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湖北省2016届高三上学期第三次月考 数学理


数学(理)试题
考试时间:150 分钟 一、选择题(每题 5 分) 1.设集合 A ? x ? R A. ? 总分:150 分

?

x ? 1 ? 2? , B ? ? y ? R y ? 2 x , x ? R? ,则 A ? B =(
B. ?0, 3? C. ? 0, 3? D. ? ?1 , 3?




2.已知集合 A ? x 5x ? a ? 0 , B ? x 6x ? b ? 0 , a, b ? N ,且 A ? B ? N ? ?2,3,4 ? ,则整数对

?

?

?

?

?a, b ? 的个数为(
A.20 B. 25

) C. 30 D. 42 ( )

3.设函数 f ( x) ? ln(1 ? x) ? x ,记 a ? f (1), b ? f ( 3),c ? f ( 7) 则 A. b ? a ? c C. a ? b ? c B. c ? b ? a D. a ? c ? b

4.设 f′(x)是函数 f(x)的导函数,将 y=f(x)和 y=f′(x)的图象画在同一个直角坐标系中,不可 能正确的是( A. ) B. C. D.

5.直线 y=4x 与曲线 y=x3 在第一象限内围成的封闭图形的面积为( A. 2 B.4 C .2

) D.4

x ? D , 存 在 唯 一 的 x2 ? D , 使 得 6. 设 函 数 f ( x ) 的 定 义 域 为 D , 如 果 对 于 任 意 的 1
f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?C 2 成立(其中 C 为常数) ,则称函数 y ? f ( x) 在 D 上的均值为 C , 现在给出下
列4个函数: ① y ? x 所有函数是下面的 A. ①②
3

② y ? 4sin x ( )

③ y ? lg x

④y?2

x

,则在其定义域上的均值为 2的

B. ③④

C. ①③④

D. ①③

7.设 f(x)=|lnx|,若函数 g(x)=f(x)﹣ax 在区间(0,3]上有三个零点,则实数 a 的取值范围是 ( )

A. (0, )

B.(

,e)

C.(0,

]

D.[

, )

8. 设 函 数 f ( x) 的 定 义 域 为 实 数 集 R , 且 f ( x ? 2) ? f ( x ? 1) ? f ( x) , 若 f (4) ? ?2 , 则 函 数

g ( x) ? e x ?
A.1

2 f (2011) 的最小值是 ex ?1
B.3 C. ln 3 D. ln 2

9.如图,正△ABC 的中心位于点 G(0,1) ,A(0,2) ,动点 P 从 A 点出发沿△ABC 的边界按逆时 针方向运动,设旋转的角度∠AGP=x(0≤x≤2π) ,向量 原点) ,则 y 关于 x 的函数 y=f(x)的图象是( ) 在 =(1,0)方向的射影为 y(O 为坐标

10.已知函数 f M ? x ? 的定义域为实数集 R ,满足 f M ? x ? ? ? 有两个非空真子集 A, B ,且 A ? B ? ? ,则 F ? x ? ?

?1, x ? M ( M 是 R 的非空真子集),在 R 上 ?0, x ? M

f A? B ? x ? ? 1 的值域为 f A ? x? ? fB ? x? ?1
D. ? ,1?

A. ? 0, ? 3

? ?

2? ?

B. ?1?

C. ? , ,1?

?1 2 ? ?2 3 ?

?1 ? ?3 ?

二、填空题(每题 5 分) 11.已知命题 p:“?x∈R,?m∈R,4x-2x 1+m=0”,且命题非 p 是假命题,则实数 m 的取值范围


为________. 12.若函数 f(x)在定义域 D 内某区间 I 上是增函数,且 在 I 上是减函数,则称 y=f(x)在 I

上是“弱增函数”. 已知函数 h (x) =x2﹣ (b﹣1) x+b 在 (0, 1]上是“弱增函数”, 则实数 b 的值为________.
2 13.已知函数 f ( x) ? a ln x ? bx 图象上一点 P(2, f (2)) 处的切线为 y ? ?3x ? 2 ln 2 ? 2 ,若方程

1 f ( x) ? m ? 0 在区间 [ , e ] 内有两个不等实根,则实数 m 的取值范围是 e
14. 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 f ( x ) 满 足 f ( x? 4 ? )

f ( x, ) 且 在 ?0,2? 上 的 解 析 式 为

? x(1 ? x),0 ? x ? 1 ? 29 ? ? 41? ,则 f ? f ?x ? ? ? ? ? f ? ? ? _______ ? 4? ?6? ?sin ?x, 1 ? x ? 2
15.已知函数 f ? (x)、g? (x) 分别是二次函数 f(x) 和三次函数 g(x) 的导函数,它们在同一坐标系下的 图象如图所示,设函数 h(x) ? f(x) ? g(x) ,

则 h(?1),h(0),h(1) 的大小关系为 三、解答题

16(本题 12 分).在 (1)求 (2)若 的大小; ,求

中,角

所对的边分别为

,已知



的取值范围.

17(本题 12 分).如图,四棱锥 P ? ABCD 的底面 ABCD 是正方形,侧棱 PD ⊥底面 ABCD ,

PD ? DC , E 是 PC 的中点.

(I)证明: PA //平面 BDE ; (II)求二面角 B ? DE ? C 的平面角的余弦值; (Ⅲ)在棱 PB 上是否存在点 F ,使 PB ⊥平面 DEF ?证明你的结论. 18(本题 12 分).设 f ( x) ? x ? x ,用 g (n) 表示 f ( x) 当 x ?[n, n ? 1](n ? N *) 时的函数值中整数值
2

的个数. (1)求 g (n) 的表达式. (2)设 an ? (3)设 bn ?
2n 2n3 ? 3n2 (n ? N * ) ,求 S2 n ? ? (?1)k ?1 ak . g (n) k ?1

g ( n) , Tn ? b 1 ?b2 ? L ? bn ,若 Tn ? l (l ? Z ) ,求 l 的最小值. 2n

19(本题 13 分) .经销商用一辆 J 型卡车将某种水果从果园运送(满载)到相距 400 km 的水果批发市 场.据测算,J 型卡车满载行驶时,每 100 km 所消耗的燃油量 u(单位:L)与速度 v(单位:km/h),的

关系近似地满足 u= 元.已知燃油价格为每升(L)7.5 元.

除燃油费外, 人工工资、 车损等其他费用平均每小时 300

(1)设运送这车水果的费用为 y(元)(不计返程费用),将 y 表示成速度 v 的函数关系式; (2)卡车该以怎样的速度行驶,才能使运送这车水果的费用最少?

20(本题 13 分).已知抛物线 y ? 4 x 的焦点为 F2,点 F1 与 F2 关于坐标原点对称,以 F1,F2 为焦点
2

? 2? ? ?1, 2 ? ? ?. 的椭圆 C 过点 ?

(Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程;

F A ? ? F2 B , 若 ( Ⅱ ) 设 点 T (2,0) , 过 点 F2 作 直 线 l 与 椭 圆 C 交 于 A,B 两 点 , 且 2 ? ?? ? ?? ? ? ? ?2 , ?1 , T A ?T B ?求
的取值范围.

???? ?

???? ?

g ( x) ? ? , (a ? R). x 21(本题 13 分).已知函数 f ( x) ? x ? a ln x ,
(1)若 a ? 1 ,求函数 f ( x ) 的极值; (2)设函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ,求函数 h( x ) 的单调区间; (3)若在

1? a

?1,e? ( e ? 2.718... )上存在一点 x0 ,使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) 成立,求 a 的取值范围.

数学(理科)答案 1.C 2.C 若 3.B 4.D 5.D 6.D 7.D 8.B 9.c 10.B , 则

x? A , 则

f A ( x) ? 1, f B ( x) ? 0, f A?B ( x) ? 1 , F ( x) ? 1 ; 若 x ? B

f A ( x) ? 0, f B ( x) ? 1, f A?B ( x) ? 1, F ( x) ? 1 ;若 x ? A,x ? B ,则 f A ( x) ? 0 , f B ( x) ? 0 ,
f A?B ( x) ? 0, F ( x) ? 1. 故选 B.
11.m ? 1 12.1 13. (1,2 ?

1 ] e2

14.

5 16

15. h(0) ? h(1) ? h(?1)

16.解: (1)由已知条件结合正弦定理有:

,从而有:



.

(2)由正弦定理得:





,即:

.

17.解:法一: (I)以 D 为坐标原点,分别以 DA 、 DC 、 DP 所在直线为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空 间直角坐标系, 设 PD ? DC ? 2 ,则 A(2, 0, 0) , P(0, 0, 2) , E (0,1,1) , B(2, 2,0)

PA ? (2,0,?2), DE ? (0,1,1), DB ? (2,2,0)
? n 设 1 ? ( x, y, z) 是平面 BDE 的一个法向量,
? ???? ? ?n 1 ? D E? 0 ? ? ? ??? ? ?n 1 ? D B? 0

则由

?y ? z ? 0 ? 2x ? 2 y ? 0 ,得 ?

? y ? ? 1 n 取 ,得 1 ? (1, ?1,1) . ??? ? ? ??? ? ? ∵ PA ? n1 ? 2 ? 2 ? 0 ,? PA ? n1,又PA ? 平面BDE,? PA / /平面BDE ? ? ? ??? n ? (1, ? 1,1) n ? DA ? (2,0,0) 是平面 DEC 的一 (II)由(Ⅰ)知 1 是平面 BDE 的一个法向量,又 2
个法向量.

? ? ? ?? n , n2 ? B ? DE ? C ? 1 设二面角 的平面角为 ,由图可知 ? ? ? ? n1 ? n 2 2 3 ? ? cos? ? cos ? n1 , n 2 ?? ? ? | n1 | ? | n 2 | 3?2 3 . ∴
3 故二面角 B ? DE ? C 的余弦值为 3 .
(Ⅲ)∵ PB ? (2,2,?2), DE ? (0,1,1)

??? ? ??? ? PB ? DE ? 0 ? 2 ? 2 ? 0,? PB ? DE. ∴
假设棱 PB 上存在点 F ,使 PB ⊥平面 DEF ,设 PF ? ? PB(0 ? ? ? 1) ,

??? ? ???? ??? ? ??? ? PF ? (2 ? , 2 ? , ? 2 ? ) DF ? DP ? PF ? (2?, 2?, 2 ? 2?) 则 ,
??? ? ???? 2 2 PF ? DF ? 0 得 4? ? 4? ? 2? (2 ? 2? ) ? 0 由

? ? ? (0,1),此时 PF ? PB


1 3

1 3

1 PF ? PB 3 即在棱 PB 上存在点 F , ,使得 PB ⊥平面 DEF .
法二: (I)连接 AC , AC 交 BD 于 O ,连接 OE .在 ?PAC 中, OE 为中位线,? OE // PA

又PA ? 平面BDE ,? PA //平面 BDE .
(II) PD ⊥底面 ABCD ,? 平面 PDC ⊥底面 ABCD , CD 为交线,? BC ⊥ CD

? 平面 BCE ⊥平面 PDC , PC 为交线, ? PD = DC , E 是 PC 的中点? DE ⊥ PC ? DE ⊥平面 PBC ,? DE ⊥ BE ? ?BEC 即为二面角 B ? DE ? C 的平面角.
CE ? 2 6 3 a, BC ? a, BE ? a,? cos ?BEC ? 2 2 3

设 PD ? DC ? a ,在 Rt ?BCE 中,

3 故二面角 B ? DE ? C 的余弦值为 3 .
(Ⅲ)由(II)可知 DE ⊥平面 PBC ,所以 DE ⊥ PB ,所以在平面 PDE 内过 D 作 DF ⊥ PB , 连 EF,则 PB ⊥平面 DEF .

在 Rt ?PDB 中, PD ? a , BD ? 2a , PB ? 3a ,

PF ?

3 a 3 .

1 PF ? PB 3 所以在棱 PB 上存在点 F , ,使得 PB ⊥平面 DEF .
18. 解 对 ,函数 . 在 单增,值域为 , 故

(2)

,故

=-n(2n+1)

(3)由



,且

两式相减,得

于是

故若



,则 的最小值是 7.

19.

所以当 v =100 时,y 取得最小值. 答当卡车以 100 km/h 的速度驶时,运送这车水果的费用最少.(16 分) 20.(Ⅰ)设椭圆的半焦距为 c ,由题意得 c ? 1 ,

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 b 设椭圆 C 的标准方程为 a ,

略 21.解: (Ⅰ) f ( x) 的定义域为 (0, ??) ,

当 a ? 1 时, f ( x) ? x ? ln x ,

f ?( x) ? 1 ?

1 x ?1 ? x x ,

x
f ?( x )

(0,1)


1 0 极小

(1, ??)
+

f ( x)

所以 f ( x ) 在 x ? 1 处取得极小值 1.

h( x ) ? x ?
(Ⅱ)

1? a ? a ln x x ,

h?( x) ? 1 ?

1 ? a a x2 ? ax ? (1 ? a) ( x ? 1)[ x ? (1 ? a)] ? ? ? x2 x x2 x2

? ? ①当 a ? 1 ? 0 时,即 a ? ?1 时,在 (0,1 ? a) 上 h ( x) ? 0 ,在 (1 ? a, ??) 上 h ( x) ? 0 ,

所以 h( x) 在 (0,1 ? a) 上单调递减,在 (1 ? a, ??) 上单调递增;
? ②当 1 ? a ? 0 ,即 a ? ?1 时,在 (0, ??) 上 h ( x) ? 0 ,

所以,函数 h( x) 在 (0, ??) 上单调递增. (III)在 在

?1,e? 上存在一点 x0 ,使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) 成立,即
0

?1,e? 上存在一点 x0 ,使得 h( x ) ? 0 ,即
h( x) ? x ? 1? a ? a ln x 1,e x 在 上的最小值小于零.

函数

? ?

由(Ⅱ)可知

?1,e? 上单调递减, ①即 1 ? a ? e ,即 a ? e ? 1 时, h( x) 在
所以 h( x) 的最小值为 h(e) ,由
h(e) ? e ?

e2 ? 1 1? a a? ?a?0 e e ?1 , 可得

e2 ? 1 e2 ? 1 ? e ?1 a? e ?1 ; 因为 e ? 1 ,所以

?1, e? 上单调递增, ②当 1 ? a ? 1 ,即 a ? 0 时, h( x) 在
所以 h( x) 最小值为 h(1) ,由 h(1) ? 1 ? 1 ? a ? 0 可得 a ? ?2 ; ③当 1 ? 1 ? a ? e ,即 0 ? a ? e ? 1 时, 可得 h( x) 最小值为 h(1 ? a) , 因为 0 ? ln(1 ? a) ? 1 ,所以, 0 ? a ln(1 ? a) ? a 故 h(1 ? a) ? 2 ? a ? a ln(1 ? a) ? 2 此时, h(1 ? a) ? 0 不成立.

综上讨论可得所求 a 的范围是:

a?

e2 ? 1 e ? 1 或 a ? ?2 .


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