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2014.8学大伟业几何(学生讲义)


2014 年 8 月 1.已知 ?ABC 是等腰三角形,且 AB ? AC , A 在 BC 上的投影为 D , P 为 ?ADC 内 一点,且 ?APB ? 90? , ?PBD ? ?PAD ? ?PCB 。设直线 CP, BP 与 AD 分别交于点

Q, R , T 是 线 段 AB 上 一 点 , S 是 AP 延 长 线 上 的 点 , 且 满 足

?TRB ? ?DQC ,
?PSR ? 2?PAR ,证明 RS ? RT 。
2.已知非等腰 ?ABC 的内切圆

I 与边 BC , CA, AB 分别切于点 A1 , B1 , C1 ,直线 AI 与

?ABC 的外接圆 O 分别交于点 A2 , B2 , C2 ,直线 B1C1 , C1 A1 , A1B1 与 BC , CA, AB 分别交于
点 A3 , B3 , C3 ,直线 A2 A3 , B2 B3 , C2C3 与 线交于一点。 3.已知 ?ABC 的内切圆

O 分别交于点 A4 , B4 , C4 ,证明 AA4 , BB4 , CC4 三

I 与边 BC , AC 分别切于点 D, E ,过点 D 作 DP ? BC ,与

I 交于点 P ,直线 AP 与 BC 交于点 M 。 N 为边 AC 上一点,且 AE ? CN ,直线 BN 与

I , AM 分别交于点 Q, R ,其中 Q 在 B, R 之间,证明 S?ABR ? SPQMN 。
4.已知非等腰 ?ABC 的外心、 内心分别为 O, I , 边 BC , CA, AB 的中点分别为 D, E, F ,

I 在边 AB 上的投影为 T ,?DEF 的外心为 P , 线段 OI 的中点为 Q , 若 A, P, Q 三点共线,
证明

AO BC ? ? 4。 OD AT
5.已知四边形 ABCD 内接于圆 ? ,点 P 是 AC 的延长线上一点,且 PB, PD 与圆 ? 相

切,过点 C 作圆 ? 的切线,分别与直线 PD, AD 交于点 Q, R ,直线 AQ 与圆 ? 的另一个交 点为 E ,证明 B, E , R 三点共线。 6. 已知四边形 ABCD 内接于圆 ? , ?ACD 和 ?ABC 的内心分别为 I1 , I 2 , ?ACD 和

?ABC 的内切圆半径分别为 r1 , r2 ,且 r1 ? r2 。圆 ? ? 与边 AB, AD 相切,且与圆 ? 内切于点
T ,过 T , A 分别与圆 ? 相切的直线交于点 K ,证明 I1 , I 2 , K 三点共线。
7.在圆内接凸四边形 ABCD 中, BC ? CD ,以 C 为圆心的圆 C 与 BD 相切, I 为 ?ABD 的内心,证明过点 I ,且与 AB 平行的直线与 C 相切。 8.已知圆 ? 与圆 ? 内切于点 P ,圆 ? 在圆 ? 的内部,圆 ? 的弦 AB 与圆 ? 切于点 C , 直线 PC 与圆 ? 的另一个交点为 Q ,圆 ? 的弦 QR, QS 分别为圆 ? 的切线, I , X , Y 分别为

?APB, ?ARB, ?ASB 的内心,证明 ?PXI ? ?PYI ? 90? 。

1

9.已知 O 为锐角 ?ABC 的外接圆, O1 与 O 内切于点 A ,且与 BC 切于点 D ,设

?ABC 的内心为 I , ?IBC 的外接圆 O2 与 O1 交于两点 E , F ,证明 O1 , E, O2 , F 四点共
圆。 10.已知 ?ABC 的内切圆与边 BC , CA, AB 分别切于点 D, E, F ,点 F 关于点 B 的对称 点为 T ,点 E 关于点 C 的对称点为 S ,证明 ?AST 的内心在 ?ABC 的内切圆的内部或 ?ABC 的内切圆上。 11.设 P 是锐角 ?ABC 内任意一点, P 关于边 BC , CA, AB 的对称点分别为 A1 , B1 , C1 , 证明 ?A 1B 1C1 的重心在 ?ABC 的内部。 12.已知非等腰锐角 ?ABC 的外心为 O ,P 是边 AB 上一点, 满足 ?BOP ? ?ABC ,Q 是边 AC 上一点,满足 ?COQ ? ?ACB , ?APQ 的外接圆为 称的直线与

K ,证明 BC 关于 PQ 对

K 相切。

13.已知 M 是 ?ABC 的角平分线 AD 的中点,以 AC 为直径的圆 ?1 与线段 BM 交于点

E ,以 AB 为直径的圆 ?2 与线段 CM 交于点 F ,证明 B, E, F , C 四点共圆。
14.在非等腰 ?ABC 中,其内切圆 垂直于 BI 的直线与

I 与边 BC , CA, AB 分别切于点 D, E, F ,过点 E 且

I 交于点 K ,过点 F 且垂直于 CI 的直线与 I 交于点 L , J 是线段 AB KL 的中点,证明 ?1? D, I , J 三点共线;? 2 ? 若 B, C 为定点, A 为平面上满足 ? k(k AC I 分别交于点 M , N , 直线 MN

为给定常数) 的动点, 且 A, B, C 三点不共线, 直线 IE , IF 与

与 IB, IC 分别交于点 P, Q ,则 PQ 的中垂线恒过一个定点。 15.设 ?ABC 中,?B, ?C 内的旁心分别为 B1 , C1 ,直线 B1C1 与 ?ABC 的外接圆交于点

D ? D ? A? ,过点 B1 , C1 分别垂直于 CA, AB 的直线交于点 E , ? 为 ?ADE 的外接圆,过
点 D 与圆 ? 相切的直线交直线 AE 于点 F ,过点 D 且垂直于 AE 的直线交 AE 于点 G ,交 圆 ? 于点 H ? H ? D? , ?HGF 的外接圆与圆 ? 交于点 I ? I ? H ? ,若 D 在 AH 上的投影 为 J ,证明 AI 过线段 DJ 的中点。 16.设两个锐角三角形的六个顶点在同一个圆上,若其中一个三角形的两边中点在另一 个三角形的九点圆上,证明这两个三角形的九点圆重合。 17.已知锐角 ?ABC 的外心为 O , M , N , P 分别为边 BC , CA, AB 的中点, ?OBC ,

?MNP 的外接圆交于两点 X , Y ,且 X , Y 在 ?ABC 的内部,证明 ?BAX ? ?CAY 。
2

18.已知 O 是圆 ?1 上一点,以 O 为圆心的圆 ?2 与圆 ?1 交于 P, Q 两点,圆 ?3 与圆 ?2 外 切于点 R ,与圆 ?1 内切于点 S ,且直线 RS 过点 Q ,若直线 PR, OR 与圆 ?1 的第二个交点 分别为 X , Y ,证明 QX // SY 。 19.已知 ?ABC 的内切圆

I 与边 BC 切于点 D ,ID 的中点为 T , 过点 I 且垂直于 AD

的直线与 AB, AC 分别交于点 K , L ,过点 T 且垂直于 AD 的直线与 AB, AC 分别交于点

M , N ,证明 KM LN ? BM CN 。
20.设四边形 ABCD 有内切圆 中点共线,证明 AB ? CD 。 21.在 ?ABC 中,已知过点 B 且与边 AC 切于点 A 的圆为 ?1 ,过点 C 且与边 AB 切于 点 A 的圆为 ?2 ,圆 ?1 与圆 ?2 的另一个交点为 D ,直线 AD 与 ?ABC 的外接圆的另一个交 点为 E ,证明 D 是线段 AE 的中点。 22.已知四边形 ABCD 的对角线 AC , BD 交于点 P ,点 X , Y , Z 分别在边 AB, BC , CD 上,使得

I ,对角线 AC , BD 交于点 E ,若线段 AD, BC, EI 的

AX BY CZ ? ? ? 2 ,若 XY , YZ 分别为 ?CYZ, ? BXY 的外接圆的切线,证明 XB YC ZD ?APD ? ? XYZ 。
23.已知 ?ABC 的边 BC 上的点 D, H 满足 AD 平分 ? A , AH ? BC ,AD 的中垂线与

以 AB 和 AC 为直径,且在 ?ABC 的外部的半圆分别交于点 X , Y ,证明四边形 XYDH 为 圆内接四边形。 24.在 ?ABC 中, ? A 内的旁切圆 ? A 与射线 AB, AC 分别切于点 P, Q , ? B 内的旁切 圆 ? B 与射线 BA, BC 分别切于点 M , N ,点 C 在直线 MN , PQ 上的投影分别为 K , L ,证明

M , K , L, P 四点共圆。
25.已知 ?ABC 为锐角三角形, AH 为边 BC 上的高线, J 为 ?ABH 中 ? B 内的旁心,

I 为 ?ACH 中 ?C 内的旁心,若 ?ABC 的内切圆与边 BC 切于点 P ,证明 I , J , P, H 四点
共圆。 26.已知两个半径不等的圆

O, O? 外离, O, O? 的一条内公切线 l 与两条外公切线

l1 , l2 分别交于点 B, C ,过点 B 且与 O, O? 均外切的的圆 O1 与 l1 的第二个交点为 P ,
过点 C 且与

O, O? 均外切的圆 O2 与 l2 的第二个交点为 Q , 证明 B, P, C, Q 四点共圆。
3

27.已知凸四边形 ABCD 的对角线 AC , BD 交于点 E ,且 ?EDC ? ?DEC ? ?BAD 。 若 F 是线段 BC 上一点,且满足 ?BAF ? ?EBF ? ?BFE ,证明 A, B, F , D 四点共圆。 28.在 ?ABC 中, AB ? AC ,其外接圆为

O ,以 BA 为半径的圆

B 与边 AC 交于

点K , 与 O 交于点 E , 直线 KE 与 O 交于点 F , 直线 BO 与 KE , AC 分别交于点 L, M , 直线 AE, BF 交于点 D ,证明 D, L, M , F 四点共圆,且 B, D, K , M , E 五点共圆。 29. 设 O 为 锐角 ?ABC 的 外心, AO, BO, CO 的 延 长线分别 与 BC , CA, AB 交于 点

D, E, F ,若 ?ABC ∽ ?DEF ,证明 ?ABC 是正三角形。
30.已知 D 是直角 ?ABC 的斜边 AB 内一点,满足 CD ? CB , O 为 ?ACD 的外心,

OD, CB 的延长线交于点 P , , ,, 过点 O 作 AB 的垂线, 与 CD 的延长线交于点 Q , 若 ACPQ
四点共圆,证明四边形 ACPQ 是正方形。

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