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汕头市2010-2011学年度普通高中毕业班统考文科数学答案


汕 头 市 2010— — 2011 学 年 高 中 毕 业 班 统 考
文科数学参考答案及评分参考意见 选择题: 一、选择题:本小题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 题号 答案 1 B 2 C 3 C 4 A 5 A 6 B 7 C 8 A 9 B 10 C

二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 填空题

: 11.20; 12.6 ;
1 n 2 (n + 1)2 13. ; 14.. 。 9 4

解答提示: 解答提示:
1.由 a 2 ? 3a + 2 = 0 且 a ? 1 ≠ 0 得 a = 2 ,选 B;
2.由题意 得 f ( x) = cos 2 x + 3 sin 2 x = 2 sin(2 x + ),∴T = π ,选 C. 6 a5 + a7 a1 + a11 10 3. S11 = × 11 = × 11 = × 11 = 55 ,选 C. 2 2 2 4.解析:由所给三视图可知该几何体为一个直三棱柱,且底面为直角三角形,直角边长 :

π

分别为 3 和 4,斜边长为 5,三棱柱的高为 5,所以表面积为 3 × 4 + (3 + 4 + 5) × 5 = 72 ,选
A 5. a ? b + b ? c + a ? c = a ? b ? cos1200 + b ? c ? cos1200 + a ? c cos1200 = ? 6.由函数的图像可知选 B 7.设 11 时到 12 时的销售额为 x 万元,依设有 2.5 0.10 = ? x = 10 ,选 C x 0.40 3 2

选A

8.①为假命题,②为真命题,在③中 n 可以平行于 β ,也可以在 β 内,为假命题,④中,

m 、 n 也可以不互相垂直,为假命题;故选 A。 4 所以 tan A =2; 又因为 tan B 9.因为 tan A 是以 ?4 为第三项, 为第七项的等差数列的公差, 1 是以 为第三项,9 为第六项的等比数列的公比。所以 tan B =3, 3 tan A + tan B tan C = ? tan ( A + B ) = ? = 1 ,可见 A,B,C 都是锐角,这个三角形是锐角 1 ? tan A tan B 三角形,选 B b 10.观察图像,可知 f ( x) 在 (?∞,0] 上是减函数,在 [0,+∞) 上 4
?2 a + b < 4 ? 是增函数,由 f (2a + b) < 1 = f (4) ,可得 ?a > 0 ,画出 ?b > 0 ?
, 以 (a, b) 为坐标的可行域(如图所示阴影部分,不含边界)

?2

O
?2

2

a

1



b+2 可看成 (a, b) 与 (?2,?2) 连线的斜率,可求得 C 为所求,故选 C。 a+2 11.将高三(1)班 56 人用系统抽样抽取 4 人,每部分应为 14 人,故所选编号均间隔 14, 故还有一位同学编号 20。

12.由已知 a ⊥ b ? a ib = 0 ? ( x ? 1,2) ? (4, y ) = 0 ? 2 x + y = 2 则 9 x + 3 y = 3 2 x + 3 y ≥ 2 3 2 x ? 3 y = 2 3 2 x + y = 2 3 2 = 6,
1 , y = 1 时取得等号. 2 4 1 2 13. y′ = x 2 + 1, 切线方程y ? = 2 ? ( x ? 1) ,与两两坐标轴的交点是 ( , 0), (0, ? ) , 所求三角形 3 3 3

当且仅当 3 2 x = 3 y , 即 x =

1 1 2 1 面积为 × × ? = 。 2 3 3 9 14. 可推测 1 + 2 + 3 + ... + n = 13 + 23 + 33 + ... + n3 = (
n(n + 1) , 2

n(n + 1) 2 n 2 (n + 1) 2 n 2 (n + 1)2 ) = ,故填 。 2 4 4

三、解答题:(本大题共 6 小题,满分 80 分) 解答题:

15.解: (Ⅰ)由 ( x ? 1) ≤ a 2 , (a > 0) ,得 1 ? a ≤ x ≤ 1 + a, A = {x | 1 ? a ≤ x ≤ 1 + a},
2



x?2 > 0 得 x < ?2或x > 2, B = {x | x < ?2或x > 2}, x+2
∴0 < a ≤ 1

…… …… 4 分
…… …… 6 分

∵ A ∩ B = φ ,∴ ?2 ≤ 1 ? a且1 + a ≤ 2(a > 0),

x?2 且 x < ?2或x > 2, , …… 7 分 x+2 x?2 ?x?2 x?2 x+2 ∴ f ( x) + f (? x) = lg + lg = lg( × ) = lg 1 = 0 …… …… 9 分 x+2 ?x+2 x+2 x?2

(Ⅱ)证明:∵ f ( x) = lg

∴ f (? x) = ? f ( x),∴ f ( x) 为奇函数, ∴ f (x) 的图象关于原点对称。

…… …… 10 分 …… …… 12 分

16.解:

x x x x 1 2x 3 2x ( ) f ( x) = a ? b = sin cos + 3 cos cos = sin Ⅰ + (1 + cos ) 3 3 3 3 2 3 2 3 ……3 分 1 2x 3 2x 3 2x π 3 = sin + cos + == sin( + ) + 2 3 2 3 2 3 3 2 令 2kπ ?
2x π π 5π π + ≤ 2kπ + ,解得, 3kπ ? ≤ x ≤ 3kπ + , (k ∈ Z ) . ……5 分 2 3 3 2 4 4 5π π 故函数 f ( x) 的单调递增区间为 [3kπ ? ,3kπ + ], (k ∈ Z ) . …… ……6 分 4 4

2

π

(Ⅱ) ∵ b 2 = ac, cos x =


a 2 + c 2 ? b 2 a 2 + c 2 ? ac 2ac ? ac 1 = ≥ = . …… …… 8 分 2ac 2ac 2ac 2

1 π π 2 x π 5π ≤ cos x < 1, < x ≤ ,∴ < 0 + ≤ , 2 3 3 3 3 9
π
3 < sin( 2x π + ) ≤1, 3 3

∴ sin

…… …… 10 分

∴ 3 < sin(

2x π 3 3 3 + )+ ≤ 1+ 即 f (x) 的值域为 ( 3 ,1 + ]. 3 3 2 2 2

π 3 综上所述, x ∈ (0, ], f ( x) 的值域为 ( 3 ,1 + ]. 3 2
17.解:
(I)方片 4 用 4′表示,则甲乙二人抽到的牌的所有情况为:

…… …… 12 分

(2,3)(2,4)(2,4′)(3,2)(3,4)(3,4′)(4,2)(4,3)(4,4′)(4′, , , , , , , , , ,
2)(4′,3)(4′,4)共 12 种不同的情况 …… …… 5 分 , ,

(Ⅱ)甲抽到 3,乙抽到的牌只能是 2,4,4′, 2 因此乙抽到的牌的数字大于 3 的概率为 …… …… 9 分 3 (Ⅲ)甲抽到的牌比乙大,有(4,2) 4,3) 4′,2) 4′,3) 3,2)共 5 种情况。…… 11 ( ( ( (


甲胜的概率为 P = 1 ∵
5 7 ,乙胜的概率为 P2 = , 12 12

E H G B C E F G B M C
图2

D F

5 7 < ,所以此游戏不公平 …… 14 分 12 12

18.解: (I)证法一:取 BE 的中点 H,连结 HF、GH, (如图 1)
∵G、F 分别是 EC 和 BD 的中点 ∴HG//BC,HF//DE,……………………………2 分 又∵ADEB 为正方形 ∴DE//AB,从而 HF//AB ∴HF//平面 ABC,HG//平面 ABC, HF∩HG=H, ∴平面 HGF//平面 ABC ∴GF//平面 ABC……………………………………5 分 证法二:取 BC 的中点 M,AB 的中点 N 连结 GM、FN、MN (如图 2) ∵G、F 分别是 EC 和 BD 的中点

A
图1

D

1 BE, 2 ∴ …………………2 分 1 NF // DA, 且NF = DA 2 GM // BE , 且GM =
又∵ADEB 为正方形 ∴GM//NF 且 GM=NF ∴BE//AD,BE=AD

N

A

3

∴MNFG 为平行四边形 ∴GF//MN,又 MN ? 平面ABC , ∴GF//平面 ABC……………………………………5 分 证法三:连结 AE, ∵ADEB 为正方形, ∴AE∩BD=F,且 F 是 AE 中点,…………………2 分 ∴GF//AC, 又 AC ? 平面 ABC, ∴GF//平面 ABC……………………………………5 分 (Ⅱ)∵ADEB 为正方形,∴EB⊥AB,∴GF//平面 ABC………………………………5 分 又∵平面 ABED⊥平面 ABC,∴BE⊥平面 ABC …………7 分 ∴BE⊥AC 又∵CA2+CB2=AB2 ∴AC⊥BC, ∵BC∩BE=B, ∴AC⊥平面 BCE ……………………………………9 分 (Ⅲ)连结 CN,因为 AC=BC,∴CN⊥AB, …………………………10 分 又平面 ABED⊥平面 ABC,CN ? 平面 ABC,∴CN⊥平面 ABED。 ………………11 分 ∵三角形 ABC 是等腰直角三角形,∴ CN = ∵C—ABED 是四棱锥, ∴VC—ABED=

1 1 AB = , 2 2

………………………… 12 分

1 1 1 1 S ABED ? CN = × 1× = 3 3 2 6

……………………14 分

19.解:设 B 型号电视机的投放金额为 x 万元 (1 ≤ x ≤ 9) ,农民得到的补贴为 y 万元,则
A 型号的电视机的投放金额为 (10 ? x) 万元,由题意得

1 2 2 1 (10 ? x) + ln x = ln x ? x + 1……… 7分 10 5 5 10 2 1 y'= ? …………………… 8分 5 x 10 y= 令 y'= 0得x = 4 当 x ∈ [1, 4) 时, y ' > 0 ;当 x ∈ (4,9] ,时, y ' < 0 …… …… 10 分
2 所以当 x = 4 时, y 取得最大值, ymax = ln 4 ? 0.4 + 1 ≈ 1.2 …… …… 12 分 5

故厂家投放 A、B 两种型号的电视机的金额分别是 6 万元和 4 万元,农民得到的补贴最 多,最多补贴约 1.2 万元。

…… …… 14 分

4

20.解:
?b = 2n (1)由f '( x) = 2ax + b ∴ ? 2 ?16n a ? 4nb = 0 1 1 解之得a = , b = 2n, 即f ( x) = x 2 + 2nx n ∈ N *) ( ……… 4分 2 2 (2)由条件得 1 1 1 1 = + 2n,∴ ? = 2n, 累加得 an +1 an an +1 an

1 1 2 + (n ? 1) 2 ? = 2 + 4 + 6 + ? + (n ? 1) = 2 (n ? 1) = n 2 ? n an 4 2

?

1 1 1 4 = ( n ? ) 2 ? an = = (n ∈ N * )……… 9分 1 2 (2n ? 1) 2 an 2 (n ? ) 2 4 1 1 ) = 2( ? (2n ? 1)(2n + 1) 2n ? 1 2n + 1

(3)

bn = an an +1 =

Tn = b1 + b2 + ? + bn = a1a2 + a2 a3 + ? + an an +1
1 1 1 1 1 1 = 2 [ (1 ? ) + ( ? ) + ? + ( ? ) ] = 2(1 ? ) < 2??12分 3 3 5 2n ? 1 2n + 1 2n + 1 1 4 4 ∵ 2n + 1 ≥ 3, 故2(1 ? ) ≥ ∴ ≤ Tn < 2……………14分 2n + 1 3 3

5


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