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2013贵州大学附中高考数学复习单元练习:导数及其应用


2013 贵州大学附中高考数学一轮复习单元练习--导数及其应用 I 卷 一、选择题 1.已知 A.—2 【答案】B 2. 已知函数 y=f(x)=x +1,则在 x=2,Δ x=0.1 时,Δ y 的值为 A.0.40 【答案】B 3.函数 B.0.41 C.0.43 D.0.44
2

,则 B.—1

=(

/>) C.0 D.1

f ( x) ? x3 ? 3x2 ? 9 x ? 3, 若函数 g ( x) ? f ( x) ? m在x ? [?2,5] 上有 3 个零点,则 m 的
( ) B. (-24,1] C.[1,8] 3 ,则 f(- )=( 2 D.[1,8)

取值范围为 【答案】D
?2 ? 4.设 f(x)=? ? ?f

A. (-24,8)
x+1

x≥0 x<0
B.2 2 1 D.- 2

x+1

)

3 A. 4 C. 2

【答案】B 5.已知对任意实数 x,有 f (? x) ? ? f ( x), g (? x) ? g ( x), 且 x ? 0 时, f ' ( x) ? 0, g ' ( x) ? 0 ,则 x ? 0 时( ) A. f ' ( x) ? 0, g ' ( x) ? 0 C. f ' ( x) ? 0, g ' ( x) ? 0 B. f ' ( x) ? 0, g ' ( x) ? 0 D. f ' ( x) ? 0, g ' ( x) ? 0

【答案】B 2 6. 某产品的总成本 y(万元)与产量 x(台)之间的函数关系是 y=3000+20x-0.1x (0<x<240, x∈N*), 若每台产品的售价为 25 万元,则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是 ( ) A.100 台 B.120 台 C.150 台 D.180 台 【答案】C 7. 函数 y ? A. 【答案】A 8.由直线 x ? A.

ln x 的最大值为( x
B. 1

) C

e ?1

e2

D

10 3

15 4

1 1 , x ? 2 ,曲线 y ? 及 x 轴所围成图形的面积为( ) x 2 17 1 B. C. ln 2 D.2 ln 2 4 2
( )

【答案】D 9.设 f ( x) ? ? x3 ? ax2 ? x ? 1 在(-∞,+∞)上是单调函数,则实数 a 的取值范围是

A.

? ??, ?

3? ?

? 3, ?? ?
C.

?
? ??, ? 3 ? ?

B. ?? 3, 3 ?

? ?

? ?

3, ?? D. ? 3, 3

? ?

?


【答案】B 10. 已知函数 A. C. 【答案】B ( f ( x) ? ? x 3 ? ax2 ? x ? 1 在 (??,??) 上是单调函数,则实数的取值范围是 B. D.

(??,? 3] ? [ 3,??)
(??,? 3) ? ( 3,??)

[ ? 3, 3 ]

( ? 3, 3 )

3 11.函数 y ? f(x) 在定义域( ? ,3 )内的图象如图所示,记 y ? f(x) 的导函数为 y ? f ' (x) ,则不等 2 式 f ' ( x) ? 0 的解集为( )

3 1 A. [? , ] ? [1,2) 2 2
1 4 8 B. [?1, ] ? [ , ] 2 3 3 1 C. [? ,1] ? ?2,3? 3 3 1 1 4 4 D. (? ,? ] ? [ , ] ? [ ,3) 2 3 2 3 3
【答案】C 12. 曲线 y=x+ln x 在点( e , e +2)处的切线在 y 轴上的截距为( A.1 【答案】A B.-1 C. e
2 2 2

) D.- e
2

II 卷 二、填空题 13.曲线 y=

1 2 3 x -2x 在点(1,- )处的切线的倾斜角为__________. 2 2

【答案】135°

?ax2 ? bx ? c x ? ?1 14.已知函数 f ( x) ? ? ,其图象在点(1, f (1) )处的切线方程为 y ? 2 x ? 1 , ? f (? x ? 2) x ? ?1
则它在点 (?3, f (?3)) 处的切线方程为 【答案】 y ? ?2 x ? 3 15. 已知函数 并且它的图象与直线 y ? ?3x ? 3 f ( x) ? x 3 ? ax2 ? bx ? c在x ? ?2 处取得极值, __ __ .

在点(1,0)处相切,则函数 f ( x ) 的表达式为 答案:

f ( x) ? x 3 ? x 2 ? 8x ? 6 f ( x) ? x 3 ? ax2 ? 1 的导函数为偶函数,则 a ?
.

16. 已知函数 【答案】0

三、解答题 17.设函数 f ( x) ? ( 2 ? a ) ln x ?

1 ? 2ax. x

(1)当 a ? 0 时,求 f ( x) 的极值; (2)设 g ( x ) ? f ( x ) ?

1 ,在 [1,??) 上单调递增,求 a 的取值范围; x

(3)当 a ? 0 时,求 f ( x) 的单调区间. 【答案】 (1)函数 f ( x ) 的定义域为 (0,??). 当 a ? 0 时, f ( x) ? 2 ln x ? 由 f ?( x) ? 0 得 x ?

1 2 1 2x ?1 . ,∴ f ?( x) ? ? 2 ? x x x x2

x

1 . f ( x), f ?( x) 随 x 变化如下表: 2 1 1 (0, ) 2 2
— 减函数 0 极小值

1 ( ,?? ) 2
+ 增函数

f ( x)

f ?( x)

故, f ( x) 极小值 ? f ( ) ? 2 ? 2 ln 2 ,没有极大值. (2)由题意, g ( x) ? (2 ? a) ln x ? 2ax ,在 [1,??) 上单调递增,

1 2

g ?( x) ?

2?a ? 2a ? 0 在 [1,??) 上恒成立 x

设 h( x) ? 2ax ? 2 ? a ? 0 在 [1,??) 上恒成立, 当 a ? 0 时, 2 ? 0 恒成立,符合题意. 当 a ? 0 时, h( x) 在 [1,??) 上单调递增, h( x) 的最小值为 h(1) ? 2a ? 2 ? a ? 0 ,得 a ? ?2 , 所以 a ? 0 当 a ? 0 时, h( x) 在 [1,??) 上单调递减,不合题意 所以 a ? 0 (3)由题意,

f ?( x) ?

2ax2 ? (2 ? a) x ? 1 x2

1 1 , x2 ? . a 2 1 1 若 a ? 0 ,由 f ?( x) ? 0 得 x ? (0, ] ;由 f ?( x) ? 0 得 x ? [ ,?? ). 2 2
令 f ?( x) ? 0 得 x1 ? ?

若 a ? 0 ,①当 a ? ?2 时, ?

1 1 1 1 1 1 ? , x ? (0,? ] 或 x ? [ ,?? ) , f ?( x) ? 0 ; x ? [? , ] , a 2 a 2 a 2

f ?( x) ? 0,
②当 a ? ?2 时, f ?( x) ? 0

1 1 1 1 1 1 ? , x ? (0,? ] 或 x ? [ ,?? ) , f ?( x) ? 0 ; x ? [? , ] , f ?( x) ? 0. a 2 a 2 a 2 1 1 综上,当 a ? 0 时,函数的单调递减区间为 ( 0, ] ,单调递增区间为 [ ,?? ) ; 2 2 1 1 1 1 当 a ? ?2 时,函数的单调递减区间为 (0,? ], [ ,?? ) ,单调递增区间为 [ ? , ] ; a 2 a 2 1 1 1 1 当 ? 2 ? a ? 0 时,函数的单调递减区间为 (0, ], [ ? ,?? ), 单调递增区间为 [? ,? ] 2 a 2 a
③当 ? 2 ? a ? 0 时, ?

18.已知函数 f ( x) ? ln x ?

1 3 x? ?1 . 4 4x

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)设 g ( x) ? ? x
2

? 2bx ? 4 ,若对任意 x1 ? (0 , 2) , x2 ? ?1 , 2? ,不等式 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 恒
1 3 x? ? 1 的定义域是 (0 , ? ?) 4 4x

成立,求实数 b 的取值范围. 【答案】 (I) f ( x) ? ln x ?

f ?( x) ?

1 1 3 4x ? x 2 ? 3 ? ? 2 ? x 4 4x 4x 2

由 x ? 0 及 f ?( x) ? 0 得 1 ? x ? 3 ;由 x ? 0 及 f ?( x) ? 0 得 0 ?

x ? 1 或 x ? 3,

故函数 f ( x ) 的单调递增区间是 (1 , 3) ;单调递减区间是 (0 , 1) , (3 , ? ?) (II)若对任意 x1 ? (0 , 2) , x2 问题等价于

? ?1 , 2? ,不等式 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 恒成立,

f ( x) min ? g ( x) max ,

由(I)可知,在 (0 , 2) 上, x ? 1 是函数极小值点,这个极小值是唯一的极值点, 故也是最小值点,所以 f ( x) min ? f (1) ? ?

1 ; 2

g( x) ? ?x2 ? 2bx ? 4 , x ??1, 2?

当 b ? 1 时, g ( x)max

? g (1) ? 2b ? 5 ;

当 1 ? b ? 2 时, g ( x)max 当 b ? 2 时, g ( x)max

? g (b) ? b2 ? 4 ;

? g (2) ? 4b ? 8 ;

?b ? 1 ?1 ? b ? 2 ?b ? 2 问题等价于 ? 或? 或? ? 1 ? 1 ? 1 ? ? 2b ? 5 ? ? b2 ? 4 ? ? 4b ? 8 ? ? ? ? 2 ? 2 ? 2
解得 b ? 1 或 1 ? b ?

14 或 b?? 2

即b ?

? 14 14 ? ,所以实数 b 的取值范围是 ? ?? , ? ? 2 2 ? ?

19. 如图,长方形物体 E 在雨中沿面 P(面积为 S)的垂直方向作匀速移动,速度为

v(v ? 0) ,

雨速沿 E 移动方向的分速度为 c(c ? R) .E 移动时单位时间内的淋雨量包括两部分: ( 1 )P 或 P

的平行面(只有一个面淋雨)的淋雨量,假设其值与

v?c

1 ×S 成正比,比例系数为 10 ; (2 )

1 y 其它面的淋雨量之和,其值为 2 ,记 为 E 移动过程中的总淋雨量,当移动距离 d=100,面积 3 S= 2 时.
(1)写出

y 的表达式 y 最少.

(2)设 0<v≤10,0<c≤5,试根据 c 的不同取值范围,确定移动速度 v ,使总淋雨量

3 1 |v?c|? 2, 【答案】 (1)由题意知,E 移动时单位时间内的淋雨量为 20 y?


100 3 1 5 ( | v ? c | ? ) ? (3 | v ? c | ?10) v 20 2 v .

5 5(3c ? 10) y ? (3c ? 3v ? 10) ? ? 15; v v (2)由(1)知,当 0 ? v ? c 时, 5 5(10 ? 3c) y ? (3v ? 3c ? 10) ? ? 15. v v 当 c ? v ? 10 时,
? 5(3c ? 10) ? 15, 0 ? v ? c ? ? v y?? ? 5(10 ? 3c) ? 15, c ? v ? 10 ? v ? 故 .

0?c?
①当

10 3c ymin ? 20 ? y 3 时, 是关于 v 的减函数.故当 v ? 10 时, 2 .

10 ?c?5 (0, c] 上, y 是关于 v 的减函数;在 (c,10] 上, y 是关于 v 的增函数;故 3 ②当 时,在
当 v ? c 时, 20.已知函数

ymin ?

50 c .

f ( x) ? a ln x ? ax ? 3(a ? R且a ? 0) .

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)若函数 y ? f ( x) 的图像在点 (2, f (2)) 处的切线的斜率为 1 ,问: m 在什么范围取值时,对

m ? f ?( x)] 在区间 (t ,3) 上总存在极值? 2 a (1 ? x ) 【答案】 (Ι )函数的定义域为 ? 0, ??? ,由 f ?( x ) ? 知: x
于任意的 t ? [1,2] ,函数 g ( x ) ? x ? x [
3 2

当 a ? 0 时,函数 f ( x ) 的单调增区间是 (0,1) ,单调减区间是 (1,??) ; 当 a ? 0 时,函数 f ( x ) 的单调增区间是 (1,??) ,单调减区间是 (0,1) ; (Ⅱ)由

f ?(2) ? ?

a ? 1 得 a ? ?2 , 2

∴ f ( x) ? ?2 ln x ? 2 x ? 3 ,

f ' ? x? ? 2 ?

2 x.

m ?m ? g ( x) ? x3 ? x 2 ? ? f '( x) ? ? x3 ? (2 ? ) x 2 ? 2 x 2 ?2 ? ,
∴ g '( x) ? 3x
2

? (4 ? m) x ? 2 ,

∵ 函数 g ( x) 在区间 (t ,3) 上总存在极值, ∴ g ?( x) ? 0 有两个不等实根且至少有一个在区间 (t ,3) 内 。 又∵函数 g ?( x ) 是开口向上的二次函数,且

? g ?(t ) ? 0 . g ?(0) ? ?2 ? 0 ,∴ ? ? g ?(3) ? 0

由 所以

g ?(t ) ? 0得m ?

2 2 ? 3t ? 4 ,∵ H (t ) ? ? 3t ? 4 在 [1,2] 上单调递减, t t

H (t ) min ? H (2) ? ?9 ,∴ m ? ?9 ,
37 ; 3

由 g ?(3) ? 27 ? 3(4 ? m) ? 2 ? 0 ,解得 m ? ? 所以当 ?

37 m ? m ? ?9 时,对于任意 t ? [1,2] ,函数 g ( x) ? x 3 ? x 2 [ ? f ?( x)] , 3 2

在区间 (t ,3) 上总存在极值 . 21.设函数 f(x)=ln(2x+3)+x ①讨论 f(x)的单调性; ②求 f(x)在区间[-1,0]的最大值和最小值. 【答案】f(x)的定义域为((1)f′ (x)=
2

3 2

,+∞)

2 2x ? 3

? 2x

=

4 x 2 ? 6 x ? 2 2(2 x ? 1)( x ? 1) ? 2x ? 3 2x ? 3

3 1 1 <x<-1 时,f′ (x)>0;当-1<x<- 时,f′ (x)<0;当 x>- 时,f′ (x)>0. 2 2 2 3 1 1 从而,f(x)在区间(- ,-1) , (- ,+∞)单调递增,在区间(-1,- )单调递减 2 2 2
当(2)由(1)知 f(x)在区间[-1,0]的最小值为 f(又 f(-1)=1,f(0)=ln3>1, ∴最大值为 f(0)=ln3 22.已知函数 (1)求函数

1 2

)=ln2+

1 4

,

f ?x? ? x ln x.

f ?x ? 的极值点; y ? f ?x ? 相切,求直线 l 的方程;

(2)若直线 l 过点(0,—1) ,并且与曲线 (3)设函数 g

?x? ? f ?x? ? a?x ? 1?,其中 a ? R ,求函数 g ?x ? 在 ?1, e? 上的最小值.(其中 e 为自

然对数的底数)

【答案】 (1) 而

f ??x? ? ln x ? 1, x >0.
1 1 f ?? x ? >0 ? lnx+1>0 ? x > , f ?? x ? <0 ? ln x ? 1 <0 ? 0< x < , e e

所以

? 1? ?1 ? f ?x ? 在 ? 0, ? 上单调递减,在 ? ,?? ? 上单调递增. ? e? ?e ?
1 是函数 f ? x ? 的极小值点,极大值点不存在. e

所以 x ?

(2)设切点坐标为 ?x0 , y0 ? ,则 y0 所以切线 l 的方程为 又切线 l 过点 解得 x0

? x0 ln x0 , 切线的斜率为 ln x0 ? 1,

y ? x0 ln x0 ? ?ln x0 ? 1??x ? x0 ?.

?0,?1? ,所以有 ?1 ? x0 ln x0 ? ?ln x0 ?1??0 ? x0 ?.

? 1, y0 ? 0.

所以直线 l 的方程为 y ? x ? 1. (3) g

?x? ? x ln x ? a?x ?1? ,则 g??x? ? ln x ?1 ? a.

g ??x ? <0 ? ln x ? 1 ? a <0 ? 0< x < ea?1 , g??x? >0 ? x > ea ?1 ,
所以 g ①当 e 所以 g
a ?1

?x ? 在 ?0, ea?1 ?上单调递减,在 ?ea?1 ,???上单调递增.

? 1, 即 a ? 1 时, g ?x ? 在 ?1, e? 上单调递增,

?x ? 在 ?1, e? 上的最小值为 g ?1? ? 0.
a ?1

②当 1< e

<e,即 1<a<2 时, g

?x ? 在 ?1, ea?1 ?上单调递减,在 ?ea?1 , e?上单调递增.

g ?x ? 在 ?1, e? 上的最小值为 g ?ea?1 ? ? a ? ea?1.
③当 e 所以 g

? e a ?1 , 即 a ? 2 时, g ?x ? 在 ?1, e? 上单调递减,

?x ? 在 ?1, e? 上的最小值为 g ?e? ? e ? a ? ae. ?x ? 的最小值为 0;当 1<a<2 时, g ?x ? 的最小值为 a ? e a ?1 ;

综上,当 a ? 1 时, g 当 a ? 2 时, g

?x ? 的最小值为 a ? e ? ae.


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