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2013高考数学一轮同步训练(文科) 2.8幂函数与二次函数


第八节
强化训练

幂函数与二次函数

1.在函数 y ? 12 ? y ? 2 x 2 ? y ? x 2 ? x? y ? 3x 中,幂函数的个数为(

x

) D.3

A.0 答案:B

B.1

C.2

/>解析:显然,根据幂函数可知,只有 y ? 12 是幂函数.

x

2.函数 y=|x| n (n ? N,n>2)的图象只可能是(

1

)

答案:C 解析:显然,y=|x| n (n ? N,n>2)是偶函数,故可排除 A 和 B.又 n ? N,n>2,所以应选 C.
1

3.若 f ( x) ? x 2 ? ax ? 1 有负值,则实数 a 的取值范围是( A. a ? ?2 C.a>2 或 a<-2 答案:C 解析:因为 f ( x) ? x 2 ? ax ? 1 有负值, ∴ ? ? a2 ? 4 ? 0 . ∴a>2 或 a<-2. B.-2<a<2 D.1<a<3

)

4.设 ? ? { ?1?1? ? 3 },则使函数 y ? x? 的定义域为 R 且为奇函数的所有 ? 的值 为 答案:1,3 .

1 2

解析:当 ? ? ?1 及 ? ?

1 时 ? y ? x? 的定义域都不是 R,当 ? ? 1 及 ? ? 3 时 ? y ? x? 的定义 2

域都是 R,并且都是奇函数. 5.函数 f ( x) ? x 2 ? 4 x ? 4 在闭区间 ?t ? t ? 1? (t ? R)上的最小值记为 g(t). (1)试写出 g(t)的函数关系式; (2)作出 g(t)的大致图象,并写出 g(t)的最小值. 解: (1) f ( x) ? x 2 ? 4 x ? 4 ? ( x ? 2) 2 ? 8 .

当 t>2 时,f(x)在 ?t ? t ? 1? 上是增函数. ∴ g (t ) ? f (t ) ? t 2 ? 4t ? 4 ; 当 t ? 2 ? t ? 1? 即 1 ? t ? 2 时,g(t)=f(2)=-8; 当 t+1<2,即 t<1 时,f(x)在区间 ?t ? t ? 1? 上是减函数. ∴g(t)=f (t ? 1) ? t 2 ? 2t ? 7 .

? t 2 ? 2t ? 7? t ? 1? ? 综上可知:g(t)= ? ?8?1 ? t ? 2? ?t 2 ? 4t ? 4? t ? 2? ?
(2)g(t)的大致图象如图所示,由图象易知 g(t)的最小值为-8.

见课后作业 A 题组一 幂函数的图象与性质 1.在下列函数中,定义域和值域不同的函数是( A. y ? x 3 C. y ? x 3 答案:D 解析:因为 y ? x 3 的定义域为 R,值域为 [0? ??) . 2.设 a=0. 7 2 ? b ? 0 . 8 2 ? c ? log 3 0 .7,则( A.c<b<a C.a<b<c 答案:B 解析:∵幂函数 y ? x 2 在 (0? ??) 上是增函数, ∴0<a<b,∵log 3 0 .7<0, ∴c<a<b.
1 1 1 2 5 1

) B. y ? x
?1 2

D. y ? x 3

2

) B.c<a<b D.b<a<c

? ?1 2 ? x ? x ? 0? ? 3.若函数 f(x)= ? ?2? x ? 0? 则 f(f(f(0)))= ? 1 ?( x ? 3) 2 ? x ? 0 ?
答案:1 解析:f(f(f(0)))=f(f(-2))=f( (?2 ? 3) ) ? f (1) ? 1 4.若 (a ? 1)
?1 2
1 2 ? 1 2

.

?1.
.

? (3 ? 2a) 2 ? 则 a 的取值范围是

?1

答案: ( 2 ? 3 )

3 2

解析:令 f ( x) ? x 2 ? 则 f(x)在 (0? ??) 上是减函数,故得

?1

? a ? 1 ? 0? ? 3 2 ? 3 ? 2a ? 0? 解得 3 ? a ? 2 . ?a ? 1 ? 3 ? 2a? ?
5.如图所示,曲线是幂函数 y ? x? 在第一象限内的图象,已知 ? 分别取 ?1?1? ? 2 四个值,则 相应图象依次为 .

1 2

答案: c4 、c 2 、c 3 、c 1 解析:根据幂函数的图象特征知,当 ? 分别取 ?1?1? ? 2 时,相应图象依次为 c4 、c 2 、c 3 、c 1 . 题组二 二次函数的图象与性质 6.已知函数 f ( x) ? x 2 ? bx ? c 且 f(1+x)=f(-x),则下列不等式中成立的是( A.f(-2)<f(0)<f(2) B.f(0)<f(-2)<f(2) C.f(0)<f(2)<f(-2) D.f(2)<f(0)<f(-2) 答案:C 解析:∵f(1+x)=f(-x), ∴ ( x ? 1) 2 ? b( x ? 1) ? c ? x 2 ? bx ? c . )

1 2

∴ x 2 ? (2 ? b) x ? 1 ? b ? c ? x 2 ? bx ? c . ∴2+b=-b,即 b=-1. ∴ f ( x) ? x 2 ? x ? c? 其图象的对称轴为 x ? ∴f(0)<f(2)<f(-2). 7.函数 f ( x) ? 4 x 2 ? mx ? 5 在区间[-2,+ ?) 上是增函数,则 f(1)的取值范围是( A. f (1) ? 25 C. f (1) ? 25 答案:A 解析:由题知 m ? ?2? ∴ m ? ?16 . B.f(1)=25 D.f(1)>25 )

1 . 2

8

∴f (1) ? 9 ? m ? 25 . 8.方程| x 2 ? 2 x | ? a 2 ? 1[a ? (0? ?? )]的解的个数是( A.1 答案:B B.2 C.3 ) D.4

解析:∵ a ? (0? ??)? ∴ a 2 ? 1 ? 1 .∴y=| x 2 ? 2 x |的图象与 y ? a 2 ? 1 的图象总有两个交点. ∴方程有两解.故选 B. 9.已知二次函数 f(x)的二次项系数为 a,满足不等式 f(x)>-2x 的解集为(1,3),且方程 f(x)+6a=0 有两个相等的实根,求 f(x)的解析式. 解:设 f ( x) ? ax 2 ? bx ? c(a ? 0) .∵f(x)>-2x, ∴ ax 2 ? bx ? c ? ?2 x? 即 ax 2 ? (b ? 2) x ? c>0. ∵解集为(1,3),

? a?0 ? a ? 0? ? ? ? b?2 ?1 ? 3 ? ? a ? ?4a ? ?b ? 2? ① ? 3a ? c?② ? ? ? 1? 3 ? c a ?
由于 f(x)=-6a 有两个相等的实根,故 ax 2 ? bx ? c ? 6a ? 0 中 ? ? 0 . ∴ b 2 ? 4a (c ? 6a ) ? 0. ③

联立①②③,故 a ? ? 1 ? b ? ? 6 ? c ? ? 3 ?

5

5

5

∴ f ( x) ? ? 1 x 2 ? 6 x ? 3 .

5

5

5

题组三 幂函数与二次函数的综合应用 10.方程 mx 2 ? 2mx ? 1 ? 0 有一根大于 1,另一根小于 1,则实数 m 的取值范围是 答案: ? 1 ? m ? 0 .

3

解析:令 f ( x) ? mx 2 ? 2mx ? 1? 当 m>0 时,f(1)=3m+1<0, 即 m ? ? 1 ? 舍去.

3

当 m<0 时,3m+1>0,即 m ? ? 1 .

3

∴? 1 ? m ? 0.

3

11.不等式 (a ? 2) x 2 ? 2(a ? 2) x-4<0 对一切 x ? R 恒成立,则 a 的取值范围是 答案:(-2,2] 解析:当 a-2=0, 即 a=2 时,-4<0 恒成立; 当 a ? 2 ? 0 时, ?

.

?

a ? 2 ? 0?

2 ?? ? 4(a ? 2) ? 16(a ? 2) ? 0?

解之得-2<a<2. ∴a 的取值范围是 ?2 ? a ? 2 . 12.设 f ( x) ? ax 2 ? bx ? c? 若 6a+2b+c ? 0? f (1) ? f(3)>0, (1)若 a=1,求 f(2)的值; (2)求证:方程 f(x)=0 必有两个不等实根 x1 、 x2 ? 且 3 ? x1 ? x2 ? 5 . 解:(1)∵6a+2b+c=0,a=1, ∴f(2)=4a+2b+c=-2a=-2. (2)证明:首先说明 a ? 0? ∵ f (1) ? f (3) ? (a ? b ? c)(9a+3b+c)=-(5a+b)(3a+b)>0, 若 a=0,则 f (1) ? f (3) ? ?b 2 ? 0 与已知矛盾,∴ a ? 0 . 其次说明二次方程 f(x)=0 必有两个不等实根 x1 、 x2 ? ∵f(2)=4a+2b+c=-2a,∴若 a>0,二次函数 f ( x) ? ax 2 ? bx ? c 开口向上,而此时 f(2)<0. ∴若 a<0,二次函数 f ( x) ? ax 2 ? bx ? c 开口向下,而此时 f(2)>0.

故二次函数图象必与 x 轴有两个不同交点. ∴二次方程 f(x)=0 必有两个不等实根 x1 、 x2 . (或利用 ? ? b 2 ? 4ac ? b 2 ? 4a (6a ? 2b) ? b 2 ? 8ab ? 24a 2 ? (b ? 4a ) 2 ? 8a 2 ? 0 来说明) ∵ a ? 0? ∴将不等式-(5a+b)(3a+b)>0 两边同除以 ? a 2 得 ( b ? 3)( b ? 5) ? 0?

a

a

∴ ?5 ? b ? ?3 .

a

∴ 3 ? x1 ? x2 ? ? b ? 5 .??

a


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