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圆与三角函数综合学生版


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圆中的三角函数题解题策略
解决几何图形的三角函数求值问题,关键在于,找到相关的直角三角形.若没有现成的 直角三角形,则需根据所给的条件,合理构造直角三角形,或把角进行转化。圆中有关此类 问题的解决也不例外,现就解题策略分析如下: 一、用圆周角的性质把角转化到直角三角形中 例 1 如图 1, 已知

AB 是⊙O 的直径, 弦 CD⊥AB, AC ? 2 2 , BC=1, 那么 sin∠ABD 的值是 .

C B D
图1

A

O

【变式】如图,⊙O 的直径 AB 交弦 CD 于点 M,且 M 是 CD 的中点.过点 B 作 BE∥ CD,交 AC 的延长线于点 E.连接 BC. (1)求证:BE 为⊙O 的切线; (2)如果 CD=6,tan∠BCD=

E C

1 ,求⊙O 的直径的长. 2
A O M

B

D

【变式】如图,△DEC 内接于⊙O,AC 经过圆心 O 交 ? O 于点 B,且 AC⊥DE,垂足为

F ,连结 AD、BE,若 sin A ?

1 ,∠BED=30°. 2
A B

E C

(1)求证:AD 是⊙O 的切线; (2) △DCE 是否是等边三角形?请说明理由; (3)若 ? O 的半径 R ? 2 ,试求 CE 的长.

F D

O

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二、用直径与所对圆周角构造直角三角形 例 2 如图 2,已知AB是半圆 O 的直径,弦 AD、BC 相交于点 P, 若∠DPB=α,那么 A.sinα

CD 等于 AB
D.

B.cosα C.tanα

1 tan ?

三、用切线与半径的关系构造直角三角形 例 3 如图 4, AB 是⊙O 的切线, A 为切点, AC 是⊙O 的弦, 过 O 作 OH ? AC 于点 H .若 OH ? 2 , AB ? 12 , BO ? 13 . 求:(1)⊙O 的半径; (2) sin ∠OAC 的值; (3)弦 AC 的长(结果保留两个有效数字) .

图2

B

O C
H
图3

A

【变式】如图,点 P 在半 ? O 的直径 BA 的延长线上, AB ? 2 PA , PC 切半 ? O 于点 C , 连结 BC . (1)求 ? P 的正弦值; (2)若半 ? O 的半径为 2 ,求 BC 的长度.

C

P

A

O

B

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四、转化条件中的垂直关系构造直角三角形 例 4 如图 4,等腰三角形 ABC 中,AC=BC=10,AB=12。以 BC 为直径作⊙O 交 AB 于点 D,交 AC 于点 G,DF⊥AC,垂足为 F,交 CB 的延长线于点 E。 (1)求证:直线 EF 是⊙O 的切线; (2)求 sin∠E 的值。

A

D E B
图4

F G O C

【 例 1 】 如 图 , PA 为 ⊙ O 的 切 线 , A 为 切 点 , 直 线 PO 交 ⊙ O 与 点 E , F 过 点 A 作 PO 的 垂 线 AB 垂 足 为 D , 交 ⊙ O 与 点 B , 延 长 BO 与 ⊙ O 交 与 点 C , 连 接 AC , BF . ( 1 ) 求 证 : PB 与 ⊙ O 相 切 ; ( 2 ) 试 探 究 线 段 EF , OD , OP 之 间 的 数 量 关 系 , 并 加 以 证 明 ; ( 3 ) 若 AC=12 ,

tan ?F ?

1 , 求 cos∠ ACB 的 值 . 2

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【 例 2 】 如 图 , 已 知 在 △ ABP 中 , C 是 BP 边 上 一 点 , ∠ PAC=∠ PBA , ⊙ O 是 △ ABC 的 外 接 圆 , AD 是 ⊙ O 的 直 径 , 且 交 BP 于 点 E . ( 1 ) 求 证 : PA 是 ⊙ O 的 切 线 ; ( 2 ) 过 点 C 作 CF⊥ AD, 垂 足 为 点 F , 延 长 CF 交 AB 于 点 G , 若 AG?AB=12, 求 AC 的 长 ; ( 3 ) 在 满 足 ( 2 ) 的 条 件 下 , 若 AF : FD=1 : 2 , GF=1 , 求 ⊙ O 的 半 径 及 sin∠ ACE 的 值 .

【 例 3 】 如 图 , 在 ⊙ O 中 , 弦 AB 与 弦 CD 相 交 于 点 G , OA⊥ CD 于 点 E , 过 点 B 的 直 线 与 CD 的 延 长 线 交 于 点 F , AC∥ BF. ( 1 ) 若 ∠ FGB=∠ FBG, 求 证 : BF 是 ⊙ O 的 切 线 ;

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【例 4】如 图

1 , AB 为 半 圆 的 直 径 , O 为 圆 心 , C 为 圆 弧 上 一 点 , AD 垂 直 于 过 C 点 的 切

线 , 垂 足 为 D , AB 的 延 长 线 交 直 线 CD 于 点 E . ( 1 ) 求 证 : AC 平 分 ∠ DAB; ( 2 ) 若 AB=4 , B 为 OE 的 中 点 , CF⊥ AB, 垂 足 为 点 F , 求 CF 的 长 ;

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【例 5】如 图 ,在 ⊙ O 的 内 接 △ ABC 中 ,∠ ACB=90°,AC=2BC ,过
接 PC 与 PD , PD 交 AB 于 点 G . ( 1 ) 求 证 : △ PAC∽ △ PDF; ( 2 ) 若 AB=5 , 弧 AP= 弧 BP , 求 PD 的 长 ;

C 作 AB 的 垂 线 l 交 ⊙ O

于 另 一 点 D , 垂 足 为 E . 设 P 是 弧 AC 上 异 于 A , C 的 一 个 动 点 , 射 线 AP 交 l 于 点 F , 连

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【 例 6】 求 y 与 x 之 间 的 函 数 关 系 式 . (不要求写出 x 的取值范围) 如 图 , 已 知 AB 是 ⊙ O 的 直 径 , BP 是 ⊙ O 的 弦 , 弦 CD⊥ AB 于 点 F , 交 BP 于 点 G , E 在 CD 的 延 长 线 上 , EP=EG , ( 1 ) 求 证 : 直 线 EP 为 ⊙ O 的 切 线 ; ( 2 ) 点 P 在 劣 弧 AC 上 运 动 , 其 他 条 件 不 变 , 若 BG 2 =BF?BO. 试 证 明 BG=PG ; ( 3) 在 满 足 ( 2) 的 条 件 下 , 已 知 ⊙ O 的 半 径 为 3,

sin B ?

3 3

. 求 弦 CD 的 长 .

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【 例 7 】 如 图 , 在 正 方 形 ABCD 中 , 点 E 在 边 AD 上 , 点 F 在 边 BC 的 延 长 线 上 , 连 结 EF 与 边 CD 相 交 于 点 G , 连 结 BE 与 对 角 线 AC 相 交 于 点 H , AE=CF , BE=EG . ( 1 ) 求 证 : EF∥ AC; ( 2 ) 求 ∠ BEF 大 小 ;

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