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上海外国语大学附属外国语学校2016届高三上学期期中考试数学试题


上海外国语大学附属中学高三年级数学期中试卷 一、填空题(每小题 4 分,满分 56 分) 1、若 (1 ? ax )5 的展开式中含有 x 的系数为 ?80, 则实数 a ? __________.
3

2、一个圆锥的侧面展开图是圆心角为 __________. 3、 a ? ?

4 ? , 半 径 为 18 的 扇 形 ,

则 这 个 圆 锥 的 体 积 为 3

1 是函数 f ( x ) ? ln(e x ? 1) ? ax 为偶函数的__________条件. 2

4、在一个口袋中装有 5 个白球和 3 个黑球,这些球除了颜色外完全相同。从中取出 3 个球, 那么这三个球的颜色不完全一样的概率为__________. 5、关于 x 的不等式 log2 ( x2 ? 1) ? log2 (?2 x) 的解集为__________. 6、函数 f ( x) ? cos2 x ? sin x 在区间 [ ?

? ?

, ] 上的最小值是__________. 4 4

7、已知向量 a ? ( 3,1), b 是不平行于 x 轴的单位向量,且 a ? b ? 8、数列 an 满足 a1 ?

?

?

? ?

? 3, 则 b ? __________.

? ?

1 6 , an ? an?1 ? n?1 ( n ? N * ), 则 lim(a1 ? a2 ? ? ? an ) ? __________. n ?? 5 5

9、已知 m, n 为两条不同的直线, ? , ? 为两个不同的平面,给出下列四个命题: ①若 m ? ? , n // ? , 则 m // n. ③ 若 m ? ? , m ? ? , 则 ? // ? . __________. 10、如图,将正方形剪去两个底角为 15 的等腰三角形 CDE 和 CBF , 然后沿图中所画的线折成一个正三棱锥,这个正三棱锥侧面与 底面所成的二面角的余弦值为__________.
0

②若 m ? ? , n // ? , 则 m ? n.

/ 则 , m // n. 其 中 正 确 的 命 题 序 号 是 ④ 若 m / /? ,n /?
C

B F E

D

A

11、若函数 f ( x) ? ax ? b x ? c(a ? 0) 在定义域 R 上有四个单调区间,则实数 a, b, c 应满
2

足的条件为__________.

12、函数 y ? loga ( x2 ? ax ? 2) 在 [2, ?? ) 上恒为正数,则实数 a 的取值范围是__________. 13、已知 a ? 0 且 a ? 1 , f ( x) ? x 2 ? a x ,当 x ? ? ?1,1? 时,均有 f ? x ? ? 值范围是__________. 14、设函数 f ? x ? 的图像与直线 x ? a, x ? b 及 x 轴围成图形的面积称为函数 f ? x ? 在 ? a, b? 上 的面积.已知函数 y ? sin ? nx? 在 ? 0,

1 ,则实数 a 的取 2

2 ? ?? n ? N * ? .则函数 y ? sin ? 3x ? ? ? ? 1 上的面积为 ? ? n ? n?

在?

? ? 4? ? 上的面积为__________. , ?3 3 ? ?

二、选择题.(每小题 5 分,共 20 分) 15、已知函数 y ? a ? ?b ?1? ? a ? 0, a ? 1? 的图像经过第一、三、四象限,则()
x

(A). ?

? a ?1 ?b ? ?1

(B). ?

?a ? 1 ?b ? 0

(C). ?

?0 ? a ? 1 ?0 ? a ? 1 (D). ? ? b ? ?1 ? b?0

16、设 ?an ? 是公比为 q ? q ? 1? ,首项为 a 的等比数列, Sn 是其前 n 项和,则点 ? Sn , Sn?1 ? () (A). 一定在直线 y ? qx ? a 上 (B). 一定在直线 y ? ax ? q 上 (C). 一定在直线 y ? ax ? q 上 (D). 一定在直线 y ? qx ? a 上 17、在 ?ABC 中, a ? cos
2

C A 3 ? c ? cos 2 ? b ,则() 2 2 2
(B). b, a, c 依次成等差数列 (D). a, b, c 既是等差数列也是等比数列
2 2

(A). a, b, c 依次成等差数列 (C). a, c, b 依次成等差数列

2 18、若关于 x 的不等式 x ? ax ? a ? 2 ? 0 和 2x ? 2 ? 2a ?1? x ? 4a ?1 ? 0 的解集依次为 A

和 B ,那么使得 A ? R 和 B ? R 至少有一个成立的实数 a () (A). 可以是 R 中任何一个数 (B). 有有限个 (D). 不存在

(C). 有无穷多个,但不是 R 中任何一个数都满足 三、解答题(共 74 分) 19、设虚数 z 满足 z ? (1)求 z

4 ? a ,其中 a 为实数 z

.

(2)若 z ? 2 ? 2 ,求实数 a .

20、如图,在正四棱柱 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中, ?B 1 AB ? 60 (1)求 AC 1 与平面 ABCD 所成的角的大小; (2)求异面直线 B1C 与 AC 1 1 所成角的大小.

D1 A1 B1

?

C1

D A B

C

x 21、已知函数 f ? x ? ? log a a ? a

?

? ?0 ? a ? 1? 的反函数为 f ? x ?
?1
2

(1)判断 f ? x ? 的单调性并证明; (2)解关于 x 的不等式 f
?1

?x

? 2 ? f ? x?

?

.

22、自然状态下的鱼类是一种可再生资源,为了持续利用这一资源,需从宏观上考察其再生 能力及捕捞强度对鱼群总量的影响。用 xn 表示某鱼群在第 n 年年初的总量且 x1 ? 0 。不考虑
2 其他因素,设在第 n 年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与 xn 成正比,死亡量与 xn 成正比,这些比

例系数依次为正常数 a, b, c (1)求 xn ?1 与 xn 的关系式 (2)若每年年初鱼群的总量保持不变,求 x1 , a, b, c 所应满足的条件 (3)设 a ? 2, c ? 1 ,为保证对任意 x1 ? ? 0, 2? ,都有 xn ? 0 ,则捕捞强度 b 的最大允许 值是多少?并说明理由

23 、 已 知 集 合 M 是 具 有 下 列 性 质 的 函 数 f ? x ? 的 全 体 : 存 在 实 数 对 ? a, b ? , 使 得

x 都成立 f ? a? x b ? ? f? a? ?x ? 对定义域内任意实数

(1)判断函数 f1 ? x ? ? x, f 2 ? x ? ? 3x 是否属于集合 M (2)若函数 f ? x ? ?

1 ? tx 具有反函数 f ?1 ? x ? ,是否存在相同的实数对 ? a, b ? ,使得 f ? x ? 与 1? x

f ?1 ? x ? 同时属于集合 M ?若存在,求出相应的 a, b, t ;若不存在,说明理由。
( 3 )若定义域为 R 的函数 f ? x ? 属于集合 M ,且存在满足有序实数对 ? 0,1? 和 ?1, 4 ? ;当

x ??0,1? 时, f ? x ? 的值域为 ?1, 2? ,求当 x ???2016, 2016? 时函数 f ? x ? 的值域


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