 , ? B 的平分线交过点 A 且与 BC 平行的线于点 D .求 ? ABD 的 面积. 变式 1:已知 △ ABC 的周长为 2 ? 1 ,且 sin A ? sin B ? 2 sin C . (I)求边 AB 的长; (II)若 △ ABC 的面积为 变式 2:△ABC 中, A ? A. 4 3 sin( B ? C. 6sin( B ?

?
3

1 sin C ,求角 C 的度数. 6
).

, BC ? 3, 则△ABC 的周长为(
B. 4 3 sin( B ? D. 6sin( B ?

?
3

)?3

?
6

)?3

?
3

)?3

?
6

)?3

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变式 3:在 ?ABC中,?B ? 45?, AC ? 10, cos C ?

2 5 ,求(1) BC ? ? (2)若点 5

D是AB的中点,求中线CD的长度。
EG3.解三角形的实际应用 某观察站 B 在城 A 的南偏西 20 的方向,由 A 出发的一条公路走向是南偏东 40 ,在 B 处测得公路上距 B31km 的 C 处有一人正沿公路向 A 城走去,走了 20km 之后到达 D 处,此时 B,D 间的距离为 21km。这 个人要走多少路才能到达 A 城? 变式 1:如图,当甲船位于 A 处时获悉,在其正东方向 相距 20 海里的 B 处有一艘渔船遇险等待营救.甲船 立即前往救援,同时把消息告知在甲船的南偏西 30 , 相距 10 海里 C 处的乙船,试问乙船应朝北偏东多少 度的方向沿直线前往 B 处救援(角度精确到 1 )? 变式 2:如图,测量河对岸的塔高 AB 时,可以选与塔底 B 在同一水 平 面 内 的 两 个 测 点
? ?



A 10 ?C

20

B ?

C



D

. 现 测 得

?BCD ? ?,?BDC ? ?,CD ? s ,并在点 C 测得塔顶 A 的仰角为 ? ,求塔高 AB .


120 A 2

B2

B1


105 A 1


变式 3:如图,甲船以每小时 30 2 海里的速度向正北方航行,乙船按固定方向匀速直线航行,当甲船位于

A1 处时,乙船位于甲船的北偏西 105 方向的 B1 处,此时两船相距 20 海里,当甲船航行 20 分钟到达 A2 处
时,乙船航行到甲船的北偏西 120 方向的 B2 处,此时两船相距 10 2 海里,问乙船每小时航行多少海里? 实战训练 1.(2007 年重庆卷理 5)在 ?ABC 中, AB ? 3, A ? 450 , C ? 750 , 则 BC =( ) A. 3 ? 3 B. 2 C.2 D. 3 ? 3

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2.(2007 年北京卷理 11).在 △ ABC 中,若 tan A ?

1 , C ? 150 , BC ? 1 ,则 AB ? 3


3.(2007 年重庆卷文 13)在△ABC 中,AB=1,BC=2,B=60°,则 AC=

4. (2007 年湖南卷理 12) . 在 △ ABC 中, 角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c , 若 a ? 1, b= 7 , c ? 3,

C?

π ,则 B ? 3



C? 5. (2007 年湖南卷文 12) . 在 △ ABC 中, 角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c , 若 a ? 1, c ? 3,
则A? . 6.在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c.已知 a+b=5,c = 7 ,且

π , 3

4 sin 2

A? B 7 ? cos 2C ? . 2 2
(2)求△ABC 的面积.

(1) 求角 C 的大小;

7.在⊿ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,且 tan A ? (1)求 tanC 的值;

1 3 10 , cos B ? 2 10
1 . 4

(2)若⊿ABC 最长的边为 1,求 b。

8.在△ ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,已知 a ? 2 , c ? 3 , cos B ? (1)求 b 的值;(2)求 sin C 的值. 9.在△ABC 中,已知角 A 为锐角,且

f ( A) ?

[cos(? ? 2 A) ? 1] sin(? ?

A ? A ) sin( ? ) 2 2 2 ? cos2 A . ? A A sin 2 ( ? ) ? sin 2 (? ? ) 2 2 2

(I)求 f (A)的最大值; (II)若 A ? B ?

7? , f ( A) ? 1, BC ? 2 ,求△ABC 的三个内角和 AC 边的长. 12

10.如图某河段的两岸可视为平行,为了测量该河段的宽度,在河段的一岸边选取两点 A、B,观察对岸的 点 C,测得 ?CAB ? 75 , ?CBA ? 45 ,且 AB ? 100 米。 (1)求 sin 75 ; (2)求该河段的宽度。 11.在 ?ABC 中,已知 AC ? 3 , sin A ? cos A ? 2 . (Ⅰ)求 sin A 的值; (Ⅱ)若 ?ABC 的面积 S ? 3 ,求 BC 的值. 12.已知 △ ABC 的周长为 2 ? 1 ,且 sin A ? sin B ? 2 sin C .

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(I)求边 AB 的长;(II)若 △ ABC 的面积为

1 sin C ,求角 C 的度数. 6

?

( AC ? BC )2 ? 2 AC BC ? AB 2 1 ? ,所以 C ? 60 . 2 AC BC 2
3 ?c . 5

o s B ? bc o s A 13. (08 全国一 17) . 设 △ ABC 的内角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c , 且ac
(Ⅰ)求 tan A cot B 的值;(Ⅱ)求 tan( A ? B) 的最大值. 14.(08 全国二 17).在 △ ABC 中, cos B ? ? (Ⅰ)求 sin A 的值; (Ⅱ)设 △ ABC 的面积 S△ ABC ?

5 4 , cos C ? . 13 5

33 ,求 BC 的长. 2

16.(08 重庆卷 17)设 ?ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 A= 60 ,c=3b.求: (Ⅰ)

a 的值;(Ⅱ)cotB +cot C 的值. c ? . 3

17.(08 辽宁卷 17).在 △ ABC 中,内角 A,B,C 对边的边长分别是 a,b,c ,已知 c ? 2 , C ? (Ⅰ )若 △ ABC 的面积等于 3 ,求 a, b ; (Ⅱ )若 sin C ? sin( B ? A) ? 2sin 2 A ,求 △ ABC 的面积.

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