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指数函数及其性质 教案


指数函数及其性质教案 1.指数函数 函数 y=ax(a>0,且 a≠1)叫做指数函数,其中 x 是自变量. 因为指数的概念已经扩充到有理数和无理数,所以在底数 a>0 的前提下,x 可以是任 意实数,所以指数函数的定义域为 R. 2.指数函数 y=ax(a>0,且 a≠1)的图象和性质:
y y y=ax(a>1)

图象

y=ax(0<a<1) 1 O x O 1 x

定义域 值域
1) ,即 x ? 0 时, y ? 1 (1)过定点 (0 ,

R
(0 , ? ?)

(2)在 R 上是减函数 (3) x ? 0 时, 0 ? y ? 1 性质
x ? 0 时, y ? 1

(2)在 R 上是增函数 (3) x ? 0 时, y ? 1
x ? 0 时, 0 ? y ? 1

(4)对于同一个 a , y ? a x 与 y ? a ? x 的图象关于 y 轴对称 (5) a 接近于 0 , y ? a x 越靠近 y 轴 (5) a 越大, y ? a x 越靠近 y 轴

题型一

指数函数的图象的应用

例 1、 下图是指数函数:

①y=ax(a>0,且 a≠1), ②y=bx(b>0,且 b≠1), ③y=cx(c>0,且 c≠1), ④y=dx(d>0,且 d≠1)的图象,则 a,b,c,d 与 1 的大小关系为(

)

A.a<b<1<c<d

B.b<a<1<d<c

C.b<a<1<c<d

D.a<b<1<d<c
4 1 3 , , 四个值,则相应于曲线 3 10 5

练习图中的曲线是指数函数 y ? a x 的图象,已知 a 取 3 ,

c1 , c2 , c3 , c4 的 a 依次为_______________.
y c3 c4 P2 P1 P4 P3 O
1

c2 c1

x

?1? 例 2、求函数 y ? ? ? ?2?

x -1

的定义域、值域,并作出图像

注: 含绝对值问题注意讨论去绝对值, 指数函数定义域、 值域相关问题注意利用函数的图象. 练习 1 画出函数 y=2
x |x+1|

的图象


注:函数 y=a 的图象与 y=a x 的图象关于 y 轴对称,y=ax 的图象与 y=-ax 的图象关 - 于 x 轴对称,函数 y=ax 的图象与 y=-a x 的图象关于坐标原点对称. 2 (2015?福建)若函数 f(x)=2|x a|(a∈R)满足 f(1+x)=f(1﹣x) ,且 f(x) 在[m,+∞)上单调递增,则实数 m 的最小值等于 .


3 设函数

的最小值为 2,则实数 a 的取值范围是



题型二 求指数函数的定义域与值域

例 3、求下列函数的定义域与值域:

练习 1 求下列函数的定义域和值域:

? 1 ?x (3). f ( x) ? ? ? ?2?
(4) (5)函数

1

y ? 1? 2x ?

1 x ? 3 的定义域

y ? 16 ? 4 x 的值域

?-1,1?上有最大值 2.函数y ? a 2 x ? 2a x ?1?a ? 0且a ? 1?在区间 14,则a的值
3.函数 y=
的值域是( )

A. (0,1)B. (0,1]C. (0,+∞)D.[0,+∞)

?1? ?1? y ? ? ? ? ? ? ?1 ?9? ?3? 4 求函数 的值域(痛点:忽视换元后 t 的范围)
5 已知函数 y ? a 视底数的讨论)
2x

x

x

? 2a x ?1?a ? 0且a ? 1? ,当 x ? 0 时,求函数 y 的值域 (痛点:忽

题型三

利用指数函数的单调性比较大小

例 4、 比较下列各组数的大小:

练习比较下列各组数的大小:

(4) y1 ? 4 , y2 ? 8
0.9

0.44

?1? , y3 ? ? ? ?2?

?1.5

题型四

求指数函数的单调区间
x2 ? 2 x

?1? 例 5、 确定函数 y ? ? ? ?2?

的单调区间,并对其加以证明.
2

练习 1 已知 a>0 且 a≠1,讨论函数 f ( x) ? a? x 2 函数 f(x)=

?3 x ?2

的单调性.

?a

2

? 1 在 R 上是减函数,则 a 的取值范围是( )

?

x

3 函数 ( f x) = ( )

在区间[1, 2]上是单调减函数, 则实数 a 的取值范围是 (



A.a≤﹣4B.a≤﹣2C.a≥﹣2D.a>﹣4

题型五

解简单的指数不等式
+ -

例 6、已知不等式 a2x 1≤ax 5(a>0,且 a≠1),试求 x 的取值范围 练习 1 已知集合 M ? ?1, ?1 ? , N ? ?x | A.{-1,1} B.{-1}

? ?

1 ? ? 2 x ?1 ? 4, x ? Z ? ,则 M ? N 等于( 2 ?
C.{0} D.{-1,0}



2.已知 a 2 ? 2a ? 5

?

?

3x

? a 2 ? 2a ? 5

?

?

1? x

, 则x的取值范围

3 不等式

恒成立,则 a 的取值范围是



4 已知不等式 是 .

对任意 x∈R 恒成立,则实数 m 的取值范围

题型六指数函数综合题

已知函数 f ? x ? ?
例 7、

a x ?1 ( a ? 0且a ? 1) ax ?1

(1)求 f(x)的定义域和值域 (2)讨论 f(x)的奇偶性 (3)讨论 f(x)的单调性

已知函数 f ?x ? ? a ?
练习 1、

2 (a ? R) 2 ?1
x

(1)求证任何 a ? R ,f(x)是增函数 (2)若 f(x)是奇函数时,求 a 的值

2、 (2015?上海模拟) (文) 已知函数 f(x)= (1)当 a=b=1 时,求满足 f(x)≥3 的 x 的 取值范围; (2)若 y=f(x)是定义域为 R 的奇函数,求 y=f(x)的解析式; (3)若 y=f(x)的定义域为 R,判断其在 R 上的单调性并加以证明.
x

习题
1.指数函数 y=f(x)的图象经过点(2,4),那么 f(2)· f(4)的值为( A.64 B.256 C.8
?1.5

) D.16

2.设 y1 ? 4 , y2 ? 8
0.9

0.44

?1? , y3 ? ? ? ?2?

,则有(



A.y3>y1>y2B.y2>y1>y3 C.y1>y2>y3D.y1>y3>y2

? 1 ?x 3.函数 f ( x) ? ? ? 的定义域为___________;值域为____________. ?2?
4.函数 f(x)= 1-2x的定义域是( ) A.(-∞,0) B.[0,+∞) C.(-∞,0] D.(-∞,+∞) 5.若 0<a<1,b<-2,则函数 y=ax+b 的图象一定不经过( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

1

)

7.已知 a,b>1,f(x)=ax,g(x)=bx,当 f(x1)=g(x2)=2 时, 有 x1>x2,则 a,b 的大小关 系是( ) A.a=bB.a>b C.a<bD.不能确定 - 8.若函数 f(x)=ax 1+3 恒过定点 P,试求点 P 的坐标.

9. 已知指数函数 y=ax(a>0, 且 a≠1)在[0,1]上的最大值与最小值的和为 3, 则 a 等于( 1 1 A. B.2 C.4 D. 2 4

)

10.函数 f(x)=ax(a>0 且 a≠1),对于任意实数 x,y 都有( A.f(xy)=f(x)f(y) B.f(xy)=f(x)+f(y) C.f(x+y)=f(x)f(y) D.f(x+y)=f(x)+f(y) 的图象 1?x x 12.函数 y=? ?3? -2 在区间[-1, 1]上的最大值为________. 13.函数 y=|2 x-2|的图象是(


)

11.将函数 y=2x 的图象先向右平移 1 个单位,再向上平移 2 个单位可得到函数__________

)

14.已知(a2+a+2)x>(a2+a+2)1 x,则 x 的取值范围为( 1 ? A.(-∞,1) B.? ?2,+∞? C.(0,2) D.R


)

15.

16、已知函数 f ( x) ? a x ?

x?2 (a ? 1) x ?1

(1) 证明:函数 f ( x) 在 ?? 1,??? 上是增函数; (2)证明方程 f ( x) ? 0 没有负数根


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