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2080两点之间的距离公式及中点坐标公式


2015年5月11日星期一11时4分50秒

1

分析:A到B之间的长度

A

B
3

o

1

x

|OA|=1,|OB|=3

|AB|= |OB|-|OA|=3-1=2
2

数轴上两点的距离
A B

A

o x1

x2

x1

o

B x2

所以A,B两点的距离记为:

d(A,B)= |AB|= |X 2 – X 1|
3

1.平面上两点间距离公式

4

如图:当点在x轴上

y

o
A(1,0) B(3,0)

x

|AB|= |3 – 1|=2

5

如图:当点在x轴上

y

o
A(x1,0) B(x2,0)

x

|AB|= |X 2 – X 1|
6

如图:当点在y轴上

y
B(0,3)

A(0,1)

o

1

x

|AB|= |3 – 1|=2
7

如图:当点在y轴上

y
B(0,y2)

A(0,y1)

o

1

x

|AB|= |y2 – y1|
8

合作探究(一):两点间的距离公式

思考1:
在平面直角坐标系中,已知 两点的坐标,怎样来计算这两点

之间的距离呢?

9

在平面直角坐标系中,已知点A(4,3) , 原点O和点A的距离d(O,A)是多少呢?

y

A (4,3) 3
o

4 A 1
2

x
2

d(O,A)=|OA|=

3 ?4 ?5
10

当A点不在坐标轴上时:
在平面直角坐标系中,已知点A(x,y) , 原点O和点A的距离d(O,A)是多少呢?

y

A (x,y) y
o

x A 1

x

d(O,A)=|OA|=
11

显然,当A点在坐标轴上时

d(O,A)=

这一公式也成立。

A?x1 , y1 ?, B?x2 , y2 ?
12

一般地,已知平面上两点A(x1,y1)和 B(x2,y2),利用上述方法求点A和B的距离

y
A
X2-x1

B
y2-y1

c
x2
2

o x1

x
2

d ( A, B) ?| AB |? ( x2 ? x1 ) ? ( y2 ? y1 )

显然,当AB平行于坐标轴或在坐标轴上时, 13 公式仍然成立。

? 给两点的坐标赋值:

x1 ? ?, y1 ? ?, x2 ? ?, y2 ? ?;
? 计算两个坐标的差,并赋值给另 外两个量,即

?x ? x2 ? x1

?y ? y2 ? y1

? 计算 d ? ?x 2 ? ?y 2 ? 给出两点的距离
d ? ( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2
14

题型分类举例与练习
例1:已知A(2、0)、B(-2,3).求d(A,B)
解:

x1 ? 2, y1 ? 0, x2 ? ?2, y2 ? 3, x2 ? x1 ? ?2 ? 2 ? ?4, y2 ? y1 ? 3 ? 0 ? 3,

d ( B, A) ?| AB |? ( x2 ? x1 ) ? ( y2 ? y1 )
2

2

? ( ?4) ? 3 ? 5
2 2
15

〖课堂检测〗

1、求两点的距离: (1) A(6,2) , B(-2,5) (2) C (2 , -4) , D (7 , 2)
| AB |? (?2 ? 6) ? (5 ? 2) ? 73
2 2

| CD |? (7 ? 2) ? (2 ? 4) ? 61
2 2
16

【例2】已知:点A(1,2),B(3,4),C(5,0)

求证:三角形ABC是等腰三角形。
2 2 ? ? ? ? 3 ? 1 ? 4 ? 2 ? 证明:因为 |AB|=

8

|AC|= ?5 -1? ? ?0 ? 2? ? 20
2 2

|CB|= ?5 ? 3? ? ?0 ? 4? ? 20
2 2

即|AC|=|BC|≠ |AB|且|AC|+|BC|>|AB| , 所以,三角形ABC为等腰三角形。
17

已知A(a,0), 〖例3〗

B(0,4) 两点的距离等于5,求a的值。
2 2

| AB |? 5, ?| AB | ? 5

?a ? 0? ? ?0 ? 4?
2
2 2 2

2

?5

2
2

a ? 5 ? 4 ? (5 ? 4)(5 ? 4) ? 9 ? 3

a ? ?3
18

〖练习〗已知A(a,0), B(0,15)两

点的距离等于17,求a的值。

| AB |? 17, ?| AB | ? 17
2

2

?a ? 0? ? ?0 ?15?
2
2 2 2

2

? 17

2
2

a ? 17 ? 15 ? 2 ? 32 ? 8
a ? ?8

19

〖例4〗 已知B(0,4)求 x轴上一点 A, 使|AB|=5,求A点坐标。 设A(a,0)

| AB |? 5, ?| AB | ? 5 2 2 2 ?a ? 0? ? ?0 ? 4? ? 5
2 2

a ?5 ?4 ?9 ?3 a ? ?3
2 2 2

2

所以A(3,0)或(-3,0)

20

〖课堂检测〗

2、求y轴上一点A,使其到 B(4,0) 的距离等于5。

设A(0, y),

| AB |? 5, ?| AB | ? 5 2 2 2 ?4 ? 0? ? ?0 ? y? ? 5 2 2 2 y ? 5 ? 4 ? 9, y ? ?3 所以A为(0,?3)或(0,3)
2 2

21

【例4】已知
2 2

证明:取A为坐标原点,AB所在直线为X轴建立平面直 角坐标系 ,依据平行四边形的性质可设点A,B,C, D的坐标为

AC ? BD ? 2 AB ? AD .
2 2

?

ABCD ,求证

?

A?0,0?, B?a,0?, C?b, c ?, D?b ? a, c ?.
2 2

所以 AB ? a ,
2 2 2

y

D (b-a, c)

AD ? ?b ? a ? ? c ,

C (b, c) x
22

AC ? b ? c ,
2 2 2

O

A(0,0) B(a,0)

BD ? ?b ? 2a ? ? c
2 2

2

AC ? BD ? 4a ? 2b ? 2c ? 4ab,
2 2 2 2 2

? 2(2a ? b ? c ? 2ab), 2 2 2 2 2 AB ? AD ? 2a ? b ? c ? 2ab, 2 2 2 2 所以 AC ? BD ? 2?AB ? AD ?.
2 2 2

y

D (b-a, c)

C (b, c) x
23

O

A(0,0) B(a,0)

2、中点公式

24

合作探究(二):中点公式
已知A(x1,y1), B(x2,y2),设 M(x,y)是线段AB的中点

A1M1 ? M1B1

y

x ? x1 ? x2 ? x
2 x ? x1 ? x2
x1 ? x2 x? 2
O

B
A
A1
(X1,0)

M

M1

B1

x
25

(X,0) (X2,0)

合作探究(二):中点公式
已知A(x1,y1), B(x2,y2), 设 M(x,y)是线段AB的中点
A2 M 2 ? M 2 B2

y ? y1 ? y2 ? y

y
B2 (0, y2 ) M 2 (0, y )

B
A
M

2 y ? y1 ? y2
y1 ? y2 y? 2

A2 (0, y1 )

O

x
26

即:

?

x1 ? x 2 x? 2

y1 ? y 2 y? 2
这就是线段中点坐标的 计算公式 ,简称

——

中点公式
27

1、求A与B的中点坐标
(1)A(-2,3),B(4,5)
?2?4 ? x ? ?1 ? 2 ? 中点为( 1, 4) ? 3?5 ? y? ?4 2 ?

(2)A(2,-3),B(-6,5)
2?6 ? ? x ? 2 ? ?2 ? 中点为( ? 2,1) ? ?3?5 ?y ? ?1 2 ?

28

2、已知中点M和A,求B坐标
(1)M(-2,3),A(4,5)
?x ? 4 ? 2 ? ?2 设B( x, y),? ? B为( y ?5 ? ?3 ? 2 ? 8, 1 )

(2)M(2,-3),A(-6,5)
? x?6 ? 2 ?2 设B( x, y),? ? B为( 10 ,? 11 ) y?5 ? ? ?3 ? 2

29

解:因为平行四边形的两条对角线中点 相同, 所以它们的中点的坐标也相同. y (x,y) 设D 点的坐标为(x,y). D

x ? 2 ?3?5 ? 2 2 y?2 0?2 ? 2 2
M O

【3】已知 :平行四边形ABCD的三个顶 点坐标A(- 3,0),B(2,-2),C(5,2). 求 顶点D的坐标。

C(5,2)

A(-3,0)

x
B(2,-2)
30

解得

x=0

∴D(0,4)

y=4

〖课堂检测〗

4、已知 : ABCD的三个顶点坐标分 别是A(- 1,-2),B(3,1),C(0,2).求:D 点的坐标。
? x ? 3 ? ?1 ? 0 ? x ? ?4 ?? ?? ? y ? 1 ? ?2 ? 2 ? y ? ?1

解:设D点的坐标(x,y),又AC与BD的中点重复。

所以D点的坐标(-4,-1)
31

1.两点间的距离公式;

d ( A, B) ?| AB |? ( x2 ? x1 ) ? ( y2 ? y1 )
2

2

2.中点坐标公式

?

x1 ? x 2 x? 2
y1 ? y 2 y? 2

32


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