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2.1直线与圆的位置关系(1)


知识回顾:
点与圆有几种位置关系?

用r表示圆的半径,d表 示同一平面内点到圆心 的距离,则 (1)d<r (2)d=r (3)d>r 点在圆内 点在圆上 点在圆外

想一想:
直线与圆的位置有几种分类? 分类的标准是什么? 公共点的个数
.O

.O

.O

.
A

.
B l

.
切点D

l

l

直线和圆有两个 公共点, 叫做直线和圆 相交,

直线和圆有唯一 的公共点, 叫做直线和圆 相切。 这条直线叫圆的 切线

直线和圆没有 公共点, 叫做直线和圆 相离。

辨一辨:
1、看图判断直线l与 ⊙O的位置关系
(1) (2)

l
· O · O

l
(3)
· O

(4)
· O

l

l

r

r O d A B
A O

r d a

O d a A

a

一般地,直线与圆的位置关系有以下定理: 如果⊙O的半径为r,圆心O到直线l的距离为d.

d<r d= r d> r

直线l与⊙O相交 直线l与⊙O相切 直线l与⊙O相离

设⊙O的半径为r,圆心O到直线l的距离为d.根据 下列条件判断直线l与⊙O的位置关系.

(1)d=4,r=3;

∵d> r∴直线l与⊙O相离

3 (2)d= 2 , r=3 ; ∵ d < r∴直线l与⊙O相交 2 3 ( 3) d= 3 , r = 5 ; ∵d> r∴直线l与⊙O相离

2 √5 (4)d=

,r=20∵ ; d=r∴直线l与⊙O相切

例1:在Rt△ABC中,∠C=900,AC=8cm,BC=6cm,
以C为圆心,r为半径的圆与直线AB有怎样的位置关系?
(1)r =4.8cm;(2)r =4.5cm;(3)r =5cm

A

解:过C作CD⊥AB,垂足为D(如图),
AB ? AC 2 ? BC 2 ? 62 ? 82 ? 10 1 1 根据三角形的面积公式有: CD ? AB ? AC ? BC 2 2
AC ? BC 6 ? 8 ? ? 4.8cm AB 10 即圆心C到AB的距离d=2.4cm. ? CD ?
(1)当r =4.8cm时, (2)当r =4.5cm时, (3)当r =5cm时, ∵d=r ,因此⊙C和直线AB相切 ∵d>r ,因此⊙C和直线AB相离 ∵d<r ,因此⊙C和直线AB相交

D

B

变式1:在Rt△ABC中,∠C=90°AC=8cm,
BC=6cm,以C为圆心,r为半径作圆。
0cm<r<4.8cm 1.当r满足______________ 时,⊙C与直线AB相离。

2.当r满足r=4.8cm __________时, ⊙C与直线AB相切。 3.当r满足________ 时, ⊙C与直线AB相交。
r>4.8cm

变式二:若要使圆C与线段AB只有一个公共点,
这时圆C的半径 r 有什么要求?
A

当 r = 4.8
8
C D

B

或 6 < r ≤ 8时, 圆C与线段AB 只有一个公共点。

6

例1:已知:如图,P为∠ABC的角平分线上一
点,⊙P与BC相切,求证: ⊙P与AB相切.
设⊙P的半径为r, 点P到BC,AB的距离分别为 d1 , d 2

证明:

∵点P在∠ABC的角平分线上

? d1 ? d 2
又⊙P与AB相切 则d1 ? r ? d ? r ,
2

∴⊙P与BC相切

船有无触礁的危险
例2:在码头A的北偏东60°方向有一个海岛,离该岛中
心P的12海里范围内是一个暗礁区。货船从码头A由西向 东方向航行,行驶了10海里到达B,这时岛中心P在北偏 东45°方向, 若货船不改变航向,则货船会不会进入暗礁区?

思考:要判断货轮是否 有触礁危险,关键是要 解决怎样的一个数学问 题?
A



暗礁区
P

600

450 B H

例2:在码头A的北偏东60°方向有一个海岛,离该岛中 心P的12海里范围内是一个暗礁区。货船从码头A由西向 东方向航行,行驶了10海里到达B,这时岛中心P在北偏 若货船不改变航向,则货船会不会进入暗礁区 ? 东45°方向 ,
解: 画示意图如图所示: 暗礁区的圆心为P, 作PH⊥AB,垂足为H, 则 ∠PAH=30°, ∠PBH=45°,

? AH ? 3PH, BH=PH ∵AH-BH=AB=10 ? 3PH ? PH ? 10
10 ? ? 12 3 ?1



暗礁区
P

10 ? PH ? (海里) 3 ?1
600 A 450 B

H

∴货船不会进入暗礁区

拓展提升:
两个同心圆的半径分别是3cm和2 cm,AB是

大圆的一条弦.当与小圆相交、相切、相离时,
AB的长有什么要求?

谈谈本节课你有什么收获?

能力提升:
1.如图:已知点O和直线l,求作以点O为圆心,且 与直线l相切的圆.

2.已知⊙O的半径为r,点O到直线l的距离为d, 2 且 d ? 3 ? ?6 ? 2r ? ? 0 ,试判断直线l与⊙O的位置 关系。

(2)为了避开暗礁区,船 必须改变航向,问船至少 转过多少角度,才能避开 暗礁区?



暗礁区
P

思考:船恰好避开 暗礁区,此时船的 航线与暗礁区有怎 样的位置关系?

600 A

450 B

H


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