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08学年花都区高三数学第二轮复习(解析几何教案)


第二轮复习资料

专题

解析几何(教案)

高考解析几何试题有以下几个特点: 解析几何通常有 1-2 小题和 1 大题,约占 24 分左右,而小题以考查基础为主、 解答题的第一问也较容易, 因此, 对于不同类型的学校, 都要做好该专题的复习, 千万不能认为该部分内容较难而放弃对该部分内容的专题复习, 并且根据生源状 况有针对性地进行复习。 从今年各地的试题以及前几年的试题来看, ⑴题型稳定: (2)难度下降, 位置不定: (3)与新课程融合,注意主导知识的链接。 题型热点如下: 热点 1:直线和圆、圆锥曲线的定义、圆锥曲线方程 热点 2:最值及离心率范围问题 热点 3:与圆锥曲线有关的轨迹问题 热点 4:直线与圆锥曲线的位置关系,该部分内容体现解析几何的基本思想方法 ——用代数的手段研究几何问题 ※热点 5:与平面向量、数列、不等式、导数等内容相结合 ,在知识网络的交 汇处设计试题 教学计划:针对普通类学校在解析几何这部分:关键是抓好基础题(做好选择、 填空以及大题的第一问) ,计划课时 4-5 节课(在第 4 节直线和圆锥曲线可能需 要用 2 节课时间) 。如果对于基础好的学生还可以增加一节(第 5 节圆锥曲线的 综合问题,针对高考解答题的第二问进行设计) (补充说明在每节的题目前加※的是较难点的题。 )

第一节 直线和圆
教学目标 一.直线与圆、圆与圆的位置关系 二.求圆的切线方程 三.公共弦方程及弦长等有关直线与圆的问题. 回顾练习
2 2 1 .已知圆 x - 4 x - 4 + y = 0 的圆心是点 P ,则点 P 到直线 x - y - 1 = 0 的距离




2 2

2.已知直线 5 x ? 12 y ? a ? 0 与圆 x ? 2 x ? y ? 0 相切,则 a 的值为 3.圆心为(1,2)且与直线 5 x ? 12 y ? 7 ? 0 相切的圆的方程为_____________. 1.



2 .2.8 或 ?18 .3 ( x ? 1)2 ? ( y ? 2)2 ? 4 2

1

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综合例题
4.过点 (1, 2) 的直线 l 将圆 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 4 分成两段弧,当劣弧所对的圆心角最小时, 直线 l 的斜率 k ? ____ . 分析:常通过“数”与“形”的结合,充分利用圆的几何性质来简化运算; 当直线和圆心与定点的连线垂直时劣弧所对的圆心角最小, 圆心 (2,0) 与定点 (1, 2) 的连线 的斜率 k ? ? ? 2 ,故 k ?

2 2

5.设直线 ax ? y ? 3 ? 0 与圆 ( x ?1)2 ? ( y ? 2)2 ? 4 相交于 A 、 B 两点,且弦 AB 的长为

2 3 ,则 a ? __0__________.
分析:利用由半径、弦心距及半弦构成的直角三角形解决与弦长有关的问题. 6. 若实数 x, y 满足 x2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 0 ,则 x ? 2 y 的最大值为 (A) 5 (B) 10 (C)9 ( B )

(D) 5 ? 2 5

分析:利用参数方程结合三角函数求最值

? ? x ? 1 ? 5 cos ? 将圆配方得 ( x ? 1)2 ? ( y ? 2)2 ? 5 ,令 ? ,则 x ? 2 y ? 5 ? 5sin(? ? ? ) ? ? y ? ?2 ? 5 sin ?
另:线性规划数形结合的思想(略)

总结归纳
重点:①直线与圆的位置关系判断;②切线方程;③弦长的求法;④有关的最值问题. 难点:①常通过“数”与“形”的结合,充分利用圆的几何性质来简化运算; ②利用由半径、弦心距及半弦构成的直角三角形解决与弦长有关的问题

巩固练习 7.若 P(2, ? 1) 为圆 ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 25的弦 AB 的中点,则直线 AB 的方程是( C )
A. x ? y ? 3 ? 0 B. 2 x ? y ? 3 ? 0 C. x ? y ? 1 ? 0
2

D. 2 x ? y ? 5 ? 0
2 2

8.已知集合 M ? ( x, y) | x ? y ? 4 与 N ? {( x, y) | ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? r (r ? 0)} 满足
2 2

?

?

M∩N=N,则 r 的取值范围是( C ) A. (0, 2 ? 1] B. (0,1) C. (0,2 ? 2 ] D. (0,2)

9.若实数 x, y 满足(x + 5)2+(y – 12)2=142,则 x2+y2 的最小值为( B ) (A) 2 (B) 1 (C)

3

(D)

2

2

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高考链接
10. (08 年安徽) .若过点 A(4, 0) 的直线 l 与曲线 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 1有公共点,则直线 l 的斜 率的取值范围为( C ) A. [? 3, 3] B. (? 3, 3) C. [ ?

3 3 , ] 3 3

D. (?

3 3 , ) 3 3

11. (08 年陕西) 直线 3x ? y ? m ? 0 与圆 x2 ? y 2 ? 2 x ? 2 ? 0 相切, 则实数 m 等于 ( C ) A. 3 或 ? 3 B. ? 3 或 3 3 C. ?3 3 或 3
2 2

D. ?3 3 或 3 3

12. (08 四川)已知直线 l : x ? y ? 4 ? 0 与圆 C : ? x ? 1? ? ? y ? 1? ? 2 ,则 C 上各点到 l 的 距离的最小值为_______。 2 13. (08 重庆)直线 l 与圆 x +y +2 x-4 y ? a ? 0 (a<3)相交于两点 A,B,弦 AB 的中点
2 2

为(0,1) ,则直线 l 的方程为

. x-y+1=0

※ 14 . ( 08 天 津 卷 ) 已 知 圆 C 的 圆 心 与 点 P(? 2, 1)关 于 直 线 y ? x ? 1 对 称 . 直 线

3x ? 4 y ? 11 ? 0 与 圆 C 相 交 于 A, B 两 点 , 且 AB ? 6 , 则 圆 C 的 方 程 为
__________________. x ? ( y ? 1) ? 18
2 2

3

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第二节 圆锥曲线的方程
教学目标 一.圆锥曲线的定义、性质 二.①运用方程(组)求圆锥曲线的基本量; ②运用函数、不等式研究圆锥曲线有关量的范围; ③运用圆锥曲线的有关性质进行“计算” 。 回顾练习
1.方程 2 x 2 ? 5 x ? 2 ? 0 的两个根可分别作为( A.一椭圆和一双曲线的离心率 C.一椭圆和一抛物线的离心率
2

)A

B.两抛物线的离心率 D.两椭圆的离心率

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点重合,则 p 的值为( D ) 2.若抛物线 y ? 2 px 的焦点与椭圆 6 2
A. ?2 B. 2 C. ? 4 D. 4

3. (浙江卷 12)已知 F1、F2 为椭圆

x2 y2 ? ? 1 的两个焦点,过 F1 的直线交椭圆于 A、B 25 9

两点若 F2 A ? F2 B ? 12 ,则 AB =______________。8

综合例题
4. (08 山东)已知椭圆 C 的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,椭圆 C 上的点到焦点距离的 最大值为 3;最小值为 1; 求椭圆 C 的标准方程; 分析: (1)由题意设椭圆的标准方程为 由已知得: a ? c ? 3,a ? c ? 1 ,

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) , a 2 b2

a ? 2,c ? 1, ?b2 ? a 2 ? c 2 ? 3 . ? 椭圆的标准方程为

x2 y 2 ? ?1 4 3

※5. (08 四川卷 21 )设椭圆

x2 y 2 ? ? 1, ? a ? b ? 0 ? 的左右焦点分别为 F1 , F2 ,离心率 a 2 b2

e?

????? ???? ? 2 ,右准线为 l , M , N 是 l 上的两个动点, F M ? F N ?0 1 2 2

4

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(Ⅰ)若 F1M ? F2 N ? 2 5 ,求 a , b 的值; 分析:由 a 2 ? b2 ? c 2 与 e ?

?????

???? ?

c 2 ,得 a 2 ? 2b2 ? a 2

? ? ? 2 ? 2 l F1 ? ? a , 0 , F a , 0 ? ? ? 2 ? 2 ? ? 2 ? , 的方程为 x ? 2a ? ? ? ?
设M

?

2a,y1 ,N

?

?

2a,y2

?

则 F1M ? ?

?????

? ? 2 ?3 2 ? ???? ? a , y , F N ?? ? 1? 2 ? 2 ? 2 a,y2 ? ? ? ? ? ?

由F 1M ? F 2N ? 0 得

????? ???? ?

3 y1 y2 ? ? a 2<0 ① 2 ????? ???? ? (Ⅰ)由 F1M ? F2 N ? 2 5 ,得

?3 2 ? 2 ? ? 2 a? ? ? y1 ? 2 5 ? ? ? 2 ? 2 ? ? 2 a? ? ? y2 ? 2 5 ? ?
2

2





2 由①、②、③三式,消去 y1 , y2 ,并求得 a ? 4

故 a ? 2, b ?

2 ? 2 2

熟悉椭圆各基本量间的关系,数形结合,熟练地进行向量的坐标运算,设而不求 消元的思想在圆锥曲线问题中的灵活应用。 总结归纳 椭圆、双曲线、抛物线的定义是圆锥曲线的根本出发点,理解和掌握它们的 定义(其中椭圆、双曲线各有两种定义、抛物线只有一种定义)是解决解析几何 问题的基础和前提, 灵活运用圆锥曲线的定义以及一些基本的量来解题,常常能 收到事半功倍之效。尤其是要区分椭圆、双曲线中 a、b、c 的关系。 巩固练习
6. 已知椭圆的中心在原点, 离心率 e ? 则此椭圆方程为( A )
5

1 2 , 且它的一个焦点与抛物线 y ? ?4 x 的焦点重合, 2

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A.

x2 y2 ? ?1 4 3

B.

x2 y2 ? ?1 8 6

C.

x2 ? y2 ? 1 2

D.

x2 ? y2 ? 1 4

x2 y2 ? ? 1 的两个焦点,P 是椭圆上的点,且|PF1| : |PF2|=2 : 1,则三 9 4 角形 ? PF1F2 的面积等于______________.
7.设 F1,F2 是椭圆 分析:设椭圆的长轴、短轴的长及焦矩分别为 2a、2b、2c,则由其方程知 a=3,b=2,c = 5, 故, |PF1|+|PF2|=2a=6, 又已知[PF1|: |PF2|=2: 1, 故可得|PFl|=4, |PF2|=2. 在 △PFlF2 中,三边之长分别为 2,4,2 5 ,而 2 +4 =(2 5 ) ,可见△PFlF2 是直角三角形, 且两直角边的长为 2 和 4,故△PFlF2 的面积=4. 8.如图,直线 l : x ? 2 y ? 2 ? 0 过椭圆的左焦点 F1 和 一个顶点 B,该椭圆的离心率为( A. )
2 2 2

1 5

B.

2 5

C.

5 5

D.

2 5 5

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9. (04 重庆理)已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1, (a ? 0, b ? 0) 的左,右焦点分别为 F1 , F2 ,点 P 在双 a 2 b2

曲 线 的 右 支 上 , 且 | PF 1 |? 4 | PF 2 | , 则 此 双 曲 线 的 离 心 率 e 的 最 大 值 为 ( B ) A.

4 3

B.

5 3

C. 2

D.

7 3

10. (08 年天津卷)设椭圆

x2 y 2 ? 2 ? 1 ( m ? 0 , n ? 0 )的右焦点与抛物线 y 2 ? 8x 的焦 2 m n

点相同,离心率为

1 ,则此椭圆的方程为( B ) 2
(B)

(A)

x2 y 2 ? ?1 12 16

x2 y 2 ? ?1 16 12

(C)

x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1 (D) ? ?1 48 64 64 48

M 总在椭圆内 11. (08 江西卷)已知 F 1 、 F2 是椭圆的两个焦点,满足 MF 1 ? MF 2 ? 0 的点
部,则椭圆离心率的取值范围是 A. (0,1) B. (0, ] ( C )

???? ? ???? ?

1 2

C. (0,

2 ) 2

D. [

2 ,1) 2

12. (07 陕西)已知椭圆 C:

x2 y2 6 ? 2 =1(a>b>0)的离心率为 ,短轴一个端点到右焦点的 2 3 a b
6

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距离为 3 .(Ⅰ)求椭圆 C 的方程;

?c 6 , ? ? 解: (Ⅰ)设椭圆的半焦距为 c ,依题意 ? a 3 ? a ? 3, ?
? b ? 1 ,? 所求椭圆方程为

x2 ? y 2 ? 1. 3

7

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第三节 轨迹问题

教学目标 一.根据所给条件选择适当的直角坐标系求轨迹方程 二.求轨迹方程的两大类方法:直接法(定义法、直译法) ;间接法(相关点代 入法、参数法、交轨法) 三.几何性质转化为方程; 回顾练习
M 的轨迹方程是 1.分别过 A 1 (?1,0), A 2 (1,0) 作两条互相垂直的直线,则它们的交点
2.抛物线 y 2 ? 2 x 上各点与焦点连线中点的轨迹方程是 .

3 .已知椭圆的焦点是 F1 、 F2 , P 是椭圆上的一个动点.如果延长 F1 P 到 Q ,使得

| PQ |?| PF2 | ,那么动点 Q 的轨迹是
(A)圆 (B)椭圆
2





(C)双曲线的一支 (D)抛物线

(1. x 2 ? y 2 ? 1.2. y ? x ?

1 .3.A. ) 4

综合例题
4.直角坐标平面 xoy 中,若定点 A(1,2) 与动点 P( x, y) 满足 OP ? OA ? 4 ,则点 P 的轨迹方 程是__________. ( x ? 2y ? 4 ) 由向量的坐标运算知 OP ? OA ? x ? 2 y ? 4 ,则点 P 的轨迹方程是: x ? 2 y ? 4 5. (2007 福建文)如图,已知点 F(1,0) ,直线 l:x=-1,P 为平面 上的动点, 过 P 作 l 的垂线, 垂足为点 Q, 且 OP · OF=FP· FQ (I)求动点 P 的轨迹 C 的方程; 解法一(直接法) (I)设点 P(x,y),则 Q(-1,y),由 OP· QF=FP· FQ 得: (x+1,0)〃(2,-y)=(x-1,y)〃(-2,y),化简得 C: y ? 4 x 解法二(定义法)
2

??? ? ??? ?

(I)由 QP· QF=FP· FQ得: FQ· (PQ ? PF)=0, ∴ (PQ ? PF) 〃 (PQ? PF) ? 0 ,
2 2 ∴ PQ ? PF =0,

∴ | PQ |?| PF | . 所以点 P 的轨迹 C 是抛物线,由题意,轨迹 C 的方程为: y ? 4 x
2

8

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6. (08 湖北卷). 如图,在以点 O 为圆心, | AB |? 4 为直径 的 半 圆 A D B中 , O D ? A B, P 是 半 圆 弧 上 一 点 ,

?POB ? 30? , 曲线 C 是满足 || MA | ? | MB || 为定值的动点
M 的轨迹,且曲线 C 过点 P .
(Ⅰ)建立适当的平面直角坐标系,求曲线 C 的方程; 分析 1:以 O 为原点,AB、OD 所在直线分别为 x 轴、y 轴,建立平面直角坐标系,则 A(-2, 0) ,B(2,0) ,D(0,2),P( 3,1 ) ,依题意得
2 2 2 2 |MA|-|MB|=|PA|-|PB|= ( 2 ? 3 ) ? 1 ? (2 ? 3) ? 1 =2 2 <|AB|=4.

∴曲线 C 是以原点为中心,A、B 为焦点的双曲线. 设实平轴长为 a,虚半轴长为 b,半焦距为 c, 则 c=2,2a=2 2 ,∴a =2,b =c -a =2.
2 2 2 2

x2 y2 ? ? 1. ∴曲线 C 的方程为 2 2
分析 2:同分析 1 建立平面直角坐标系,则依题意可得|MA|-|MB|=|PA|-|PB|< |AB|=4. ∴曲线 C 是以原点为中心,A、B 为焦点的双曲线. 设双曲线的方程为

x2 y2 ? ? 1(a >0,b>0). a2 b2

则由

2 ? ( 3) 1 ? 2 ? 2 ?1 2 2 解得 a =b =2, b ? a ?a 2 ? b 2 ? 4 ?

∴曲线 C 的方程为

x2 y2 ? ? 1. 2 2

总结归纳 一.求轨迹问题基本步骤为 建(建立坐标) 设(设相关点) 限(注意限制条件) 代(根据等量关系代入) 化(化简计算) ” 二.在解轨迹问题的出发点有二:一是找出约束动点变动的几何条件,二是找出
9

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影响动点变动的因素。 三.求轨迹方法:直接法、定义法、几何法、 “点代入法” 、 “参数法”等。 巩固练习
7.与两圆 x2 ? y 2 ? 1 和 x2 ? y 2 ? 8x ? 12 ? 0 都外切的圆的圆心在 A.一个椭圆上 B.双曲线的一支上 ( B )

C.一条抛物线上 D.一个圆上

将 x2 ? y 2 ? 8x ? 12 ? 0 配方得 ( x ? 4)2 ? y 2 ? 4 ,设所求圆心为 P ,则由题意知

PO2 ? PO1 ? R ? r ? 1,
8.过抛物线 x2 ? 4 y 的焦点 F 作直线 l 交抛物线于 A, B 两点,则弦 AB 的中点 M 的轨迹方 程是 . (y?

1 2 x ?1 ) 2

2 ? F (0,1) ,设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , M ( x, y) ,则由 x12 ? 4 y1 , x2 ? 4 y2 ,两式相减得

kl ?

1 2 y2 ? y1 x2 ? x1 x y ?1 x y ?1 ? ? ,又 kl ? kFM ? ,? ? ,即 y ? x ? 1 x2 ? x1 4 2 2 x 2 x

9.已知圆 C 方程为: x 2 ? y 2 ? 4 . 过圆 C 上一动点 M 作平行于 x 轴的直线 m ,设 m 与 y 轴的交点为 N ,若向量

???? ???? ? ???? ,求动点 Q 的轨迹方程,并说明此轨迹是什么曲线. O Q? O M? O N
解: 设点 M 的坐标为 ?x0 , y0 ? ( y0 ? 0 ) , Q 点坐标为 ? x, y ? 则 N 点坐标是 ?0, y0 ? ∵ OQ ? OM ? ON ,∴ ? x, y ? ? ? x0 , 2 y0 ?
2 2 又∵ x0 ? y0 ? 4 ,∴ x ?
2

??? ?

???? ? ????

即 x0 ? x ,

y0 ?

y 2

y2 ? 4( y ? 0) 4

∴ Q 点的轨迹方程是

x2 y 2 ? ? 1( y ? 0) , 4 16

轨迹是一个焦点在 x 轴上的椭圆,除去短轴端点。

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10. (07 年湖南高考)已知双曲线 x ? y ? 2 的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,过点 F2 的动直
2 2

O 为坐标原 线与双曲线相交于 A,B 两点.若动点 M 满足 F 1M ? F 1A? F 1 B ? FO 1 (其中
点) ,求点 M 的轨迹方程;
10

????? ???? ???? ????

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解:由条件知 F1 (?2, 0) , F2 (2, 0) ,设 A( x1,y1 ) , B( x2,y2 ) . 设 M ( x,y) ,则 则 F ,y) , F1 A ? ( x1 ? 2,y1 ) , 1M ? ( x ? 2

?????

????

???? ???? ????? ???? ???? ???? ,由 F1B ? ( x2 ? 2,y2 ), FO ? (2 , 0) F1M ? F1 A ? F1B ? FO 1 1 得
? x ? 2 ? x1 ? x2 ? 6, ? x1 ? x2 ? x ? 4, 即? ? ? y1 ? y2 ? y ? y ? y1 ? y2
于是 AB 的中点坐标为 ?

? x?4 y? , ?. ? 2 2?

y y1 ? y2 y y 2 ( x1 ? x2 ) . 当 AB 不与 x 轴垂直时, ,即 y1 ? y2 ? ? ? x ?8 x1 ? x2 x ? 4 ? 2 x ? 8 2
2 2 2 又因为 A,B 两点在双曲线上,所以 x1 ? y12 ? 2 , x2 ? y2 ? 2 ,两式相减得

( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ,即 ( x1 ? x2 )( x ? 4) ? ( y1 ? y2 ) y .
将 y1 ? y2 ?

y ( x1 ? x2 ) 代入上式,化简得 ( x ? 6)2 ? y 2 ? 4 . x ?8

当 AB 与 x 轴垂直时, x1 ? x2 ? 2 ,求得 M (8, 0) ,也满足上述方程. 所以点 M 的轨迹方程是 ( x ? 6) ? y ? 4 .
2 2

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第四节直线和圆锥曲线

教学目标 一.数形结合法 二.联立方程组=>消元整理=>一元二次方程=>判别式、韦达定理、求根公式等 回顾练习
1.已知直线 x ? y ? 1 ? 0 与抛物线 y ? ax2 相切,则 a ? ______ . 2.直线 y=kx+1 与双曲线 x2 ? y2=1 的交点个数只有一个,则 k=



3.椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的一条弦被 A(4, 2) 平分,那么这条弦所在的直线方程是( 36 9

)

( A ) x ? 2 y ? 0 ( B ) 2 x ? y ? 10 ? 0 ( C ) x ? 2 y ? 8 ? 0 ( D ) 2 x ? y ? 2 ? 0
1 (答案:1. . 2. k ? ?1 或 ? 2 .3.C. ) 4

综合例题
4. 若椭圆 mx ? ny ? 1(m ? 0, n ? 0) 与直线 y ? 1 ? x 交于 A, B 两点, 过原点与线段 AB 中
2 2

点的连线的斜率为

n 2 ,则 的值为 m 2
(B)

( A )

(A) 2

2 2

(C)

3 2

(D)

2 9

分析:设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), AB 中点为 ( x0 , y0 ) ,则由 ?

?mx12 ? ny12 ? 1 ? 两式相减得 2 2 ? ?mx2 ? ny2 ? 1

y1 ? y2 m x0 n x ?? ? ?1 ,? ? 0 ? 2 ,故选 A. x1 ? x2 n y0 m y0
5.直线 y = x ? 2 与抛物线 y2 = 2x 相交与点 A、B,求证:OA⊥OB.

?y ? x ? 2 分析:设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,由 ? 2 得 x 2 ? 6 x ? 4 ? 0 ,有 x1 ? x2 ? 6, x1 ? x2 ? 4 , ? y ? 2x
得到 y1 y2 ? ?4 ,?OA ? OB ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ,? OA ? OB 。

??? ? ??? ?

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x2 **6.(山东卷改编)已知椭圆方程为 ? y 2 ? 1直线 l 过点 P(0,2) 斜率为 K,且与椭圆相交 2
于 A、B 两点,求:Δ AOB 面积, (其中 0 为原点) 分析:直线 l 的方程为 y ? kx ? 2, A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )

? y ? kx ? 2 ? 由 ? x2 ,消去 y 得关于 x 的方程: (1 ? 2k 2 ) x2 ? 8kx ? 6 ? 0 2 ? ? y ?1 ?2
由直线 l 与椭圆相交于 A、B 两点,? ? ? 0 ? 64k 2 ? 24(1 ? 2k 2 ) ? 0 解得 k 2 ?
? 又由韦达定理得 ? ? 8k 1 ? 2k 2 ? ?x ? x ? 6 ? 1 2 1 ? 2k 2 ? x1 ? x2 ? ?

3 2

2 ?| AB |? 1 ? k 2 | x1 ? x2 |? 1 ? k 2 ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 1 ? k 2 16k 2 ? 24

1 ? 2k

原点 O 到直线 l 的距离 d ?

2 1? k 2

? S? AOB

1 16k 2 ? 24 2 2 2k 2 ? 3 . ? | AB | ?d ? ? 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

总结归纳 一.联解直线和圆锥曲线的方程组(得分点) ; 二.涉及到弦中点问题时,常用一元二次方程根与系数的关系或用“点差法” ; 三.弦长的计算. 四.难点:①最值、范围的研究,条件的合理转化;②利用圆锥曲线的性质、数 形结合简化运算. 巩固练习
2 7. 在抛物线 y ? x 上到直线 y ? 2 x ? 4 距离最短的点的坐标是( A )

(A) ?1,1?

(B) ?2,4?

(C) ?

?1 1? , ? ?4 2?

(D) ?

?3 9? , ? ?2 4?
? ( x0 ? 1)2 ? 3 5

分析:设抛物线上一点 ( x0 , y0 ) ,到直线的距离是 d ? 当 x0 ? 1 时 d 最小,故选 A。

2 x0 ? y0 ? 4 5

8.直线 y ? ax ? 1 = 0 与双曲线 3x2 ? y2 = 1 交于 A,B 两点. 问:当 a 为何值时,A,B 在双曲线的两支上.当 a 为何值时,A,B 在双曲线的同一支上. ? y ? ax ? 1 分析:由 ? 2 得 (3 ? a 2 ) x2 ? 2ax ? 2 ? 0 2 ?3x ? y ? 1 A,B 在双曲线的两支上时: x1 ? x2 ? 0 ,解得: ? 3 ? x ? 3
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?? ? 0 A,B 在双曲线的同一支上时: ? 解得: ? 6 ? a ? ? 3 或 3 ? a ? 6 ? x1 ? x2 ? 0

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9.已知双曲线

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右焦点为 F,若过点 F 且倾斜角为 60 o 的直线与 2 a b
(C) [2, ??) (D) (2, ??)

双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是( C ) (A) (1, 2] (B) (1, 2)

由题意知双曲线一条渐近线的斜率

c2 a 2 ? b2 b2 b ? 1 ? 2 ? 4 ,故选 C ? 3 ,? e 2 ? 2 ? 2 a a a a

x2 y2 6 10. (陕西 07 )已知椭圆 C: 2 ? 2 =1(a>b>0)的离心率为 ,短轴一个端点到右焦点 3 a b
的距离为 3 . (Ⅰ)求椭圆 C 的方程;(在第 2 节中已做)

**(Ⅱ)设直线 l 与椭圆 C 交于 A、B 两点,坐标原点 O 到直线 l 的距离为 积的最大值.

3 ,求△AOB 面 2

?c 6 , ? ? 解: (Ⅰ)设椭圆的半焦距为 c ,依题意 ? a 3 ? a ? 3, ?
? b ? 1 ,? 所求椭圆方程为

x2 ? y 2 ? 1. 3

(Ⅱ)设 A( x1,y1 ) , B( x2,y2 ) . (1)当 AB ⊥ x 轴时, AB ? 3 . (2)当 AB 与 x 轴不垂直时, 设直线 AB 的方程为 y ? kx ? m .

由已知

m 1? k 2

?

3 2 3 2 ,得 m ? (k ? 1) . 4 2
2 2 2

把 y ? kx ? m 代入椭圆方程,整理得 (3k ? 1) x ? 6kmx ? 3m ? 3 ? 0 ,

3(m 2 ? 1) ?6km ? x1 ? x2 ? 2 , x1 x2 ? . 3k ? 1 3k 2 ? 1

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? AB ? (1 ? k 2 )( x2 ? x1 ) 2 ? (1 ? k 2 ) ?

2

? 36k 2 m2 12(m2 ? 1) ? ? 2 2 3k 2 ? 1 ? ? (3k ? 1) ?

?

12(k 2 ? 1)(3k 2 ? 1 ? m2 ) 3(k 2 ? 1)(9k 2 ? 1) ? (3k 2 ? 1)2 (3k 2 ? 1)2
12k 2 12 12 ? 3? (k ? 0) ≤ 3 ? ?4. 4 2 1 9k ? 6k ? 1 2 ? 3 ? 6 2 9k ? 2 ? 6 k
1 3 ,即 k ? ? 时等号成立.当 k ? 0 时, AB ? 3 , 2 k 3

? 3?

2 当且仅当 9 k ?

综上所述 AB max ? 2 .

1 3 3 ? ? 当 AB 最大时, △ AOB 面积取最大值 S ? ? AB max ? 2 2 2

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第五节
少用甚至不用(参考) 教学目标

圆锥曲线的综合问题

说明:本节课内容针对高考解答题的第二问进行设计,难度较大,建议普通中学

熟悉解析几何与平面向量、数列、不等式、导数等内容相结合 ,适应探索(存 在)性、最值、定值等题型的解法。 典型例题
1.设动点 P( x , y) ( y ? 0) 到定点 F (0 , 1) 的距离比它到 x 轴的距离大 1,记点 P 的轨迹为 曲线 C 。 (1)求点 P 的轨迹方程; (2)设圆 M 过 A (0, 2) ,且圆心 M 在曲线 C 上, EG 是圆 M 在 x 轴上截得的弦,试探 究当 M 运动时,弦长 EG 是否为定值?为什么? 解: (1)依题意知,动点 P 到定点 F (0 , 1) 的距离等于 P 到直线 y ? ?1 的距离,曲线 C 是 以原点为顶点, F (0 , 1) 为焦点的抛物线………………………………2 分 ∵

p ?1 2

∴ p?2
2

y x 2 =4y

∴ 曲线 C 方程是 x ? 4 y … (2)设圆的圆心为 M (a, b) ,∵圆 M 过 A (0, 2) , ∴圆的方程为
2

M E

A

x
G o

( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? a2 ? (b ? 2)2

令 y ? 0 得: x ? 2ax ? 4b ? 4 ? 0 设圆与 x 轴的两交点分别为 ( x1 ,0) , ( x2 ,0) 方法 1:不妨设 x1 ? x2 ,由求根公式得

x1 ?

2a ? 4a 2 ? 16b ? 16 2a ? 4a 2 ? 16b ? 16 , x2 ? 2 2
4a 2 ? 16b ? 16
2

∴ x1 ? x2 ?

2 又∵点 M (a, b) 在抛物线 x ? 4 y 上,∴ a ? 4b ,

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x1 ? x2 ? 16 ? 4 ,即 EG =4

∴当 M 运动时,弦长 EG 为定值 4

2. 如图: 已知椭圆 C 的中心在原点 ,焦点在 X 轴上 , 经过右焦点 F 倾斜角为 与 椭 圆 交 于 A,B 两 点 , 且 AF : FB ? 3:1 , 点
y

5 ? 的直线 l 6

M ( 6, ?2) 在该椭圆上 .
(Ⅰ )求椭圆 C 的离心率 e 的值 ,并求椭圆 C 的方程; ※(Ⅱ)在椭圆 C 内部是否存在一点 E ( x0 , 0) ,使得

A

D

A'
x

O

F B M

B'

??? ? ??? ? 20 EA ? EB ? ? 9
若存在 ,求出 E 点的坐标 ;若不存在 ,请说明理由 .

解: (Ⅰ )设 AF ? 3t , BF ? t ,椭圆 C 的右准线为 l ' , 过 A,B 分别作 l ' 的垂线,垂足分别为 A ', B ' 过 B 作 BD ? AA' ,垂足为 D. 由圆锥曲线的统一定义知:

3t t 2t , BB ' ? ,? AD ? AA ' ? BB ' ? e e e AD 4t 在直角三角形 ADB 中, AB ? ? ? 3e cos 6 AA ' ?
又 AB ? 4t ? 4t ?

4t 3e

故e ?

3 3

? a 2 ? 3c 2 , b2 ? a 2 ? c 2 ? 2c 2
x2 y2 ? ? 1 将 M ( 6, ?2) 代入得 c 2 ? 4 3c 2 2c 2 x2 y2 ? ?1 所以 : 椭圆 C 的方程为 : 12 8
设椭圆 C 的方程为 : (Ⅱ)假设存在 E ( x0 ,0) 满足条件 ,设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 据题意直线 l 的方程为 : y ? ?

3 ( x ? 2) ………① 3
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??? ? ??? ? EA ? ( x1 ? x0 , y1 ), EB ? ( x2 ? x0 , y2 ),

??? ? ??? ? 1 ? EA ? EB ? ( x1 ? x0 )( x2 ? x0 ) ? y1 y2 ? ( x1 ? x0 )( x2 ? x0 ) ? ( x1 ? 2)( x2 ? 2) 3 1 20 故 ( x1 ? x0 )( x2 ? x0 ) ? ( x1 ? 2)( x2 ? 2) ? 3 9 20 即: 3( x1 ? x0 )( x2 ? x0 ) ? ( x1 ? 2)( x2 ? 2) ? 3 20 2 ……………② ?4x1 x2 ? (3x0 ? 2)( x1 ? x2 ) ? (3x0 ? 4) ? 3
将①代入椭圆 c 的方程 2 x2 ? 3 y 2 ? 24 ? 0 并整理得 :

3x 2 ? 4 x ? 20 ? 0
由根与系数的关系知

4 ? x1 ? x2 ? ? ? 3 ………………………④ ? 20 ?x ? x ? ? 1 2 ? 3 ?
将④代入②得 ?

80 4 20 2 ? (3x0 ? 2) ? ? (3x0 ? 4) ? 3 3 3

2 即 : 3x0 ? 4 x0 ? 32 ? 0

故 (3x0 ? 8)( x0 ? 4) ? 0? x0 ? ? 或 x0 ? 4 ? 2 3 (不合题意 ,舍去 ) 综上所述 :存在点 E (? , 0) 满足条件 .

8 3

8 3

**3.已知椭圆

x2 y2 ? ? 1 两焦点分别为 F1、F2,P 是椭圆在第一象限弧上一点,并满足 2 4

PF1 ? PF2 ? 1 ,过 P 作倾斜角互补的两条直线 PA、PB 分别交椭圆于 A、B 两点.
(1)求 P 点坐标; (2)求证直线 AB 的斜率为定值; (3)求△ PAB 面积的最大值。 解: (1)由题可得 F1 (0, 2 ) , F2 (0 ? 2 ) ,设 P0 ( x0 , y 0 ) ( x0 ? 0, y 0 ? 0) 则 PF1 ? (? x0 , 2 ? y0 ) , PF1 ? (? x0 ,? 2 ? y0 ) ,
2 2 ∴ PF1 ? PF2 ? x0 ? (2 ? y0 ) ? 1 ,∵点 P( x0 , y0 ) 在曲线上,则

2 2 x0 y2 4 ? y0 2 ,从 ? 0 ? 1 ,∴ x0 ? 2 4 2

2 4 ? y0 2 ? (2 ? y0 ) ? 1 ,得 y0 ? 2 .则点 P 的坐标为 (1, 2 ) . 2 (2)由题意知,两直线 PA、PB 的斜率必存在,设 PB 的斜率为 k (k ? 0) ,则 BP 的直线方程



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? y ? 2 ? k ( x ? 1) ? 为:y ? 2 ? k ( x ? 1) .由 ? x 2 y 2 得 (2 ? k 2 ) x 2 ? 2k ( 2 ? k ) x ? ( 2 ? k ) 2 ? 4 ? 0 , ?1 ? ? ?2 4 2k ( k ? 2 ) 2k ( k ? 2 ) k 2 ? 2 2k ? 2 , x ? ? 1 ? 设 B( xB , y B ) ,则 1 ? x B ? , B 2 ? k2 2 ? k2 2 ? k2 k 2 ? 2 2 k ? 2) 4 2k 8k 同理可得 x A ? ,则 x A ? x B ? , y A ? yB ? ?k ( x A ? 1) ? k ( xB ? 1) ? . 2 ? k2 2 ? k2 2 ? k2 y ? yB 所以:AB 的斜率 k AB ? A ? 2 为定值. x A ? xB
(3)设 AB 的直线方程: y ? 2 x ? m .
y A F1 B O F2 x P

? y ? 2x ? m ? 由 ? x2 y 2 ,得 4 x 2 ? 2 2mx ? m 2 ? 4 ? 0 , ?1 ? ? ?2 4 由 ? ? (2 2m) 2 ? 16(m2 ? 4) ? 0 ,得 ? 2 2 ? m ? 2 2

P 到 AB 的距离为 d ?
则 S ?PAB
?

| m| , 3 |m| 1 1 1 ? | AB | ?d ? (4 ? m 2 ) ? 3 ? 2 2 2 3

1 2 1 m2 ? m2 ? 8 2 m (? m 2 ? 8) ? ( ) ? 2。 8 8 2

当且仅当 m ? ?2 ? ? 2 2 ,2 2 取等号 ∴三角形 PAB 面积的最大值为 2

?

?

总结归纳 解决圆锥曲线综合题,关键是熟练掌握每一种圆锥曲线的定义、标准方程、图形 与几何性质,注意挖掘知识的内在联系及其规律,通过对知识的重新组合,以达 到巩固知识、提高能力的目的 (1)对于求曲线方程中参数的取值范围问题,需构造参数满足的不等式,通过解 不等式(组)求得参数的取值范围;或建立关于参数的目标函数,转化为求函数的 值域 (2)对于圆锥曲线的最值问题,解法常有两种 当题目的条件和结论能明显体现 几何特征及意义, 可考虑利用数形结合法解;当题目的条件和结论体现一种明确 的函数关系,则可先建立目标函数,再求这个函数的最值 (3)定点与定值问题的处理方法有两种:从特殊入手,求出定点与定值,再证明 这个值(点)与变量无关;直接推理计算,并在计算的过程中消去变量,从而得 到定值(定点) 。
.高考链接 **4.(08 山东卷 22)如图,设抛物线方程为 x2=2py(p>0),M 为 直线 y=-2p 上任意一点,过 M 引抛物线的切线,切点分别为 A,B. (Ⅰ)求证:A,M,B 三点的横坐标成等差数列; (Ⅱ)已知当 M 点的坐标为(2,-2p)时, AB ? 4 10 ,求此时

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抛物线的方程; (Ⅲ)是否存在点 M,使得点 C 关于直线 AB 的对称点 D 在抛物线 x2 ? 2 py( p>0) 上,其 中, 点 C 满足 OC ? OA ? OB(O 为坐标原点) .若存在, 求出所有适合题意的点 M 的坐标; 若不存在,请说明理由.
2 x12 x2 分析: (Ⅰ)证明:由题意设 A( x1 , ), B( x2 , ), x1<x2 , M ( x0 , ?2 p). 2p 2p

??? ?

??? ? ??? ?

由 x2 ? 2 py 得 y ?

x x2 ,则 y? ? , p 2p

所以 kMA ?

x1 x , kMB ? 2 . p p x1 ( x ? x0 ), p x2 ( x ? x0 ). p


因此直线 MA 的方程为 y ? 2 p ?

直线 MB 的方程为 y ? 2 p ?

所以

x12 x ? 2 p ? 1 ( x1 ? x0 ), 2p p
2 x2 x ? 2 p ? 2 ( x2 ? x0 ). 2p p
2 x1 ? x2 ? x1 ? x2 ? x0 , 2 2 x1 ? x2 ,即 2x0 ? x1 ? x2 . 2



由①、②得

因此

x0 ?

所以 A、M、B 三点的横坐标成等差数列. (Ⅱ)解:由(Ⅰ)知,当 x0=2 时, 将其代入①、②并整理得:

x12 ? 4x1 ? 4 p2 ? 0,
2 x2 ? 4x2 ? 4 p2 ? 0,

所以 x1、x2 是方程 x2 ? 4x ? 4 p2 ? 0 的两根, 因此 x1 ? x2 ? 4, x1 x2 ? ?4 p ,
2

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又 k AB

2 x2 x2 ? 1 2 p 2 p x1 ? x2 x0 ? ? ? , x2 ? x1 2p p

所以 k AB ?

2 . p

由弦长公式得

AB ? 1 ? k 2 ( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 ? 1 ?
又 AB ? 4 10 , 所以 p=1 或 p=2,

4 16 ? 16 p 2 . 2 p

因此所求抛物线方程为 x2 ? 2 y 或 x2 ? 4 y. (Ⅲ)解:设 D(x3,y3),由题意得 C(x1+ x2, y1+ y2), 则 CD 的中点坐标为 Q (

x1 ? x2 ? x3 y1 ? y2 ? y3 , ), 2 2

设直线 AB 的方程为 y ? y1 ?

x0 ( x ? x1 ), p
x1 ? x2 y1 ? y2 , ) 也在直线 AB 上, 2 2

由点 Q 在直线 AB 上,并注意到点 ( 代入得 y3 ?

x0 x3 . p

2 若 D(x3,y3)在抛物线上,则 x3 ? 2 py3 ? 2x0 x3 ,

因此 x3=0 或 x3=2x0. 即 D(0,0)或 D(2 x0 ,
2 2 x0 ). p

(1)当 x0=0 时,则 x1 ? x2 ? 2x0 ? 0 ,此时,点 M(0,-2p)适合题意.
2 x12 ? x2 2 x12 ? x2 2p ? ? , 2 x0 4 px0

2 x12 ? x2 (2)当 x0 ? 0 ,对于 D(0,0),此时 C (2 x0 , ), kCD 2p

又 k AB ?

x0 , AB⊥CD, p
2 x0 x12 ? x2 x2 ? x2 ? ? 1 2 2 ? ?1, p 4 px0 4p

所以 k AB ? kCD ?

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2 2 即 x1 ? x2 ? ?4 p2 , 矛盾.
2 2 2 x0 x 2 ? x2 ), 因为 C (2 x0 , 1 ), 此时直线 CD 平行于 y 轴, p 2p

对于 D(2 x0 ,

又 k AB ? 所以

x0 ? 0, p
直线 AB 与直线 CD 不垂直,与题设矛盾,

所以 x0 ? 0 时,不存在符合题意的 M 点. 综上所述,仅存在一点 M(0,-2p)适合题意.

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