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全称命题与特称命题的否定及应用


?

辅教导学 ?  

数 学 通 讯 —— 2 0 0 9年 第 1 . 2期 ( 上半月)  

2 7  

全称 命 题 与特 称 命 题 的 否定及 应 用  
刘   冰  
( 黑龙江省哈师大附 中, 1 5 0 0 8 0 )  

新 课标人

教 版选 修 1 一   I , 2   l新增 了“ 全 

度 会 更大 , 综合 性会 更 强.  
对读 者来 说 , 全 称 命 题 比特 称 命 题 容 易 

称量词与存在 量词 ”内容 , 也 产生了新课标 
下 一 个难 点 “ 全 称命 题 与 特 称命 题 ” , 这一 内   容 在实 行新 课标 的省 份 高考 中屡 见不 鲜.  
本 文 重 点 研 究 高 考 新 增’ 热 点 和 难 点 


理 解 和掌握 , 因此有 关 特称命 题 的综合 题 , 我 
们 常 利用补 集思 想 , 将其 否定 , 即 转化 成全 称  命 题 加 以解 决 .  
例3   已知 函数 厂 ( z ) 一4 x 。 一2 ( £ 一2 ) x  


一 全称命题与特称命题的否定及应用.  
全 称命 题 的否 定 是 特 称 命 题 , 特 称命 题 
的否定 是全 称命 题 .   ( 1 ) 全称 命 题  : Vz∈ M ,  ( z ) , 其 否定 

2  一£ +1 , 在 区间 [ 一1 , 1 ] 上 至少 存 在一 个  解析  j   C∈ [ 一1 , 1 ] , 使 得 厂( f ) > 0  

实数 C , 使得 厂 ( c ) >0 , 求 实数 t 的取值 范 围.   时, 实数 t 的 取值 范 围不 易 求 出 , 而 其 否定 :  

为 特称命 题 一 P: 了X 。∈ M , 一 p( x 。 ) ;  

( 2 ) 特称 命 题 P: ]X 。∈M , p ( x 。 ) , 其 否 
定 为全 称命 题 一 夕: V   ∈ M, 一 p( z ) .   例1 ( 0 7年 海 南)已 知命 题 P: V   X∈  
R, s i n x≤ 1 , 则(  
( A)_ 1  :  
? 

V   z∈ [ 一1 , 1 ] , 使得 , (  ) ≤ 0时 , 实数 t 的 
取 值 范 围易 求 , 因此 , 可将 特 称 命 题 否 定 , 转 

化 成全 称命 题求解 .  
构 造特 称 命 题  : 3   c∈ [ 一1 , 1 ] , 使 得 
- 厂 ( c ) > 0 .  

∈ R, s i n x≥ 1 .  

( B)—?  : 一 V   ∈ R, s i n x≥ 1 .  


其 否定 为全称 命 题 一 户: VX∈ [ 一1 , 1 ] ,  
使得 厂 (  ) ≤0 , 则 
.  

( C )- 1   p: 了   ∈ R, s i n x> 1 .  
( D)—- p   : Vz ∈  R, s i n x> 1 .

解析  命题  为 全 称命题 , 其 否定 为 特 
称命 题 一  : j   ∈ R, s i n x> 一 , , 故选( C ) .  
  一

{ (   I f 厂 r ( - 】 1 ) 1 < ≤ )    ̄ 0   0   ≥   3 z 或 …  ≤ 一 3 一 .  
所以, 区间 [ 一l , 1 ]上 至 少 存 在 一 个 实 
数C , 使得 ,( c ) > 0时 , 实数 t 的取 值范 围为 


例 2 ( 0 7年 山 东) 命题“ 对 任意 的 z ∈   )   ( A) 不 存在  ∈ R,   一z 。 +1 ≤ 1 .   ( B )存在 X∈ R,   一. 1 7   - 4 -1 ≤ 0 .  

R,   一 。 - 4 - 1 ≤ 0 ”的否定 是 (  


3 < f < 号 .  
例4   函数 - 厂 (  ) 对 一切 实 数  , Y均有 
厂 ( 1 )一 0 .  

f( x+ ) 一厂 (  )一 x( x+ 2 y+ 1 ) 成立 , 且 


( C )存在 z ∈ R,  。 一x 2 + l> 0 .  
( D) 对 任意 的 z∈ R,   一  + 1> O .  
.  

( 1 )求 厂 ( 0 ) ;  

解 析  命 题 p为全 称命题 , 其否定 为 特 

称命 题 一 户: 存在  ∈ R,   一  + l >0 , 故 
选( C ) .  

( 2 ) 若存在 z 。 ∈( o , 去) , 使得 f ( x 。 ) - 4 - 2  
≥l o g  。 , 求 “的取值 范 围.  
解 析  ( 1 )令  = 1 , Y一 0 , 可得 厂 ( O )  
: 一

全称 命 题与 特称 命题 的否定 除 了直 接 考  查, 有时 常常 蕴含 在综合 题之 中 间接考 查 , 难 

2.  

数学通讯 —— 2 O O 9年 第 1 . 2期( 上半月)  
练习:  

? 辅教导学 ?  

构 造特 称命题  : j   z 。∈ ( O ,   1) 使 得 



1 . 已知圆 M: ( z+ c o s 0 )  + (  — s i n 0 )  

1 , 直线 z : Y= 妇 , 下面 四个命题 :   ① 对 任 意 实 数 彘和 8 , 直 线 f和 圆 M 

f( x o )+ 2≥ l o g   z   o .  

其 否定为全称命 题 一  : V   z∈ ( O ,   1)

,  

相切.  

使得 厂 (  ) +2< l o g  ,  
即 V   z∈ ( O ,   1)


② 对任 意实数 点和 , 直线 Z 和 圆M 有公 
共点 .  

使得 z   +2 <1 。 ‰ .  

③ 对任 意实数 , 必 存 在 实数 k , 使 得 直 
线 Z 和圆 M 相切.  

当 “ > l 时 , V   z ∈ ( o , 丢 ) , I 。 g   z < o ,  
z   + z> 0 , 不满 足 。 +z< l o g   z   当  n <1 时, g ( z ) =z   +  在 ( o ,   1)  

④ 对任 意实数 k , 必存 在 实数 , 使 得 直 
线z 和圆 M 相切.  

其 中真 命题 的代 号 是  出所有真 命题 的代号 ) .  

( 写 

上 为增 函数 , ^ ( z )一 l 。 g “ z在 ( O ,   1 )上 为减 

2 . 设 A, B为 两个集合 , 下列 四个命 题 :  
①A   B 筒 对任 意  ∈ A, X   B;  
②A  B ∞A   n   B=  ;   ③A   B 圆B   A;  

函 数 , 所 以 g ( 专 ) ≤ ^ ( 专 ) , 即 } ≤ l 。 g   1 ,  
解 得  ≤ n< 1 .   因此 , 存在 。∈ ( O ,   1)


④A   B 甘 存 在  ∈ A, 使 得 
使得 f ( x 。 ) +2  
u  

B .  

其 中真命 题 的序 号 是 

( 把 符 合 

要 求 的命题 序号 都填上 ) .  
答案 : 1 . ②④ ;   2 . ④.  
( 收 稿 日期 : 2 0 0 8 —1 0 —1 2 }  

≥1 。 g   。 时,  的取值范围为( 。 , 丝)




( 1 , + 。 。 ) .  

{   s寻  牟  早  

¥年 s  :   e 啕 ¥ 

:   :  

( 上接 第 2 6页)  


个数, 第 三部分 至少 有 2个数 , 第 四部分 至少  有1 个数, 第 五部分 可 以没 有数.  
设第 一 、 二、 三、 四、 五部 分数 的个数分 别    .

l , 2 , 3 , …, 2 0 )的非 负整 数 解 的组 数 , 由  

结论 2可 知 , 有c l l   。 组.  

所 以满 足条件 的放法 有 c l l   。 种.  
例 5   已知 集 合 P 一 { l , 2 , 3 , …,   2 0 0 9 ) ,P的子集A = { n 1 , a 2 , n 3 , 口   ) , 其中“ 1  

为z 1 ,  2 , z 3 ,  4 , z 5 , 则 l + 2 +  3 +z 4 +z 5  


2 0 0 9 , 其 中 l ≥l , z 2 ≥3 ,  3 ≥2 ,  4 ≥l ,  
设Y 1 =z l , 3 , 2 =z 2 —2 , Y 3 =  3 —1 , Y 4  

z5 ≥ 0 .  

<a z <Ⅱ 3 <“ 4 , 满足“ 4 ≥a 3 +1 ≥n 2 +3 ≥ 
n 。 + 6的子集 A 的个 数为 多少 ?  

:z 4 , Y 5 一X 5 +1 , 代 入得  Y l +  2 +Y 3 + 4 + 5 —2 0 0 7   其中 Y   ≥1 (  = l , 2 , 3 , 4 , 5 ) .   于是 , 原 问题 等价 于求不 定方程 ① 的正  整数 解 的组 数 , 由结论 1 可知 , 有C ! 。 。  组.   ① 

解析  将 1 , 2 , 3 , …, 2 0 0 9从 左 到 右 排  成- -Y l , 并 在 选定 符合 条 件 的 4个数 “ 。 , “   ,  
a 。 , n   后插4 块板 , 把这 一列数分 成 5 部分 , 从 

左 到 右依 次 为第 一 、 第 二, 、 第三、 第 四、 第 五 
部分 .  
因n 2 ≥“ 1 十 3, a   3 ≥n 2 十2, a 4 ≥a 3 +l ,  

所 以满足 条件 的子集 A 的个 数为 C {  .  
( 收 稿 日期 : 2 0 0 8 一l 1 —2 0 )  

则第 一部分 至少有 1 个数 , 第二部 分 至少有 3  


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