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6.1第六章 数列


第六章

数列

6.1

数列的概念与表示

第六章

6.1

数列的概念与表示
考情概览 知识梳理 核心考点 学科素养

-3-

考纲要求

题 五年考题 命题角度分析 型 统计

本节内容高考偶尔考查,题型主要 有:依据数列前几项写数列的通项;由数 列的递推关系求数列的某一项;已知数 列的前 n 项和 Sn 求通项 an.

1.了解数列的概 念和几种简单的表示 方法(列表、图象、通 选 项公式). 择 2.了解数列是自变量 题 为正整数的一类特殊 函数.

2013 全 国Ⅰ,理 12

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知识梳理 双击自测

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1.数列的概念 (1)数列的定义:按照一定顺序 排列的一列数称为数列,数列中的每一个 数叫做这个数列的项.数列中的每一项都和它的序号有关,排在第一位的数 称为这个数列的第 1 项,通常也叫做 首项 . (2)数列的分类:
分类标准 项数 类型 有穷数列 无穷数列 递增数列 项与项间的大小关系 递减数列 常数列 满足条件 项数 有限 项数 无限 an+1 > an an+1

< an

其中 n∈N*

an+1=an

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(3)数列的通项公式:如果数列{an}的第 n 项与 序号 n 之间的关系可以 用一个式子来表示,那么这个关系式叫做这个数列的通项公式. (4)数列的前 n 项和:在数列{an}中,Sn=a1+a2+…+an 叫做数列{an}的前 n 项和. (5)数列的表示方法有:列表法、图象法、公式法. 2.数列的递推公式 如果已知数列{an}的首项(或前几项),且 任一项 an 与它的 前一项 an-1 (n≥2)(或前几项)间的关系可用一个公式来表示,那么这个 公式叫做数列{an}的递推公式. 3.数列的函数特征:数列可以看成是定义域为正整数集 N*(或它的有限 子集{1,2,…,n})的函数 an=f(n)当自变量按照由小到大的顺序依次取值时所 对应的一列函数值. 4.数列{an}的 an 与 Sn 的关系: S1 , = 1, 若数列{an}的前 n 项和为 Sn,则 an= Sn-Sn-1 , ≥ 2.

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1.下列结论正确的画“√”,错误的画“×”. (1)数列 1,2,3,4,5,6 与数列 6,5,4,3,2,1 表示同一数列. ( (2)数列可看作是函数,项数看作函数的自变量,项看作函数值. ( (3)数列若用图象表示,从图象上看都是一群孤立的点. ( (4)一个确定的数列,它的通项公式只有一个. ( (5)任何一个数列不是递增数列,就是递减数列. ( (6)通项公式为 an=2n-1(n∈N*)的数列{an}的前 4 项分别是 1,3,7,15. (

) ) ) ) ) )

关闭

(1)× (2)√ (3)√ (4)× (5)× (6)√

答案

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2.已知数列{an}为 2,0,2,0,…,则下列各式不可以作为数列{an}的通项公 式的是( )
π 2

A.an=1+(-1)n+1 B.an=2sin C.an=1-cos nπ D.an= 2,为奇数, 0,为偶数
关闭

若 an=2sin

π π 3π ,则 a1=2sin =2,a2=2sin π=0,a3=2sin =-2,a4=2sin 2π=0. 2 2 2
关闭

B
解析 答案

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1 2 3 4 5
1 1 1 1 3 5 7 9

3.前 5 项分别为-1, ,- , ,- 的数列的一个通项公式是

.

1 an=(-1)n· 2-1

关闭

答案

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1 2 3 4 5

4.若数列{an}的前 n 项和 Sn=n2+3n,则 a6+a7+a8=

.

关闭

a6+a7+a8=S8-S5=88-40=48.
关闭

48

解析

答案

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1 2 3 4 5
1 ,a =2,则 1- 8

5.数列{an}满足 an+1=

a1=

.

关闭

由 a8=2 及 an+1= 得 a10= .
1 2

1 , 1- 1 2

同理 a9=-1,a8=2,a7= ,… 所以数列{an}是周期为 3 的数列. 所以1 a1=a10= .
2
1 2
关闭

解析

答案

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1 2 3 4 5

自测点评 1.数列是按一定顺序排列的一列数,因此,一个数列不仅
与构成它的“数”有关,而且还与这些“数”的排列顺序有关. 2.数列的项是指数列中某一确定的数,而项数是指数列的项对应的位 置序号.求数列的通项公式就是找出数列的项 an 与项数 n 的函数关系式.根 据数列的前几项求出的数列的通项公式不唯一. 3.数列不仅有递增、递减数列,还有常数列、摆动数列. 4.已知 Sn 求 an,要对 n=1 和 n≥2 两种情况进行讨论.

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考点一 考点二 考点三

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考点一由数列的前几项求数列的通项
1.(2014 陕西西安五校联考)下列公式可作为数列{an}:1,2,1,2,1,2,…的 通项公式的是( ) A.an=1 C.an=2(-1) +1 B.an= 2 -1 π (-1) +3 sin D.an= 2 2


关闭

由 an=2- sin

π 可得 a1=1,a2=2,a3=1,a4=2,…,故选 C. 2
关闭

C
解析 答案

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2.写出下列数列的一个通项公式: (1)1,-3,5,-7,9,…; (2)1,0, ,0, ,0, ,…; (3)0.9,0.99,0.999,0.999 9,…; (4)1,
√2 1 √2 1

1 3

1 5

1 7

2 2 4 4

, ,

, ,….
关闭

解:(1)an=(-1)n+1(2n-1).
1-(-1 ) (2)an= . 2 1 (3)an=1- . 10


(4)an=(√2)1-n.

答案

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方法总结 根据所给数列的前几项求其通项时,需仔细观察分析,
抓住其几方面的特征:分式中分子、分母的各自特征、相邻项的变化特征、 拆项后的各部分特征、符号特征.应多进行对比、分析,从整体到局部多角 度观察、归纳、联想.

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考点二由 an 与 Sn 的关系求通项 an
例题已知下面数列{an}的前 n 项和 Sn,求数列{an}的通项公式: (1)Sn=2n2-3n;(2)Sn=3n+b.
解:(1)当 n=1 时,a1=S1=2-3=-1; 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=(2n2-3n)-[2(n-1)2-3(n-1)]=4n-5, 由于 a1 也适合此等式,故 an=4n-5. (2)当 n=1 时,a1=S1=3+b; 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=(3n+b)-(3n-1+b)=2· 3n-1. 当 b=-1 时,a1 适合此等式; 当 b≠-1 时,a1 不适合此等式. 故当 b=-1 时,an=2· 3n-1; 3 + , = 1, 当 b≠-1 时,an= 2·3 -1 ,n ≥ 2.
关闭

答案

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方法总结

1 ,n = 1, an 与其前 n 项和 Sn 的关系是 an= 当 n=1 - -1 ,n ≥ 2.

时,若 a1 适合 Sn-Sn-1,则 n=1 的情况可并入 n≥2 时的通项 an;当 n=1 时,若 a1 不适合 Sn-Sn-1,则用分段函数的形式表示.

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对点练习 已知数列{a }的前 n 项和 S =3n -2n+1,则其通项公式
n n 2



.

关闭

当 n=1 时,a1=S1=3×12-2×1+1=2; 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=3n2-2n+1-[3(n-1)2-2(n-1)+1]=6n-5, 显然当 n=1 时,a1 不满足上式. 故数列{an}的通项公式为 2,, = =1 1, , 2 a = ann = 6-5, ≥ 2 6-5, ≥ 2.
关闭

解析

答案

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考点三由递推关系式求数列的通项公式
考情分析 高考对递推公式的考查难度适中,一般不会出现关于三
项的关系式,也不会要求直接由递推公式求出通项公式,一般是通过变换转 化成特殊的数列求解.常见的命题角度有:(1)形如 an+1=anf(n),求 an;(2)形如 an+1=an+f(n),求 an;(3)形如 an+1=Aan+B(A≠0,且 A≠1),求 an.

类型一 形如 an+1=anf(n),求 an
在数列{an}中,已知 a1=1,nan-1=(n+1)an(n≥2),求数列{an}的通项公式.
解:an=
-1 -2 3 2 2 -1 -2 · · ·…· 3 · 2 · a 1= × × ×…× × ×1= . 2 1 +1 4 3 +1 1 -1 -2 -3 2 (n∈N*). +1
关闭

又∵a1 也满足上式, ∴an=

答案

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类型二 形如 an+1=an+f(n),求 an
在数列{an}中,已知 a1=2,an+1=an+3n+2,求数列{an}的通项公式.

关闭

解:∵an+1-an=3n+2, ∴an-an-1=3n-1(n≥2). ∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1= 当 n=1 时,a1= ×(3×1+1)=2 符合公式, ∴an= n2+ .
3 2 2 1 2 (3+1) (n≥2). 2

答案

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类型三 形如 an+1=Aan+B(A≠0,且 A≠1),求 an
已知数列{an}满足 a1=1,an+1=3an+2,求数列{an}的通项公式.

关闭

解:∵an+1=3an+2, ∴an+1+1=3(an+1). ∴
+1 +1 =3. +1

∴数列{an+1}为等比数列,且公比 q=3. 又 a1+1=2,∴an+1=2· 3n-1. ∴an=2· 3n-1-1.

答案

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方法总结 数列的递推关系是给出数列的一种方法,根据给出的初
始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项.由递推关系求数列的通项 公式,常用的方法有:①求出数列的前几项,再归纳猜想出数列的一个通项公 式;②将已知递推关系式整理、变形,变成等差、等比数列;③若递推关系为 an+1=an+f(n)或 an+1=f(n)· an,则可以分别通过累加、累乘法求得通项公式,或 用迭代法求得通项公式.

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对点练习 根据下列条件,确定数列{a }的通项公式:
n

(1)a1=2,an+1=an+ln 1 + (2)a1=1,an=

-1 a (n≥2). n-1
1

1

;

解:(1)(方法一)∵an+1=an+ln 1 + ∴an+1-an=ln

,

+1 . ∴an-an-1=ln , -1 -1 2 an-1-an-2=ln ,…,a2-a1=ln . 1 -2 -1 2 ∴an-a1=ln +ln +…+ln =ln 1 -1 -2

n.

又 a1=2,∴an=ln n+2.

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(方法二)∵an+1=an+ln 1 + ∴an+1-an=ln 又 a1=2,
+1 .

1

,

∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=ln 即 an=ln n+2.
-1 a (n≥2), n-1 -2 1 ∴an-1= an-2,…,a2= a1. 2 -1

-1 2 +ln +…+ln +2=ln 1 -1 -2

n+2,

(2)∵an=

以上(n-1)个式子相乘,得 an=a1·2 ·…· 又 a1=1,∴an= .
1

1

1 2 -1 =a1· · ·…· -1 2 3

=

1

= .

1

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思想方法 核心规律

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-24-

满分策略

用函数的观点解决数列问题
数列是一种特殊的函数,在函数的观点下指导数列学习,通过函数的 思想观点去直观地认识数列的本质是高考能力立意的指导思想.数列的通 项及前 n 项和的作用在于刻画 an 及 Sn 与 n 的函数关系,数列的性质可以通 过函数的性质反映出来,这为数列问题的解决提供了一个新的方向.在数列 中,求 an 和 Sn 的最小值问题都可以通过求相应函数的最值的方法求得,通 常利用函数的单调性,要注意自变量不连续. 已知数列{an}. (1)若 an=n2-5n+4, ①数列{an}中有多少项是负数? ②n 为何值时,an 取最小值?并求出最小值. (2)若 an=n2+kn+4,且对于 n∈N*,都有 an+1>an,求实数 k 的取值范围.

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思想方法 核心规律

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满分策略

解:(1)①由 n2-5n+4<0,解得 1<n<4. ∵n∈N*,∴n=2,3. ∴数列{an}中有两项是负数,即为 a2,a3. ②∵an=n -5n+4=
2

5 2 2

? 图象的对称轴方程为 n= ,

9 4

5 2

又 n∈N*,∴当 n=2 或 n=3 时,an 有最小值,其最小值为 a2=a3=-2. (2)由 an+1>an 知,该数列是一个递增数列.又因为通项公式 an=n2+kn+4, 可以看作是关于 n 的二次函数,考虑到 n∈N*,所以- < ,即得 k>-3.
2 3 2

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满分策略

对点练习 1 设 a =-3n +15n-18,则数列{a }中的最大项的值是(
n 2 n

)

A.

16 3

B.

13 3

C.4

D.0

关闭

5 an=-3 2

2

+ ,由二次函数性质,得当 n=2 或 3 时,an 最大,最大项的值为 0.
关闭

3 4

D
解析 答案

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满分策略

对点练习 2 已知数列{a }是递增数列,且对于任意的 n∈N ,a =n +λn
n * n 2

恒成立,则实数 λ 的取值范围是

.

关闭

设 f(n)=an=n2+λn,其图象的对称轴为直线 n=- ,要使数列{an}为递增数列,只需使定义在 正整数上的函数 f(n)为增函数,故只需满足- < ,即 λ>-3. 2 2 (-3,+∞)
3
关闭

2

解析

答案

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满分策略

1.求数列通项或指定项,通常用观察法,观察出前几项与项数的关系,抽象 出 an 与 n 的关系,对于正、负项相间的数列,一般用(-1)n 或(-1)n+1 来区分奇偶 项的符号. 1 ,n = 1, 2.由 Sn 求 an 时,利用 an= 求出 an 后,要注意验证 a1 是否适 - -1 ,n ≥ 2 合求出的 an 的关系式. 3.已知递推关系求通项,一般有三种常见思路: (1)算出前几项,再归纳、猜想; (2)形如“an+1=pan+q”这种形式通常转化为 an+1+λ=p(an+λ),由待定系数 法求出 λ,再化为等比数列; (3)递推公式化简整理后,若为 an+1-an=f(n)型,则采用累加法;若为 +1=f(n)


型,则采用累乘法. 4.求数列最大项的方法:①判断{an}的单调性;②解不等式组

≥ -1 , ≥ +1 .

第六章
思想方法 核心规律

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满分策略

1.在利用函数观点研究数列时,一定要注意自变量的取值是正整数. 2.数列的通项公式不一定唯一. 3.注意 an=Sn-Sn-1 中需 n≥2.


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