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2013年全国高校自主招生数学04


2013 年全国高校自主招生数学模拟试卷四
一、选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分)
1.已知△ABC,若对任意 t∈R, → → |→ BA -t BC |≥| AC |,则△ABC 一定为 D.答案不确定

A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 2.设 logx(2x2+x-1)>logx2-1,则 x 的取值范围为 1 A.2<x<1 1 B.x>2且 x≠1 C. x>1

D. 0<x<1

3.已知集合 A={x|5x-a≤0},B={x|6x-b>0},a,b∈N,且 A∩B∩N={2,3,4},则整数对(a,b)的 个数为 A.20 B.25 C.30 D.42 π 4.在直三棱柱 A1B1C1-ABC 中,∠BAC=2,AB=AC=AA1=1.已知 G 与 E 分别为 A1B1 和 CC1 的中点,D 与 F 分别为线段 AC 和 AB 上的动点(不包括端点).若 GD⊥EF,则线段 DF 的长度的取值范围为 1 1 1 A.[ ,1) B.[5,2) C.[1, 2) D.[ , 2) 5 5 5.设 f(x)=x3+log2(x+ x2+1),则对任意实数 a,b,a+b≥0 是 f(a)+f(b)≥0 的 A. 充分必要条件 B. 充分而不必要条件 C. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 - 6.数码 a1,a2,a3,…,a2006 中有奇数个 9 的 2007 位十进制数 2a1a2…a2006 的个数为 1 A.2(102006+82006) 1 B.2(102006-82006) C.102006+82006 D.102006-82006

二、填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分)
7. 设 f(x)=sin4x-sinxcosx+cos4x,则 f(x)的值域是 . 8. 若对一切 θ∈R,复数 z=(a+cosθ)+(2a-sinθ)i 的模不超过 2,则实数 a 的取值范围为
2 2



x y 9.已知椭圆16+ 4 =1 的左右焦点分别为 F1 与 F2,点 P 在直线 l:x- 3y+8+2 3=0 上. 当∠F1PF2 取 |PF1| 最大值时,比|PF |的值为 2 .

1 10.底面半径为 1cm 的圆柱形容器里放有四个半径为2cm 的实心铁球,四个球两两相切,其中底层两球 与容器底面相切. 现往容器里注水,使水面恰好浸没所有铁球,则需要注水 cm3. 11.方程(x2006+1)(1+x2+x4+…+x2004)=2006x2005 的实数解的个数为 . 12. 袋内有 8 个白球和 2 个红球,每次从中随机取出一个球,然后放回 1 个白球,则第 4 次恰好取完所有 红球的概率为 .

三、解答题(本题满分 60 分,每小题 20 分)
13. 给定整数 n≥2,设 M0(x0,y0)是抛物线 y2=nx-1 与直线 y=x 的一个交点. 试证明对任意正整数 m, 2 m 必存在整数 k≥2,使(xm 0 ,y 0 )为抛物线 y =kx-1 与直线 y=x 的一个交点.

14.将 2006 表示成 5 个正整数 x1,x2,x3,x4,x5 之和.记 S= ⑴ 当 x1,x2,x3,x4,x5 取何值时,S 取到最大值;

1≤i<j≤5

Σ

xixj.问:

⑵ 进一步地,对任意 1≤i,j≤5 有|xi-xj|≤2,当 x1,x2,x3,x4,x5 取何值时,S 取到最小值. 说明理由.

15.设 f(x)=x2+a. 记 f1(x)=f(x),fn(x)=f(fn 1(x)),n=1,2,3,…, 1 M={a∈R|对所有正整数 n,|fn(0)|≤2}.证明,M=[-2,4].



2013 年全国高校自主招生数学模拟试卷四参考答案
一、选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分)
答 C. 解:令∠ABC=α,过 A 作 AD⊥BC 于 D,由 → → |→ BA -t BC |≥| AC |,推出
2

| |

→ BA

2

→ → → -2t BA · BC +t2 BC

| | | |
2 2

→ ≥ AC

→ → BA · BC ,令 t= ,代入上式,得 → 2 BC

| |

→ → → → → |→ BA | -2| BA | cos α+| BA | cos α≥| AC | ,即 | BA | sin α≥| AC | , π → → → → 也即| BA |sinα≥| AC |.从而有| AD |≥| AC |.由此可得∠ACB=2.
2 2

2

2

2

2

2

2

答 B.
?x>0,x≠1 1 解:因为? 2 ,解得 x>2且 x≠1.由 logx(2x2+x-1)>logx2-1, 2 x + x - 1 > 0 ? ?0<x<1, ?x>1, ? logx(2x3+x2-x)>logx2? ? 3 2 或? 3 2 .解得 0<x<1 或 x>1. ?2x +x -x<2 ?2x +x -x>2

1 所以 x 的取值范围为 x>2且 x≠1. 答 C. a b 解:5x-a≤0?x≤5;6x-b>0?x>6.要使 A∩B∩N={2,3,4},则

?1≤6<2, ?6≤b<12, 所以数对(a,b)共有 C1C1=30 个. ? a ,即? ?20≤a<25. ?4≤5<5
b
6 5

答 A.

解:建立直角坐标系,以 A 为坐标原点,AB 为 x 轴,AC 为 y 轴,AA1 为 z 轴,则 F(t1,0,0)(0<t1 1 1 1 → 1 → <1),E(0,1,2),G(2,0,1),D(0,t2,0)(0<t2<1).所以 EF =(t1,-1,-2),GD =(-2,t2,-1).因 1 → 为 GD⊥EF,所以 t1+2t2=1,由此推出 0<t2<2.又 DF =(t1,-t2,0),

|→ DF |=
答 A.

2 2 t2 1 +t 2 = 5t2 -4t2+1=

22 1 1 → 5(t2-5) +5,从而有 ≤ DF <1. 5

| |

解:显然 f(x)=x3+log2(x+ x2+1)为奇函数,且单调递增.于是 若 a+b≥0,则 a≥-b,有 f(a)≥f(-b),即 f(a)≥-f(b),从而有 f(a)+f(b)≥0. 反之,若 f(a)+f(b)≥0,则 f(a)≥-f(b)=f(-b),推出 a≥-b,即 a+b≥0. 答 B.
2005 2003 解:出现奇数个 9 的十进制数个数有 A=C1 +C3 +…+C2005 2006 9 2006 9 2006 9.又由于 2006 k k 2006 (9+1)2006= Σ Ck 以及(9-1)2006= Σ Ck 2006 9 2006 (-1) 9


2006 k=0

2006 k=0

-k

从而得 1 2006 1 3 A=C2006 92005+C2006 92003+…+C2005 -82006). 20069=2(10

9 填[0,8]. 1 1 解:f(x)=sin4x-sinxcosx+cos4x=1-2sin2x-2 sin22x.令 t=sin2x,则 1 1 9 1 1 1 9 f(x)=g(t)=1-2t-2t2=8-2(t+2)2.因此-min g(t)=g(1)=0,-max g(t)=g(-2)=8. 1≤t≤1 1≤t≤1 9 5 5 故,f(x)∈[0,8].填[- 5 , 5 ]. 解:依题意,得|z|≤2?(a+cosθ)2+(2a-sinθ)2≤4?2a(cosθ-2sinθ)≤3-5a2. 5 ?-2 5asin(θ-φ)≤3-5a2(φ=arcsin 5 )对任意实数 θ 成立. 5 5 5 ?2 5|a|≤3-5a2?|a|≤ 5 ,故 a 的取值范围为[- 5 , 5 ]. 填 3-1.. 解:由平面几何知,要使∠F1PF2 最大,则过 F1,F2,P 三点的圆必定和直线 l 相切于点 P.直线 l 交 x 轴于 A(-8-2 3,0),则∠APF1=∠AF2P,即?APF1∽?AF2P,即 |PF1| |AP| |PF2|=|AF2| 又由圆幂定理, |AP|2=|AF1|·|AF2| 而 F1(-2 3,0),F2(2 3,0),A(-8-2 3,0),从而有|AF1|=8,|AF2|=8+4 3. |PF1| |AF1| 8 代入⑴,⑵得,|PF |= |AF |= = 4-2 3= 3-1. 2 2 8+4 3 1 2 填(3+ 2 )π. 解:设四个实心铁球的球心为 O1,O2,O3,O4,其中 O1,O2 为下层两球的球心,A,B,C,D 分别 2 2 2 为四个球心在底面的射影. 则 ABCD 是一个边长为 2 的正方形。 所以注水高为 1+ 2 . 故应注水 π(1+ 2 ) 4 1 1 2 -4×3π(2)3=(3+ 2 )π. 填 1. 1 解:(x2006+1)(1+x2+x4+…+x2004)=2006x2005?(x+x2005)(1+x2+x4+…+x2004)=2006 1 1 1 1 ?x+x3+x5+…+x2005+x2005+x2003+x2001+…+x =2006,故 x>0,否则左边<0. 1 1 1 ?2006=x+x +x3+x3+…+x2005+x2005≥2×1003=2006. 等号当且仅当 x=1 时成立. 所以 x=1 是原方程的全部解.因此原方程的实数解个数为 1. 填 0.0434. 解:第 4 次恰好取完所有红球的概率为 2 9 2 1 8 2 9 1 8 2 2 1 × ( ) × + × × × + ( ) × × 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10=0.0434. ⑵



n± n2-4 1 证明:因为 y2=nx-1 与 y=x 的交点为 x0=y0= .显然有 x0+x =n≥2.…(5 分) 2 0 1 2 m m 若(xm 0 ,y 0 )为抛物线 y =kx-1 与直线 y=x 的一个交点,则 k=x 0 +xm.………(10 分) 0 1 记 km=xm 0 +xm,
0

1 1 2 2 由于 k1=n 是整数,k2=x2 0+x2=(x0+x ) -2=n -2 也是整数,
0

0



1 km+1=km(x0+x )-km-1=nkm-km-1,(m≥2)
0
0

(13.1)

1 所以根据数学归纳法,通过(13.1)式可证明对于一切正整数 m,km=xm 0 +xm是正整数,且 km≥2 现在 1 2 m m 对于任意正整数 m,取 k=xm 0 +xm,满足 k≥2,且使得 y =kx-1 与 y=x 的交点为(x 0 ,y 0 ).……(20 分)
0

解:(1) 首先这样的 S 的值是有界集,故必存在最大值与最小值。 若 x1+x2+x3+x4+x5=2006,且 使 S=
1≤i<j≤5

Σ

xixj 取到最大值,则必有

|xi-xj|≤1

(1≤i,j≤5)

………(5 分)

(*)

事实上,假设(*)不成立,不妨假设 x1-x2≥2,则令 x1?=x1-1,x2?=x2+1,xi?=xi (i=3,4,5).有 x1?+x2?=x1+x2,x1?·x2?=x1x2+x1-x2-1>x1x2.将 S 改写成 S=
1≤i<j≤5

Σ

xixj=x1x2+(x1+x2)(x3+x4+x5)+x3x4+x3x5+x4x5

同时有 S?=x1?x2?+(x1?+x2?)((x3+x4+x5)+x3x4+x3x5+x4x5.于是有 S?-S=x1?x2?-x1x2>0.这与 S 在 x1, x2,x3,x4,x5 时取到最大值矛盾.所以必有|xi-xj|≤1,(1≤i,j≤5). 因此当 x1=402,x2=x3=x4=x5=401 时 S 取到最大值. ⑵ 当 x1+x2+x3+x4+x5=2006,且|xi-xj|≤2 时,只有 (I) 402, 402, 402, 400, 400; (II) 402, 402, 401, 401, 400; (III) 402, 401, 401, 401, 401; 三种情形满足要求. ……………………(15 分) 而后两种情形是由第一组作 xi?=xi-1,xj?=xj+1 调整下得到的.根据上一小题的证明可知道,每次 调整都使和式 S=
1≤i<j≤5

……………………(10 分)

Σ

xixj 变大.所以在 x1=x2=x3=402,x4=x5=400 时 S 取到最小值.………(20 分)

证明:⑴ 如果 a<-2,则|f1(0)|=|a|>2,a∈ / M. ………………………(5 分) 1 - ⑵ 如果-2≤a≤4,由题意,f1(0)=a,fn(0)=(fn 1(0))2+a,n=2,3,…….则 1 1 ① 当 0≤a≤4时,|fn(0)|≤2,(?n≥1). 1 事实上,当 n=1 时,|f1(0)|=|a|≤2,设 n=k-1 时成立(k≥2 为某整数) ,则对 n=k,

|fk(0)|≤|fk-1(0)| +a≤(2)2+4=2.
② 当-2≤a<0 时,|fn(0)|≤|a|,(?n≥1). 事实上,当 n=1 时,|f1(0)|≤|a|,设 n=k-1 时成立(k≥2 为某整数),则对 n=k,有 -|a|=a≤(fk 1(0)) +a≤a2+a 注意到当-2≤a<0 时,总有 a2≤-2a,即 a2+a≤-a=|a|.从而有|fk(0)|≤|a|.由归纳法,推 1 出[-2,4]?M.……………………(15 分) 1 1 ⑶ 当 a>4时,记 an=fn(0),则对于任意 n≥1,an>a>4且 an+1=fn 1(0)=f(fn(0))=f(an)=a2 n+a. 1 1 1 1 2 对于任意 n≥1,an+1-an=an -an+a=(an-2)2+a-4≥a-4.则 an+1-an≥a-4. 2-a 1 1 + 所以, an+1-a=an+1-a1≥n(a-4). 当 n> 1时, an+1>n(a-4)+a>2-a+a=2, 即 fn 1(0)>2. 因 a-4 1 此 a∈ / M.综合⑴,⑵,⑶,我们有 M=[-2,4]. …………………………
+ -

2

1

1 1

2


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