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高中数学竞赛试卷12


2005 年全国高中数学联赛吉林赛区预赛
一、选择题(本题满分 30 分,每小题 5 分) 1. 已知函数 h( x) 与 g ( x) 都定义在区间 (0, ??) 上的增函数,并设函数 f ( x) ? h( x) g ( x) , 则函数 f ( x ) 在 (0, ??) 上()

( A) 一定是增函数

( B) 可能

是增函数,也可能是减函数,两者必居其一

(C ) 可能是

增函数,也可能是减函数,还可能是常数函数,三者必居其一 ( D) 以上都不正确 2. 已知 sin 2 x ?

sin ? ? cos ? 2 , cos x ? sin ? cos ? ,那么 cos 2 x 的值是() 2

( A)

?1 ? 33 8

( B)

?1 ? 3 3 8

(C )

?1 ? 3 3 (D ) 0 8

3.已知 0 ? ? ? 那么()

1 ,复数 z1 ? 1 ? cos(1 ? ? ) ? i sin(1 ? ? ) , z2 ? 1 ? cos(1 ? ? ) ? i sin(1 ? ? ) , 2

( A) z1 ? z2

( B) z1 ? z2

(C) z1 ? z2

(D) z1 与 z2 的大小关系与 ? 的取值有

关,故不能确定. 4.从 6 双不同鞋子中任取 4 只,使其中至少有 2 只鞋配成一双的概率是()

( A)

6 11

( B)

17 33

(C )

19 33

( D)

7 165

5.如图 1,已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) , AA? 为过右焦点 F 且垂直于实轴 x 的弦, a 2 b2
( B) ? 有 可 能 是 120?

M 是双曲线的右顶点,记 ?AMA? ? ? ,那么()

( A) ? 有 可 能 是 90?
? ? ( D) 1 2 0 ?? ? 1 8 0

(C ) ? 9 ?? 0?

?

1 2 0

6.若 x ? y ? 169 , 则函数 f ( x, y) ? 24 y ?10x ? 338 ? 24 y ? 10x ? 338 的最大值是 ()
2 2

( A) 10 26

( B ) 1 3 2 (C ) 5 2 6( D) 26 2

二、填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分) 1.在 ?ABC 中,设 ?A, ?B, ?C 的对边分别是 a, b, c ,如果 a, b, c 成等比数列,那么三角 方程 sin 7 B ? sin B 的解集是_________________ 2. 如图 2 所示,在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,点 G 是上底面的中心,那么 BG 与 AD 所 成角的大小是_______________

3.已知函数 f (n) ?

20n ? 3n , n ? N ,那么,使 f (n) 有最大值时, n ? ________________ n!

4.将一个等差数列依次写成 第 1 行:2 第 2 行:5,8 第 3 行:11,14,17 第 4 行:20,23,26,29

第 m 行: am1 , am2 , am3 ,

, amn , ami 表示第 m 行第 i 个数, i ? 1, 2,

,m

那么,第 m 行的 m 个数的和是____________ 5. 代数式 a 2 ? b2 ? b 2 ? a2 的最大值是__________ 6.已知直角坐标平面的第一象限上有一个正 ?ABC ,它在曲线 y ? ? x2 ? 4ax ? 3a 2 (a ? 0) 和 x 轴所围成区域内(含边界) ,底边 BC 在 x 轴上,那么,它的最大面积函数 f ( a ) 是 ___________ 三、 (15 分) 在直角坐标平面中, ?ABC 的两个顶点 A, B 的坐标分别是 A(?1,0), B(1,0) ,平面内两点

G , M 同时满足下列条件: (1)GA ? GB ? GC ? 0

(2) MA ? MB ? MC
(3)GM / / AB
(1)求 ?ABC 的顶点 C 的轨迹方程; (2)过点 P(3, 0) 的直线 l 与(1)中轨迹交于 E , F 两点,求 PE PF 的取值范围. 四、 (15 分)
k k 若 ai ? C (复数集)(1 ? i ? n) ,且对 1 ? k ? n(k ? N ) ,都有 a1 ? a2 ? k ? an ?0

求证:对一切正整数 k 都有 a1 ? a2 ?
k k

k ? an ?0

五、 (15 分) 求满足 22005 | (161n ?1) 的最小正整数 n .

六、 (15 分) 一个正方形被剖分为 4 个正方形,剖分图的边数为 12,若一个正方形被剖分为 2005 个凸多 边形,试求剖分图中边数的最大值.

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