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2013届高三理科数学高考专题综合测试 专题3 Word版含答案]


专题三综合测试题
(时间:120 分钟 满分:150 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小 题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. 已知圆 O 的方程是 x2+y2-8x-2y+10=0, 过点 M(3,0)的最 短弦所在的直线方程是( A.x+y-3=0 C.2x-y-6=0 ) B.x-y-3=0 D.2x+y-6=0

解析:x2+y2-8x-2y+10=0,即(x-4)2+(y-1)2=7, 圆心 O(4,1),设过点 M(3,0)的直线为 l,则 kOM=1, 故 kl=-1,∴y=-1×(x-3),即 x+y-3=0. 答案:A 2.过点(-1,3)且平行于直线 x-2y+3=0 的直线方程为( A.x-2y+7=0 C.x-2y-5=0 B.2x+y-1=0 D.2x+y-5=0 )

1 解析:因为直线 x-2y+3=0 的斜率是 ,故所求直线的方程为 2 1 y-3= (x+1),即 x-2y+7=0. 2 答案:A 3. 曲线 y=2x-x3 在横坐标为-1 的点处的切线为 l, 则点 P(3,2) 到直线 l 的距离为( 7 2 A. 2 11 2 C. 2 ) 9 2 B. 2 9 10 D. 10

解析:曲线 y=2x-x3 在横坐标为-1 的点处的纵坐标为-1,故

切点坐标为(-1, -1). 切线斜率为 k=y′|x=-1=2-3×(-1)2=-1, 故切线 l 的方程为 y-(-1)=-1×[x-(-1)],整理得 x+y+2=0, 由点到直线的距离公式得点 P(3,2)到直线 l 的距离为 答案:A 4.若曲线 x2+y2+2x-6y+1=0 上相异两点 P、Q 关于直线 kx +2y-4=0 对称,则 k 的值为( A.1 1 C. 2 ) B.-1 D.2 |3+2+2| 7 2 = . 2 12+12

解析:曲线方程可化为(x+1)2+(y-3)2=9,由题设知直线过圆 心,即 k×(-1)+2×3-4=0,∴k=2.故选 D. 答案:D 5. 直线 ax-y+ 2a=0(a≥0)与圆 x2+y2=9 的位置关系是( A.相离 C.相切 B.相交 D.不确定 )

解析:圆 x2+y2=9 的圆心为(0,0),半径为 3.由点到直线的距离 公式 d= d= |Ax0+By0+C| 得该圆圆心(0,0)到直线 ax-y+ 2a=0 的距离 A2+B2

2a 2a 2 2 2= 2 2 ,由基本不等式可以知道 2a≤ a +1 , a +?-1? a +1
2

从而 d=

2a 故直线 ax-y+ 2a=0 与圆 x2+y2=9 的 2≤1<r=3, a +1
2

位置关系是相交. 答案:B 6.设 A 为圆(x+1)2+y2=4 上的动点,PA 是圆的切线,且|PA| =1,则 P 点的轨迹方程为( )

A.(x+1)2+y2=25 C.x2+(y+1)2=25

B.(x+1)2+y2=5 D.(x-1)2+y2=5

解析: 设圆心为 O ,则 O( - 1,0) ,在 Rt △ AOP 中, |OP| = |OA|2+|AP|2= 4+1= 5. 答案:B 7.(2011· 济宁一中高三模拟)双曲线 mx2+y2=1 的虚轴长是实轴 长的 2 倍,则 m 等于( A.- C.4
2

) B.-4 1 D. 4

1 4

x2 1 解析:双曲线标准方程为:y - =1,由题意得-m=4, 1 -m 1 ∴m=- . 4 答案:A x2 8. 点 P 是双曲线 -y2=1 的右支上一点, M、 N 分别是(x+ 5)2 4 +y2=1 和(x- 5)2+y2=1 上的点,则|PM|-|PN|的最大值是( A.2 C.6 B.4 D.8 )

解析:如图,当点 P、M、N 在如图所示的位置时,|PM|-|PN| 可取得最大值,注意到两圆圆心分别为双曲线两焦点,故|PM|-|PN| =(|PF1|+|F1M|)-(|PF2|-|F2N|)=|PF1|-|PF2|+|F1M|+|F2N|=2a+ 2R=6.

答案:C 9.已知 F1、F2 是两个定点,点 P 是以 F1 和 F2 为公共焦点的椭 圆和双曲线的一个交点,并且 PF1⊥PF2,e1 和 e2 分别是上述椭圆和 双曲线的离心率,则( 1 1 A. 2+ 2=4 e1 e 2 1 1 C. 2+ 2=2 e1 e 2 )
2 B.e2 1+e2=4

2 D.e1 +e2 2=2

解析:设椭圆的长半轴长为 a,双曲线的实半轴长为 m,
? ?|PF1|+|PF2|=2a 则? ?||PF1|-|PF2||=2m ?

① ②

.

①2+②2 得 2(|PF1|2+|PF2|2)=4a2+4m2, 又|PF1|2+|PF2|2=4c2,代入上式得 4c2=2a2+2m2, 1 1 两边同除以 2c2,得 2= 2+ 2,故选 C. e1 e 2 答案:C x 2 y2 10.已知双曲线 2- 2=1 的两条渐近线互相垂直,则双曲线的 a b 离心率为( A. 3 C. 5 2 ) B. 2 D. 2 2

b2 b 2 2 解析:两条渐近线 y=± ax 互相垂直,则-a2=-1,则 b =a ,

2a2 c 双曲线的离心率为 e=a= a = 2,选 B. 答案:B x 2 y2 11.若双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的焦点到渐近线的距离等于实 a b 轴长,则双曲线的离心率为( A. 2 C. 5 ) B. 3 D.2
2

c2 解析:焦点到渐近线的距离等于实轴长,可得 b=2a,e = 2=1 a b2 + 2=5,所以 e= 5. a 答案:C x 2 y2 12.(2011· 济南市质量调研)已知点 F1、F2 分别是双曲线 2- 2= a b 1(a>0,b>0)的左、右焦点,过点 F1 且垂直于 x 轴的直线与双曲线交 于 A,B 两点,若△ABF2 是锐角三角形,则该双曲线离心率的取值 范围是( ) B.( 3,2 2) D.(1,1+ 2)

A.(1, 3) C.(1+ 2,+∞)

b2 a π 解析:依题意得,0<∠AF2F1< ,故 0<tan∠AF2F1<1,则 = 4 2c c2-a2 1 <1,即 e-e <2,e2-2e-1<0, 2ac (e-1)2<2,所以 1<e<1+ 2,选 D. 答案:D 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,将答案 填在题中的横线上.

x 2 y2 13. (2011· 安徽“江南十校”联考)设 F1、 F2 分别是椭圆 + = 25 16 1 的左、右焦点,P 为椭圆上任一点,点 M 的坐标为(6,4),则|PM| +|PF1|的最大值为________. 解析: 由椭圆定义 |PM|+ |PF1|= |PM|+ 2×5- |PF2|,而 |PM|- |PF2|≤|MF2|=5,所以|PM|+|PF1|≤2×5+5=15. 答案:15 14. (2011· 潍坊市高考适应性训练 )已知双曲线的中心在坐标原 点,焦点在 x 轴上,且一条渐近线为直线 3x+y=0,则该双曲线的 离心率等于________. c2-a2 x 2 y2 b2 b 解析:设双曲线方程为 2- 2=1,则a= 3, 2=3, 2 =3, a b a a c ∴e=a=2. 答案:2 x 2 y2 15.(2011· 潍坊 2 月模拟)双曲线 - =1 的右焦点到渐近线的 3 6 距离是________. 解析:双曲线右焦点为(3,0),渐近线方程为:y=± 2x,则由点 到直线的距离公式可得距离为 6. 答案: 6 16.(2011· 郑州市质量预测(二))设抛物线 x2=4y 的焦点为 F,经 过点 P(1,4)的直线 l 与抛物线相交于 A、B 两点,且点 P 恰为 AB 的 → → 中点,则|AF|+|BF|=________. 解析:∵x2=4y,∴p=2.设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=2, → p → p y1+y2=8.∵|AF|=y1+ ,|BF|=y2+ , 2 2

→ → ∴|AF|+|BF|=y1+y2+p=8+2=10. 答案:10 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分)(2011· 陕西) 如图,设 P 是圆 x2+y2=25 上的动点,点 D 是 P 在 x 轴上的投 4 影,M 为 PD 上一点,且|MD|= |PD|. 5

(1)当 P 在圆上运动时,求点 M 的轨迹 C 的方程; 4 (2)求过点(3,0)且斜率为 的直线被 C 所截线段的长度. 5 解:(1)设 M 的坐标为(x,y),P 的坐标为(xP,yP),

?xP=x, 由已知得? 5 y P= y, ? 4
?5 ? ∵P 在圆上,∴x2+?4y?2=25, ? ?

x 2 y2 即点 M 的轨迹 C 的方程为 + =1. 25 16

4 (2)过点(3,0)且斜率为 的直线方程为 5 4 y= (x-3), 5 设直线与 C 的交点为 A(x1,y1),B(x2,y2), 4 将直线方程 y= (x-3)代入 C 的方程,得 5 x2 ?x-3? + =1, 25 25 即 x2-3x-8=0. ∴x1= 3- 41 3+ 41 ,x2= . 2 2
2

∴线段 AB 的长度为 |AB|= ?x1-x2?2+?y1-y2?2 =
? 16? ?1+ ??x1-x2?2= 25? ?

41 41 ×41= . 25 5

18.(本小题满分 12 分) (2011· 广东)设圆 C 与两圆(x+ 5)2+y2=4,(x- 5)2+y2=4 中 的一个内切,另一个外切. (1)求圆 C 的圆心轨迹 L 的方程;
?3 5 4 5? ?,F( 5,0)且 P 为 L 上动点,求||MP| (2)已知点 M? , 5 ? ? 5

-|FP||的最大值及此时点 P 的坐标. 解:(1)设动圆 C 的圆心 C(x,y),半径为 r. 两个定圆半径均为 2,圆心分别为 F1(- 5,0),F2( 5,0),且 |F1F2|=2 5.

若⊙C 与⊙F1 外切与⊙F2 内切,则 |CF1|-|CF2|=(r+2)-(r- 2)=4 若⊙C 与⊙F1 内切与⊙F2 外切,则|CF2|-|CF1|=(r+2)-(r-2) =4. ∴||CF1|-|CF2||=4 且 4<2 5. ∴动点 C 的轨迹是以 F1,F2 为焦点,实轴长为 4 的双曲线. 这时 a=2,c= 5,b=c2-a2=1,焦点在 x 轴上. x2 2 ∴点 C 轨迹方程为 -y =1. 4 x2 2 (2)若 P 在 -y =1 的左支上, 4 则||PM|-|PF||<|MF|. x2 2 若 P 在 -y =1 的右支上, 4 由图知,P 为射线 MF 与双曲线右支的交点,

||FM|-|PF||max=|MF|= 直线 MF:y=-2(x- 5).

? 3 5?2 ?4 5?2 ? 5- ? +? ? =2. 5 ? ? 5 ? ?

?y=-2?x- 由?x2 2 ? 4 -y =1

5? 得 15x2-32 5x+84=0,

? x =6 5 5 解之得:? 2 5 y =- , ? 5
1 1

5 < 5 ?x =14 15 或? 58 5 y =- ?舍?, ? 15
2 2

?6 5 2 5? ?. 所以 P 点坐标为? ,- 5 ? ? 5

19.(本小题满分 12 分) (2011· 安徽)设 λ>0,点 A 的坐标为(1,1),点 B 在抛物线 y=x2 上 → → 运动,点 Q 满足BQ=λQA,经过点 Q 与 x 轴垂直的直线交抛物线于 → → 点 M,点 P 满足QM=λMP,求点 P 的轨迹方程.

→ → 解:由QM=λMP知 Q,M,P 三点在同一条垂直于 x 轴的直线 上,故可设 P(x,y),Q(x,y0),M(x,x2), 则 x2-y0=λ(y-x2),即 y0=(1+λ)x2-λy. ①

→ → 再设 B(x1,y1),由BQ=λQA,即(x-x1,y0-y1)=λ(1-x,1-y0), 解得
? ?x1=?1+λ?x-λ, ? ?y1=?1+λ?y0-λ. ?



将①式代入②式,消去 y0,得
? ?x1=?1+λ?x-λ, ? 2 2 ?y1=?1+λ? x -λ?1+λ?y-λ. ?



2 又点 B 在抛物线 y=x2 上,所以 y1=x2 1,再将③式代入 y1=x1,

得 (1+λ)2x2-λ(1+λ)y-λ=[(1+λ)x-λ]2. (1+λ)2x2-λ(1+λ)y-λ=(1+λ)2x2-2λ(1+λ)x+λ2. 2λ(1+λ)x-λ(1+λ)y-λ(1+λ)=0. 因 λ>0,两边同除以 λ(1+λ),得 2x-y-1=0. 故所求点 P 的轨迹方程为 y=2x-1. 20.(本小题满分 12 分) (2011· 天津)在平面直角坐标系 xOy 中, 点 P(a, b)(a>b>0)为动点, x 2 y2 F1、F2 分别为椭圆 2+ 2=1 的左、右焦点.已知△F1PF2 为等腰三 a b 角形. (1)求椭圆的离心率 e. (2)设直线 PF2 与椭圆相交于 A,B 两点,M 是直线 PF2 上的点, → → 满足AM· BM=-2,求点 M 的轨迹方程. 解:(1)设 F1(-c,0),F2(c,0)(c>0),由题意,可得|PF2|=|F1F2|,
?c? c c c 即 ?a-c?2+b2=2c, 整理得 2?a?2+a-1=0, 得a=-1(舍)或a= ? ?

1 1 ,所以 e= . 2 2 (2)由(1)知 a=2c,h= 3c,可得椭圆方程为 3x2+4y2=12c2. 直线 PF2 方程为 y= 3(x-c).

2 2 2 ? ?3x +4y =12c , A,B 两点的坐标满足方程组? 消去 y 并整理, ? ?y= 3?x-c?.

8 得 5x2 - 8cx = 0 , 解 得 x1 = 0 , x2 = c , 得 方 程 组 的 解 5
? ?x1=0, ? ?y1=- 3c, ?

?x =5c, ? 3 3 ? y = 5 c.
2 2

8

?8 3 3 ? 不妨设 A? c, c? , 5 ? ?5

B(0,- 3c). → ? 8 3 3 ? → 设点 M 的坐标为(x,y),则AM=?x- c,y- c?,BM=(x, 5 5 ? ? y+ 3c). 由 y = → 3 3 (x - c ) , 得 c = x - y , 于 是 AM = 3

→ → → ?8 3 3 8 3 3 ? ? BM = - 2 , 即 y- x, y- x? , BM = (x , 3 x) , 由 AM · 5 5 5 ? ? 15
?8 3 ?8 3 ? 3 3 ? ? x+? y- y- x?· x?· 3x=-2,化简得 18x2-16 3xy-15=0. 5 ? 5 ? ? 15 ?5

18x2-15 10x2+5 3 将 y= 代入 c=x- y,得 c= >0,所以 x>0. 3 16x 16 3x 因此,点 M 的轨迹方程是 18x2-16 3xy-15=0(x>0). 21.(本小题满分 12 分) x 2 y2 (2011· 山东)已知动直线 l 与椭圆 C: + =1 交于 P(x1,y1), 3 2 Q(x2,y2)两不同点,且△OPQ 的面积 S△OPQ= 点. 6 ,其中 O 为坐标原 2

2 2 2 (1)证明 x1 +x2 和 y2 1+y2均为定值;

(2)设线段 PQ 的中点为 M,求|OM|· |PQ|的最大值; (3)椭圆 C 上是否存在三点 D, E, G, 使得 S△ODE=S△ODG=S△OEG = 6 ?若存在,判断△DEG 的形状;若不存在,请说明理由. 2 解:(1)证明:①当直线 l 的斜率不存在时,P,Q 两点关于 x 轴 对称. 所以 x2=x1,y2=-y1, 因为 P(x1,y1)在椭圆上,
2 x2 y1 1 因此 + =1. 3 2

① 6 6 .所以|x1|· |y1|= . 2 2 ②

又因为 S△OPQ= 由①②得|x1|=

6 ,|y1|=1, 2

2 2 2 此时 x1 +x2 2=3,y1+y2=2.

②当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y=kx+m. x 2 y2 由题意知 m≠0,将其代入 + =1 得 3 2 (2+3k2)x2+6kmx+3(m2-2)=0. 其中 Δ=36k2m2-12(2+3k2)(m2-2)>0. 即 3k2+2>m2. 3?m2-2? 6km 又 x1+x2=- ,x x = . 2+3k2 1 2 2+3k2 所以|PQ|= 1+k2· ?x1+x2?2-4x1x2= 2 6 3k2+2-m2 1+k · . 2+3k2
2

(*)

因为点 O 到直线 l 的距离为 d= 1 所以 S△OPQ= |PQ|· d 2

|m| . 1+k2

2 2 1 |m| 2 2 6 3k +2-m = 1+k · · 2 2 2+3k 1+k2

6|m| 3k2+2-m2 6 = 又 S△OPQ= . 2 2 2+3k
2 2 整理得 3k2+2=2m2,且符合(*)式.此时,x2 1+x2=(x1+x2) -

? 6km ?2 3?m2-2? 2x1x2=?-2+3k2? -2× =3. 2+3k2 ? ?

2 2 2 2 2 2 2 2 y2 1+y2= (3-x1)+ (3-x2)=4- (x1+x2)=2. 3 3 3
2 2 2 综上所述,x1 +x2 =3;y2 1+y2=2,结论成立.

(2)解法一: ①当直线 l 的斜率不存在时. 由(1)知|OM|=|x1|= 因此|OM|· |PQ|= 6 .|PQ|=2|y1|=2. 2

6 ×2= 6. 2

②当直线 l 的斜率存在时,由(1)知: x1+x2 3k =- . 2 2m y1+y2 ?x1+x2? ?+m =k? 2 ? 2 ? -3k2 3k2+2m2 1 = +m=- =m. 2m 2m
2 ?x1+x2?2 ?y1+y2?2 9k2 1? 1 6m -2 1? ? +? ? = 2+ 2= |OM| =? 2 = ?3- 2?. m? 4m m 4m 2? ? 2 ? ? 2 ? 2

24?3k2+2-m2? |PQ| =(1+k ) ?2+3k2?2
2 2

2?2m2+1? ? 1? = =2?2+m2?. 2 m ? ? 1? ? 1? ? 1 ?? 1? 1 ? 所以|OM|2· |PQ|2= ×?3-m2?×2×?2+m2?=?3-m2??2+m2? 2 ? ? ? ? ? ?? ?

?3- 12+2+ 12?2 25 m?= . ≤? m ? ? 4 2
5 1 1 所以|OM|· |PQ|≤ ,当且仅当 3- 2=2+ 2,即 m=± 2时,等 2 m m 号成立. 5 综合(1)(2)得|OM|· |PQ|的最大值为 . 2 解法二: 因为 4|OM|2+|PQ|2=(x1+x2)2+(y1+y2)2+(x2-x1)2+(y2-y1)2
2 2 2 =2[(x2 1+x2)-(y1+y2)]=10.

4|OM|2+|PQ|2 10 所以 2|OM|· |PQ|≤ = =5. 2 2 5 即|OM|· |PQ|≤ ,当且仅当 2|OM|=|PQ|= 5时等号成立.因此 2 5 |OM|· |PQ|的最大值为 . 2 (3)椭圆 C 上不存在三点 D,E,G,使得 S△ODE=S△ODG=S△OEG = 6 . 2 证明:假设存在 D(u,v),E(x1,y1),O(x2,y2)满足 S△ODE=S△
ODG=S△OEG=

6 , 2

由(1)得
2 2 2 2 2 2 2 2 u2+x1 =3,u2+x2 2=3,x1+x2=3,v +y1=2,v +y2=2,y1+

y2 2=2, 3 2 2 2 解得:u2=x1 =x2 = ,v2=y2 1=y2=1. 2 6 因此,u,x1,x2 只能从± 中选取,v,y1,y2 只能从± 1 中选取, 2
? 6 ? 因此 D、E、G 只能在?± ,± 1?这四点中选取三个不同点, ? 2 ?

而这三点的两两连线中必有一条过原点. 与 S△ODE=S△ODG=S△OEG= 6 矛盾. 2

所以椭圆 C 上不存在满足条件的三点 D,E,G. 22.(本小题满分 14 分) (2011· 江苏)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,M、N 分别是椭圆 x 2 y2 + =1 的顶点,过坐标原点的直线交椭圆于 P,A 两点,其中点 P 4 2 在第一象限,过 P 作 x 轴的垂线,垂足为 C,连接 AC,并延长交椭 圆于点 B,设直线 PA 的斜率为 k.

(1)若直线 PA 平分线段 MN,求 k 的值; (2)当 k=2 时,求点 P 到直线 AB 的距离 d;

(3)对任意的 k>0,求证:PA⊥PB. 解:(1)由题设知,a=2,b= 2,故 M(-2,0),N(0,- 2),所 以线段 MN 中点的坐标为?-1,-
? ?

2? ?.由于直线 PA 平分线段 MN, 2?

2 - 2 故直线 PA 过线段 MN 的中点, 又直线 PA 过坐标原点, 所以 k= -1 = 2 . 2

(2)直线 PA 的方程为 y=2x,代入椭圆方程得 x2 4x2 2 + =1,解得 x=± , 4 2 3
?2 4? ? 2 4? 因此 P?3,3?,A?-3,-3?. ? ? ? ?

4 3 ?2 ? 于是 C?3,0?,直线 AC 的斜率为 =1,故直线 AB 的方程为 2 2 ? ? + 3 3 0+ 2 x-y- =0. 3
?2 4 2? ? - - ? ?3 3 3?

因此,d=

1 +1

2

2



2 2 . 3

x 2 y2 (3)证法一:将直线 PA 的方程 y=kx 代入 + =1,解得 x= 4 2

±

2 2 , 2记 μ= 1+2k 1+2k2 则 P(μ,μk),A(-μ,-μk).于是 C(μ,0).故直线 AB 的斜率

0+μk k 为 = , μ+μ 2 k 其方程为 y= (x-μ), 2 代入椭圆方程得(2+k2)x2-2μk2x-μ2(3k2+2)=0, μ?3k2+2? 解得 x= 或 x=-μ. 2+k2
?μ?3k2+2? μk3 ? ? ?. 因此 B 2 , 2+k2? ? 2+k

μk3 -μk 2+k2 于是直线 PB 的斜率 k1= μ?3k2+2? -μ 2+k2 k3-k?2+k2? 1 = 2 2 =- . k 3k +2-?2+k ? 因此 k1k=-1,所以 PA⊥PB. 证法二:设 P(x1,y1),B(x2,y2),则 x1>0,x2>0,x1≠x2,A(- x1,-y1),C(x1,0).设直线 PB,AB 的斜率分别为 k1,k2.因为 C 在 直线 AB 上,所以 k2= 0-?-y1? y1 k = = . x1-?-x1? 2x1 2

2 y2-y1 y2-?-y1? 2y2 2-2y1 从而 k1k+1=2k1k2+1=2· · +1= 2 2 +1= x2-x1 x2-?-x1? x2-x1 2 2 2 ?x2 4-4 2+2y2?-?x1+2y1? = 2 2 2 2=0. x2-x1 x2-x1

因此 k1k=-1,所以 PA⊥PB.


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2013届高三理科数学高考专题综合测试 专题4 Word版含答案]
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...2013届高三5月综合测试数学理试题 Word版含答案(201...
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