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2013届高考理科数学知识点总结


函数
知识回顾: (一) 映射与函数 1. 映射与一一映射 2.函数 函数三要素是定义域,对应法则和值域,而定义域和对应法则是起决定作用的要素,因 为这二者确定后, 值域也就相应得到确定, 因此只有定义域和对应法则二者完全相同的函数 才是同一函数. 3.反函数 (二)函数的性质 ⒈函数的单调性 定义:对于函数 f(x)的定义域 I 内某个区间上的任意两个自变量的值 x1

,x2, ?若当 x1<x2 时,都有 f(x1)<f(x2),则说 f(x)在这个区间上是增函数; ?若当 x1<x2 时,都有 f(x1)>f(x2),则说 f(x) 在这个区间上是减函数. 若函数 y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,则就说函数 y=f(x)在这一区间具有(严格 的)单调性,这一区间叫做函数 y=f(x)的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数. 2.函数的奇偶性

y轴对称 ? ?? y ? f( ? x) 3. 对称变换:①y = f(x) ??

x轴对称 ? ?? y ? ? f(x) ②y =f(x) ??

???? y ? ? f( ? x) ③y =f(x) ?原点对称

4. 判断函数单调性(定义)作差法:对带根号的一定要分子有理化,例如: (x1 ? x 2) ( x1 ? x 2 ) 2 2 2 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? x 2 1 ?b ? x 2 ?b ? 2 2 xx ? b 2 ? x1 ? b2 在进行讨论. 5. ?熟悉常用函数图象: ?熟悉分式图象:
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例: y ?

2x ? 1 7 ? 2? ? 定义域 {x | x ? 3, x ? R} , x ?3 x ?3



y

值域 { y | y ? 2, y ? R} →值域 ? x 前的系数之比. (三)指数函数与对数函数 指数函数

2 x 3

y ? a x (a ? 0且a ? 1) 的图象和性质
a>1
4.5

0<a<1
4.5 4
4

图 象

3.5

3.5

3

3

2.5

2.5

2

2

1.5

1.5

1

y=1
1 0.5

y=1

0.5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

-4
-0.5

-3

-2

-1

1

2

3

4

-0.5

-1

-1

(1)定义域:R 性 质 (2)值域: (0,+∞) (3)过定点(0,1) ,即 x=0 时,y=1 (4)x>0 时,y>1;x<0 时,0<y<1 (5)在 R 上是增函数 ?对数运算: (4)x>0 时,0<y<1;x<0 时,y>1. (5)在 R 上是减函数

loga ( M ? N ) ? loga M ? loga N (1) loga M ? loga M ? loga N N 1 loga M n logb N logb a

loga M n ? n loga ?? M ?12) loga n M ? a log a
N

?N

换底公式: loga N ?

推论: loga b ? logb c ? logc a ? 1 ? loga1 a2 ? loga 2 a3 ? ... ? loga n ?1 an ? loga1 an
.函数的定义域的求法:布列使函数有意义的自变量的不等关系式,求解即可求得函数 的定义域.常涉及到的依据为①分母不为 0; ②偶次根式中被开方数不小于 0; ③对数的真数 大于 0,底数大于零且不等于 1;④零指数幂的底数不等于零;⑤实际问题要考虑实际意义 等. .函数值域的求法:①配方法(二次或四次);②“判别式法” ;③反函数法;④换元法; ⑤不等式法;⑥函数的单调性法.

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三角函数
1. 三角函数的定义域: 三角函数 f ( x) ? sinx
f ( x) ? cosx f ( x) ? tanx f ( x) ? cotx

?x | x ? R? ?x | x ? R?
1 ? ? ? x | x ? R且x ? k? ? ? , k ? Z ? 2 ? ? ?x | x ? R且x ? k? , k ? Z?
cos?
2 s in ? ?co2 s? ? 1

定义域

2、同角三角函数的基本关系式: sin ? ? tan ? 3、诱导公式:


k? “奇变偶不变,符号看象限” ? ?的三角函数化为?的三角函数,概括为: 2

三角函数的公式: (一)基本关系 sin(? ? x) ? ? sin x s i n2? ( ? x) ? ? s i n x cos(? ? x) ? ? cos x c o s 2? ( ? x) ? c o s x tan( ? ? x) ? tan x tan 2? ( ? x) ? ? t a n x cot( ? ? x) ? cot x cot 2? ( ? x) ? ? c o x t
cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ? cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ? sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos? sin ? sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos? sin ?
tan? ? tan ? 1 ? tan? tan ? tan? ? tan ? 1 ? tan? tan ?
6? 2, sin 75 ? ? cos15 ? ? 4

sin ?(? x) ? s i n x cos ?(? x) ? ? c o s x tan ? (? x) ? ? t a n x co? t (? x) ? ? c o x t

sin 2? ? 2 s i n ? c o? s
2 2 co2 s? ? c o 2 s? ? s i n ? ? 2c o 2 s ? ?1 ? 1 ? 2 s i n ?

tan 2? ?
sin ?? 2 cos

2t a ? n
2 1? t a n ?

?

1? c o ? s 2 1 ? cos? 2

tan( ? ? ?) ?

?
2

??

tan( ? ? ?) ?

tan

?
2

??

1 ? cos? sin ? 1 ? cos? ? ? 1 ? cos? 1 ? cos? sin ?

sin15 ? ? cos 75 ? ?

6? 2 4

, ,.
y ? A sin ??x ? ? ?

4. 正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质:
y ? sin x

y ? cos x

y ? tan x
1 ? ? ? x | x ? R且x ? k? ? ? , k ? Z ? 2 ? ?

y ? cot x

(A、 ? >0) R

定义域 值域 周期性 奇偶性

R
[?1,?1]

R
[?1,?1]

?x | x ? R且x ? k? , k ? Z?
R
?

R
?

?? A, A?
2?

2?

2?

?

奇函数

偶函数

奇函数

奇函数

当 ? ? 0, 非奇非偶 当 ? ? 0, 奇函数

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[?

?
2

? 2k? ,

[?2k ? 1?? , 2k? ]

; ??

? ? ? ? ? k? , ? k? ? 2 ? 2 ?

?k? , ?k ? 1?? ? 上为减函
数( k ? Z )

?
2

? 2k? ]

上为增函 数 ; 单调性
[

上为增函 数 [2k? , ?2k ? 1?? ] 上为减函 数 ( k ?Z )

上 为 增 函 数 ( k ?Z )

? ? 2k? ? ? ? ? 2k? ? ?

? ? 2 ( A), ? ? ? ? 1 ? ? ?? ? 2 (? A)? ? ? ? ??

?

?

2 3? ? 2 k? ] 2

? 2 k? ,

上为增函数; ? ? ? 2k? ? ? ?
2

上为减函 数 ( k ?Z )

? ? ( A), ? ? ? ? ? ? ? 3 ? 2k? ? 2 ? ? ? ? (? A)? ? ? ? ?

上 为 减 函 数 ( k ?Z ) 注意:① y ? ? sin x 与 y ? sin x 的单调性正好相反; y ? ? cos x 与 y ? cos x 的单调性也同样相 反.一般地,若 y ? f ( x) 在 [a, b] 上递增(减) ,则 y ? ? f ( x) 在 [a, b] 上递减(增).


② y ? sin x 与 y ? cos x 的周期是 ? . ③ y ? sin(?x ? ? ) 或 y ? cos(?x ? ? ) ( ? ? 0 )的周期 T ?
y ? tan

y

2?

?

.
O

x

x 的周期为 2 ? ( ? T? ? T ? 2? ,如图,翻折无效). 2 ?

④ y ? sin(?x ? ? ) 的对称轴方程是 x ? k? ?

?
2

(k ?Z ) ,对称中心( k? ,0 ) ; y ?( o s c

?x ? ? ) 的

对 称 轴 方 程 是 x ? k? ( k ? Z ) , 对 称 中 心 ( k? ? 1 ? ,0 ) ; y?a tn ( ?x ? ? ) 的 对 称 中 心
2



k? ,0 ). y ? cos 2 x ?原点对称 ?? ?? y ? ? cos(?2 x) ? ? cos 2 x 2
?
2

⑤当 tan? · tan ? ? 1, ? ? ? ? k? ?

tan ? ? ?1, ? ? ? ? k? ? (k ? Z ) ; tan? ·

?
2

(k ? Z ) .

? ? ⑥ y ? cos x 与 y ? sin? ? x ? ? 2k? ? 是同一函数, 2 ? ?
⑦函数 y ? tan x 在 R 上为增函数.(× ) [只能在某个单调区间单调递增. 若在整个定义域,

y ? tan x 为增函数,同样也是错误的].
⑧定义域关于原点对称是 f ( x) 具有奇偶性的必要不充分条件.(奇偶性的两个条件:一是定 义域关于原点对称(奇偶都要) ,二是满足奇偶性条件,偶函数: f (? x) ? f ( x) ,奇函数: f ( ? x ) ? ? f ( x) )
1 奇偶性的单调性:奇同偶反. 例如: y ? tan x 是奇函数, y ? tan(x ? ? ) 是非奇非偶.(定 3 义域不关于原点对称)

奇函数特有性质:若 0 ? x 的定义域,则 f ( x) 一定有 f (0) ? 0 .( 0 ? x 的定义域,则无此性

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质)


⑨ y ? sin x 不是周期函数; y ? sin x 为周期函数( T ? ? ) ; ; y ? cos x 为周期函数( T ? ? ) ; y ? cos x 是周期函数(如图)

y



y

x

1/2 x

y=cos|x|图象

1 ,并非所有周期函数都有最小正周期,例如: y ? cos 2 x ? 的周期为 ? (如图) 2

y=|cos2x+1/2|图象

y ? f ( x) ? 5 ? f ( x ? k ), k ? R .

⑩ y ? a cos? ? b sin ? ? a 2 ?b 2 sin(? ? ? ) ? cos? ?

b 有 a 2 ?b 2 ? y . a

三角函数图象的作法:
1) 、描点法及其特例——五点作图法(正、余弦曲线) ,三点二线作图法(正、余切曲线). 2) 、利用图象变换作三角函数图象.

向量

平面向量
向量的概念? (1)向量的基本要素:大小和方向.?(2)向量的表示:几何表示法 AB ;字母表示:a; 坐标表示法 a=xi+yj=(x,y).? (3)向量的长度:即向量的大小,记作|a|.? (4)特殊的向量:零向量 a=O ? |a|=O.? 单位向量 aO 为单位向量 ? |aO|=1.? (5)相等的向量:大小相等,方向相同?(x1,y1)=(x2,y2) ? ?

? x1 ? x 2 ? y1 ? y 2

(6) 相反向量:a=-b ? b=-a ? a+b=0 (7)平行向量(共线向量):方向相同或相反的向量,称为平行向量.记作 a∥b.平行向量也称 为共线向量.? 3.向量的运算? 运算类型 几何方法 坐标方法 运算性质

? ? ? ? a?b ? b?a
向量的 加法 1.平行四边形法则 2.三角形法则

? ? a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 )

? ? ? ? ? ? (a ? b) ? c ? a ? (b ? c)

AB ? BC ? AC
向量的 减法

三角形法则

? ? a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 )

? ? ? ? a ? b ? a ? (?b)

??? ? ??? ? AB ? ? BA , OB ? OA ? AB

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1. ? a 是 一 个 向 量 , 满 数 乘 向 量 足: | ? a |?| ? || a | 2. ? >0 时, ? a与a 同向;

?

?

?

? ( ? a) ? (?? )a
? ? ? ? (? ? ? ) a ? ? a ? ? a

?

?

? ? ? ?

? a ? ( ? x, ? y )

? ( a ? b) ? ? a ? ? b
? ? ? ? a // b ? a ? ? b

? ?

?

?

? <0 时, ? a与a 异向;
? ? ? =0 时, ? a ? 0 . ? ? a ? b 是一个数

? ? ? ? a ?b ? b? a
? ? ? ? ? ? (? a) ? b ? a ? (? b) ? ? (a ? b)

向 量 的 数 量 积

? ? ? ? 1. a ? 0或b ? 0 时, ? ? a ?b ? 0 . ? ? ? ? a ? 0且b ? 0时, 2. ? ? ? ? a? b ?| a || b | cos( a, b)

? ? a ? b ? x1 x2 ? y1 y2

? ? ? ? ? ? ? ( a ? b) ? c ? a ? c ? b ? c
?2 ? ? ? a ?| a |2 即|a|= x 2 ? y 2

? ? ? ? | a ? b |?| a || b |

4.重要定理、公式 (1)平面向量基本定理? e1,e2 是同一平面内两个不共线的向量,那么,对于这个平面内任一向量,有且仅有一 对实数λ 1, λ 2,使 a=λ 1e1+λ 2e2.? (2)两个向量平行的充要条件? a∥b ? a=λ b(b≠0) ? x1y2-x2y1=O.? (3)两个向量垂直的充要条件? a⊥b ? a·b=O ? x1x2+y1y2=O.?

x ? x2 ? x? 1 , ? 1 ? 2 OP OP OP = ( + )或 ? 1 2 中点公式 2 ? y ? y1 ? y 2 . ? 2 ?
正、余弦定理? 正弦定理:

a b c ? ? ? 2 R. sin A sin B sin C
2 2 2

余弦定理:a =b +c -2bccosA,? 2 2 2 b =c +a -2cacosB,? 2 2 2 c =a +b -2abcosC.? 三角形面积计算公式: 设△ABC 的三边为 a,b,c,其高分别为 ha,hb,hc,半周长为 P,外接圆、内切圆的半径 为 R,r. ①S△=1/2aha=1/2bhb=1/2chc ②S△=Pr ③S△=abc/4R
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④S△=1/2sinC·ab=1/2ac·sinB=1/2cb·sinA

⑤S△= P?P ? a ??P ? b ??P ? c ?

[海伦公式]

⑥S△=1/2(b+c-a)ra[如下图]=1/2(b+a-c)rc=1/2(a+c-b)rb [注]:到三角形三边的距离相等的点有 4 个,一个是内心,其余 3 个是旁心. 如图: A A
A

A cD I B aE C
ra

c B D E ra ra I a

b

c b O a B
B N E F

F b

C F

C

C

1图

图2

图3

图4

图 1 中的 I 为 S△ABC 的内心, S△=Pr 图 2 中的 I 为 S△ABC 的一个旁心,S△=1/2(b+c-a)ra 附:三角形的五个“心” ; 重心:三角形三条中线交点. 外心:三角形三边垂直平分线相交于一点. 内心:三角形三内角的平分线相交于一点. 垂心:三角形三边上的高相交于一点. 旁心:三角形一内角的平分线与另两条内角的外角平分线相交一点. 空间向量 1.空间向量的概念: 具有大小和方向的量叫做向量 注:?空间的一个平移就是一个向量 ?向量一般用有向线段表示 同向等长的有向线段表示同一或相等的向量 ?空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示 2.空间向量的运算 定义:与平面向量运算一样,空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下
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? ? OB ? OA ? AB ? a ? b ? ? BA ? OA ? OB ? a ? b
? OP ? ?a (? ? R)
运算律:?加法交换律: a ? b ? b ? a

?

?

?

?
?

?加法结合律: (a ? b ) ? c ? a ? (b ? c ) ?数乘分配律: ? (a ? b ) ? ?a ? ?b
王新敞
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?

?

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3 共线向量 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合, 则这些向量叫做共线向量或平行 向量. a 平行于 b 记作 a // b .

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?

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当我们说向量 a 、 b 共线(或 a // b )时,表示 a 、 b 的有向线段所在的直线可能是同 一直线,也可能是平行直线. 4.共线向量定理及其推论: 共线向量定理:空间任意两个向量 a 、b ( b ≠ 0 ) , a // b 的充要条件是存在实数λ , 使 a =λ b . 推论:如果 l 为经过已知点 A 且平行于已知非零向量 a 的直线,那么对于任意一点 O, 点 P 在直线 l 上的充要条件是存在实数 t 满足等式

?

?

?

?

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? OP ? OA ? t a .
其中向量 a 叫做直线 l 的方向向量. 5.向量与平面平行:

?

已知平面 ? 和向量 a ,作 OA ? a ,如果直线 OA 平行于 ? 或在 ? 内,那么我们说向量 ? ? a 平行于平面 ? ,记作: a // ? . 通常我们把平行于同一平面的向量,叫做共面向量 说明:空间任意的两向量都是共面的 6.共面向量定理:
王新敞
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?

??? ?

?

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? ? ? p ? xa ? yb

如 果 两 个 向 量 a , b 不 共 线 , p 与 向 量 a , b 共 面 的 充 要 条 件 是 存 在 实 数 x, y 使
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? ?

?

? ?

推论:空间一点 P 位于平面 MAB 内的充分必要条件是存在有序实数对 x, y ,使 ???? ???? ???? ??? ? ???? ? ???? ???? MP ? x MA? y MB 或对空间任一点 O ,有 OP ? OM ? xMA ? yMB ① ①式叫做平面 MAB 的向量表达式
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7 空间向量基本定理:
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如果三个向量 a , b , c 不共面,那么对空间任一向量 p ,存在一个唯一的有序实数组

? ? ?

?

? ? ? ? x, y, z ,使 p ? xa ? yb ? zc

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推论:设 O, A, B, C 是不共面的四点,则对空间任一点 P ,都存在唯一的三个 有序实数 x, y, z ,使 OP ? xOA ? yOB ? zOC 8 空间向量的夹角及其表示:
王新敞
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??? ?

??? ?

??? ?

????
王新敞
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A ? aO ,B b? 已知两非零向量 a , b , 在空间任取一点 O , 作O

? ?

??? ?

? ? ???

?

, 则 ?A O B 叫做向量 a 与

?

? ? ? ? ? ? ? ? ? b 的 夹 角 , 记 作 ? a , b ? ; 且 规 定 0 ?? a , b ?? ? , 显 然 有 ? a , b ??? b , a ? ; 若
? ? ? ? ? ? ? ? a , b ?? ,则称 a 与 b 互相垂直,记作: a ? b . 2
9.向量的模: 设 OA ? a ,则有向线段 OA 的长度叫做向量 a 的长度或模,记作: | a | . 10.向量的数量积: a ? b ? | a | ? | b | ? cos ? a , b ? .
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??? ?

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??? ?
?

?

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已知向量 AB ? a 和轴 l , e 是 l 上与 l 同方向的单位向量,作点 A 在 l 上的射影 A? , 作点 B 在 l 上的射影 B? ,则 A?B? 叫做向量 AB 在轴 l 上或在 e 上的正射影. 可以证明 A?B? 的长度 | A?B? |?| AB | cos ? a, e ??| a ? e | . 11.空间向量数量积的性质: (1) a ? e ?| a | cos ? a, e ? . (2) a ? b ? a ? b ? 0 . (3) | a | ? a ? a .
2

??? ?

?

?

???? ?

??? ?

?

???? ?

???? ?

??? ?

? ?

? ?

? ?

?

? ?

?

?

? ?

?

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12.空间向量数量积运算律: (1)(? a ) ? b ? ? (a ? b ) ? a ? (?b ) . (2)a ? b ? b ? a(交换律) (3)a ? (b ? c ) ? a ? b ? a ? c (分配律) . 空间向量的坐标运算 一.知识回顾: (1)空间向量的坐标:空间直角坐标系的 x 轴是横轴(对应为横坐标) ,y 轴是纵轴(对应 为纵轴) ,z 轴是竖轴(对应为竖坐标). ①令 a =(a1,a2,a3), b ? (b1 , b2 , b3 ) ,则
a ? b ? (a 1 ?b1 ,a 2 ?b 2 ,a 3 ?b 3 )

? ?

? ?

?

?

? ?

? ?

? ? ?

? ?

? ?

? a ? (?a 1 , ?a 2 , ?a 3 )(? ? R)
a1 a 2 a 3 ? ? b1 b 2 b 3

a ? b ?a 1 b1 ? a 2 b 2 ? a 3 b 3 a ? b ?a 1 b1 ? a 2 b 2 ? a 3 b 3 ? 0

a ∥ b ? a 1 ? ?b 1 , a 2 ? ? b 2 , a 3 ? ? b 3 ( ? ? R ) ?

a ? a ? a ? a 1 2 ?a 2 2 ?a 3
? ? ? ? a ?b cos ? a , b ?? ? ? ? | a |?|b |

2

(用到常用的向量模与向量之间的转化: a 2 ? a ? a ? a ? a ? a )
a1b1 ? a 2 b2 ? a 3 b3

2 2 2 2 2 a1 ? a2 ? a3 ? b12 ? b2 ? b3

②空间两点的距离公式: d ? ( x 2 ? x1 ) 2 ? ( y 2 ? y1 ) 2 ? ( z 2 ? z1 ) 2 . (2)法向量:若向量 a 所在直线垂直于平面 ? ,则称这个向量垂直于平面 ? ,记作 a ? ? , 如果 a ? ? 那么向量 a 叫做平面 ? 的法向量. (3)用向量的常用方法: ①利用法向量求点到面的距离定理:如图,设 n 是平面 ? 的法向量,AB 是平面 ? 的一条射 线,其中 A ?? ,则点 B 到平面 ? 的距离为
| AB ? n | |n|

.

②利用法向量求二面角的平面角定理: 设 n 1 , n 2 分别是二面角 ? ? l ? ? 中平面 ? , ? 的法向量,
n1 , n 2 则 n 1 , n 2 所成的角就是所求二面角的平面角或其补角大小 ( n 1 , n 2 方向相同, 则为补角,

反方,则为其夹角).
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③证直线和平面平行定理:已知直线 a ?? 平面 ? , A ? B ? a, C ? D ?? ,且 CDE 三点不共线, 则 a∥ ? 的充要条件是存在有序实数对 ? ? ? 使 AB ? ? CD ? ? CE . (常设 AB ? ? CD ? ? CE 求解
?, ? 若 ?, ? 存在即证毕,若 ?, ? 不存在,则直线 AB 与平面相交).
A n


B

B

?
?
C A



n1

C

D E

n2

?

?

不 等 式 知识要点 1. 不等式的基本概念 不等(等)号的定义: a ? b ? 0 ? a ? b; a ? b ? 0 ? a ? b; a ? b ? 0 ? a ? b. 2.不等式的基本性质 (1) a ? b ? b ? a (对称性) (2) a ? b, b ? c ? a ? c (传递性) (3) a ? b ? a ? c ? b ? c (加法单调性) (4) a ? b, c ? d ? a ? c ? b ? d (同向不等式相加) (5) a ? b, c ? d ? a ? c ? b ? d (异向不等式相减) (6) a. ? b, c ? 0 ? ac ? bc (7) a ? b, c ? 0 ? ac ? bc (乘法单调性) (8) a ? b ? 0, c ? d ? 0 ? ac ? bd (同向不等式相乘)
(9) a ? b ? 0, 0 ? c ? d ? a b (异向不等式相除) ? c d

(10) a ? b, ab ? 0 ?

1 1 (倒数关系) ? a b

(11) a ? b ? 0 ? a n ? b n (n ? Z , 且n ? 1) (平方法则) (12) a ? b ? 0 ? n a ? n b (n ? Z , 且n ? 1) (开方法则) 3.几个重要不等式 (1) 若a ? R, 则 | a |? 0, a 2 ? 0 (2) 若a、b ? R ? , 则a 2 ? b 2 ? 2ab(或a 2 ? b 2 ? 2 | ab |? 2ab) (当仅当 a=b 时取等号) (3)如果 a,b 都是正数,那么
ab ? a ? b (当仅当 a=b 时取等号) . 2

极值定理:若 x, y ? R ? , x ? y ? S , xy ? P, 则: 1 如果 P 是定值, 那么当 x=y 时,S 的值最小; ○ 2 如果 S 是定值, 那么当 x=y 时,P 的值最大. ○ 利用极值定理求最值的必要条件: 一正、二定、三相等.
(4)若a、b、c ? R ? , 则 a?b?c 3 ? abc (当仅当 a=b=c 时取等号) 3

b a (5) 若ab ? 0, 则 ? ? 2 (当仅当 a=b 时取等号) a b

(6)a ? 0时, | x |? a ? x 2 ? a 2 ? x ? ?a 或 x ? a;

| x |? a ? x 2 ? a 2 ? ?a ? x ? a

(7) 若a、b ? R, 则 || a | ? | b ||?| a ? b |?| a | ? | b |
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1 1 1 1 1 1 1 常用不等式的放缩法:① ? ? ? 2? ? ? (n ? 2) n n ? 1 n(n ? 1) n n(n ? 1) n ? 1 n
② n ?1 ? n ?

1 n ? n ?1

?

1 2 n

?

1 n ? n ?1

? n ? n ? 1(n ? 1)

(2)柯西不等式: 若a1 , a2 , a3 ,?, an ? R, b1 , b2 , b3 ?, bn ? R; 则

2 2 2 2 2 2 2 (a1b1 ? a 2 b2 ? a3b3 ? ? ? a n bn ) 2 ? (a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an )(b12 ? b2 ? b3 ? ?bn ) a a a1 a 2 3 n 当且仅当 ? ? ? ? ? 时取等号 b1 b2 b3 bn

不等式证明的几种常用方法 比较法、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法、构造法. 不等式的解法

直线和圆的方程
一、直线方程. 1. 直线的倾斜角:一条直线向上的方向与 x 轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜 角,其中直线与 x 轴平行或重合时,其倾斜角为 0,故直线倾斜角的范围是
0 ? ? ? ? 180? (0 ? ? ? ? ) .

注:①当 ? ? 90? 或 x 2 ? x1 时,直线 l 垂直于 x 轴,它的斜率不存在. ②每一条直线都存在惟一的倾斜角,除与 x 轴垂直的直线不存在斜率外,其余每一条直线都 有惟一的斜率,并且当直线的斜率一定时,其倾斜角也对应确定. 2. 直线方程的几种形式:点斜式、截距式、两点式、斜切式. 3. ?两条直线平行: l 1 ∥ l 2 ?k 1?k 2 两条直线平行的条件是:① l 1 和 l 2 是两条不重合的直线. ②在 l 1 和 l 2 的斜率 都存在的前提下得到的. 因此,应特别注意,抽掉或忽视其中任一个―前提‖都会导致结论的 错误. (一般的结论是:对于两条直线 l 1,l 2 ,它们在 y 轴上的纵截距是 b1 ,b 2 ,则 l 1 ∥ l 2 ?k 1?k 2 , 且 b1 ?b 2 或 l 1,l 2 的斜率均不存在,即 A1 B 2 ? B1 A 2 是平行的必要不充分条件,且 C 1?C 2 ) 推论:如果两条直线 l 1,l 2 的倾斜角为 ? 1,? 2 则 l 1 ∥ l 2 ?? 1?? 2 . ?两条直线垂直: 两条直线垂直的条件:①设两条直线 l 1 和 l 2 的斜率分别为 k 1 和 k 2 ,则有 l 1?l 2 ?k 1k 2 ? ?1 这 里的前提是 l 1,l 2 的斜率都存在. ② l 1?l 2 ?k 1? 0 ,且 l 2 的斜率不存在或 k 2 ? 0 ,且 l 1 的斜率不 存在. (即 A1 B 2 ? A 2 B1 ? 0 是垂直的充要条件) . 点到直线的距离: ?点到直线的距离公式:设点 P( x 0 , y 0 ) ,直线 l : Ax ? By ? C ? 0, P 到 l 的距离为 d ,则有
d? Ax 0 ? By 0 ?C A2 ?B 2

.

注: 1. 两点 P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的距离公式: | P1 P2 |? ( x 2 ? x1 ) 2 ? ( y 2 ? y1 ) 2 . 特例:点 P(x,y)到原点 O 的距离: | OP |?

x2 ? y 2

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2. 直线的倾斜角(0°≤ ? <180°) 、斜率: k ? tan? 3. 过两点 P1 ( x1 , y1 ), P2 ( x 2 , y 2 )的直线的斜率公式:k ? 当 x1

y 2 ? y1 . x 2 ? x1

( x1 ? x2 )

? x2 , y1 ? y 2 (即直线和 x 轴垂直)时,直线的倾斜角 ? = 90? ,没有斜率

新疆 学案

王新敞

?两条平行线间的距离公式:设两条平行直线 l 1: Ax ? By ?C 1? 0,l 2 : Ax ? By ?C 2 ? 0(C 1?C 2 ) , 它们之间的距离为 d ,则有 d ?
C 1 ?C 2 A2 ?B 2

.

7. 关于点对称和关于某直线对称: ?关于点对称的两条直线一定是平行直线,且这个点到两直线的距离相等. ?关于某直线对称的两条直线性质:若两条直线平行,则对称直线也平行,且两直线到对称 直线距离相等. 若两条直线不平行, 则对称直线必过两条直线的交点, 且对称直线为两直线夹角的角平分线. ?点关于某一条直线对称,用中点表示两对称点,则中点在对称直线上(方程①) ,过两对 称点的直线方程与对称直线方程垂直(方程②)①②可解得所求对称点. 二、圆的方程. 如果曲线 C 的方程是 f(x ,y)=0,那么点 P0(x0 ,y)线 C 上的充要条件是 f(x0 ,y0)=0 2. 圆的标准方程:以点 C (a, b) 为圆心, r 为半径的圆的标准方程是 ( x ? a) 2 ?( y ? b) 2 ?r 2 . 特例:圆心在坐标原点,半径为 r 的圆的方程是: x 2 ? y 2 ?r 2 . 3. 圆的一般方程: x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 .
? D E? ,? ? ,半径 r ? 2? ? 2 D 2 ? E 2 ?4 F . 2

当 D 2 ? E 2 ?4F ? 0 时,方程表示一个圆,其中圆心 C ? ? 当 D 2 ? E 2 ?4F ? 0 时,方程表示一个点 ? ?
? D E? ,? ? . 2? ? 2

当 D 2 ? E 2 ?4F ? 0 时,方程无图形(称虚圆). ? x ? a ? r cos? 注:①圆的参数方程: ? ( ? 为参数). ? y ? b ? r sin ? ③圆的直径或方程: 已知 A( x1 , y1 ) B( x 2 , y 2 ) ? ( x ? x1 )(x ? x 2 ) ? ( y ? y1 )( y ? y 2 ) ? 0 (用向量可征) . 4. 点和圆的位置关系:给定点 M ( x 0 , y 0 ) 及圆 C : ( x ? a) 2 ?( y ? b) 2 ?r 2 . ① M 在圆 C 内 ? ( x 0 ?a) 2 ?( y 0 ?b) 2 ?r 2
(x 0 ?a) 2 ?( y 0 ?b) 2 ?r 2 ② M 在圆 C 上 ?

③ M 在圆 C 外 ? ( x 0 ?a) 2 ?( y 0 ?b) 2 ?r 2 5. 直线和圆的位置关系:
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设圆圆 C : ( x ? a) 2 ?( y ? b) 2 ?r 2 (r ? 0) ; 圆心 C (a, b) 到直线 l 的距离 d ? ① d ? r 时, l 与 C 相切; 附:若两圆相切,则 ?
2 2 ? ? x ? y ? D 1 x ? E 1 y ? F 1? 0 2 2 ? ?x ? y ? D 2 x ? E 2 y ? F 2? 0

直线 l : Ax ? By ? C ? 0( A 2 ? B 2 ? 0) ; .

Aa ? Bb ? C A2 ?B 2

? 相减为公切线方程.

② d ? r 时, l 与 C 相交; 附:公共弦方程:设 C 1:x 2 ? y 2 ? D1 x ? E 1y ? F 1? 0
C 2 :x 2 ? y 2 ? D 2 x ? E 2 y ? F 2 ? 0

有两个交点,则其公共弦方程为 ( D1 ?D 2 ) x ? ( E 1?E 2 ) y ? ( F 1?F 2 ) ? 0 . ③ d ? r 时, l 与 C 相离. 由代数特征判断: 方程组 ? 其判别式为 ? ,则: ? ? 0 ? l 与 C 相切; ? ? 0 ? l 与 C 相交; ? ? 0 ? l 与 C 相离. 一般方程若点(x0 ,y0)在圆上, 则(x – a)(x0 – a)+(y – b)(y0 – b)=R2. 特别地, 过圆 x 2 ? y 2 ?r 2 上一 点 P( x 0 , y 0 ) 的切线方程为 x 0 x ? y 0 y ?r 2 .
? ?( x ? a ) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 用代入法, 得关于 x(或 y ) 的一元二次方程, ? Ax ? Bx ? C ? 0 ?

概率 知识要点
1. 概率:随机事件 A 的概率是频率的稳定值,反之,频率是概率的近似值. 2. 等可能事件的概率:如果一次试验中可能出现的结果有年 n 个,且所有结果出现的可能 性都相等,那么,每一个基本事件的概率都是 么事件 A 的概率 P(A) ?
m . n 1 ,如果某个事件 A 包含的结果有 m 个,那 n

3. ①互斥事件:不可能同时发生的两个事件叫互斥事件. 如果事件 A、B 互斥,那么事件 A+B 发生 ( 即 A 、 B 中有一个发生 ) 的概率,等于事件 A 、 B 分别发生的概率和,即 P(A+B)=P(A)+P(B),推广: P(A1 ?A 2 ? ? ?A n ) ? P(A1 ) ? P(A2 ) ? ? ? P(An ) . ②对立事件:两个事件必有一个发生的互斥事件 叫对立事件. 例如:从 1~52 张扑克牌中任 ............... 取一张抽到―红桃‖与抽到―黑桃‖互为互斥事件,因为其中一个不可能同时发生,但又不能保 证其中一个必然发生,故不是对立事件.而抽到―红色牌‖与抽到黑色牌―互为对立事件,因为 互斥 其中一个必发生. 对立 注意:i.对立事件的概率和等于 1: P(A)? P(A) ? P(A ? A) ? 1 . ii.互为对立的两个事件一定互斥,但互斥不一定是对立事件. ③相互独立事件:事件 A(或 B)是否发生对事件 B(或 A)发生的概率没有影响.这样的两个事 件叫做相互独立事件. 如果两个相互独立事件同时发生的概率, 等于每个事件发生的概率的
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积,即 P(A· B)=P(A)· P(B). 由此,当两个事件同时发生的概率 P(AB)等于这两个事件发生 概率之和,这时我们也可称这两个事件为独立事件.例如:从一副扑克牌(52 张)中任抽一 张设 A:―抽到老 K‖;B:―抽到红牌‖则 A 应与 B 互为独立事件[看上去 A 与 B 有关系很有 可能不是独立事件,但 P(A) ? 4 ? 1 , P(B) ? 26 ? 1 , P(A)? P(B) ? 1 .又事件 AB 表示―既抽到老
52 13 52 2 26

K 对抽到红牌‖即―抽到红桃老 K 或方块老 K‖有 P(A? B) ? 2 ? 1 ,因此有 P(A)? P(B) ? P(A? B) .
52 26

推广:若事件 A1 ,A 2 , ?,A n 相互独立,则 P(A1 ?A 2 ?A n ) ? P(A1 ) ? P(A2 ) ? P(An ) . 注意:i. 一般地,如果事件 A 与 B 相互独立,那么 A 与 B, A 与 B, A 与 B 也都相互独立. ii. 必然事件与任何事件都是相互独立的. iii. 独立事件是对任意多个事件来讲,而互斥事件是对同一实验来讲的多个事件,且这多个 事件不能同时发生,故这些事件相互之间必然影响,因此互斥事件一定不是独立事件.

数学归纳法
?第一数学归纳法:①证明当 n 取第一个 n 0 时结论正确;②假设当 n ? k ( k ? N ? , k ? n0 ) 时,结论正确,证明当 n ? k ? 1 时,结论成立. ?第二数学归纳法:设 P (n) 是一个与正整数 n 有关的命题,如果 ①当 n ? n0 ( n 0 ? N ? )时, P (n) 成立; ②假设当 n ? k ( k ? N ? , k ? n0 )时, P (n) 成立,推得 n ? k ? 1 时, P (n) 也成立. 那么,根据①②对一切自然数 n ? n0 时, P (n) 都成立.

零点定理
?零点定理:设函数 f(x) 在闭区间 [a, b] 上连续,且 f (a) ? f (b) ? 0 .那么在开区间 (a, b) 内至 少有函数 f ( x) 的一个零点,即至少有一点 ? ( a < ? < b )使 f (? ) ? 0 .

导 数
1. 导数(导函数的简称)的定义:设 x 0 是函数 y ? f ( x) 定义域的一点,如果自变量 x 在 x 0 处 有 增 量 ?x , 则 函 数 值 y 也 引 起 相 应 的 增 量 ?y ? f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ; 比 值
?y f ( x 0 ? ?x) ? f ( x 0 ) 称为函数 y ? f ( x) 在点 x 0 到 x0 ? ?x 之间的平均变化率;如果极限 ? ?x ?x f ( x 0 ? ?x) ? f ( x 0 ) ?y 存在, 则称函数 y ? f ( x) 在点 x 0 处可导, 并把这个极限叫做 ? lim ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x lim

记作 f ' ( x 0 ) 或 y ' | x ? x0 , 即 f ' ( x 0 ) = lim y ? f ( x) 在 x 0 处的导数,

?x ?0

f ( x 0 ? ?x) ? f ( x 0 ) ?y . ? lim ? x ? 0 ?x ?x

注 ?x 是增量,我们也称为―改变量‖,因为 ?x 可正,可负,但不为零. 2. 导数的几何意义: 函数 y ? f ( x) 在点 x 0 处的导数的几何意义就是曲线 y ? f ( x) 在点 ( x0 , f ( x)) 处的切线的斜率, 也 就 是 说 , 曲 线 y ? f ( x) 在 点 P ( x0 , f ( x)) 处 的 切 线 的 斜 率 是 f ' ( x 0 ) , 切 线 方 程 为
y ? y 0 ? f ' ( x)(x ? x 0 ).
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3. 求导数的四则运算法则:
(u ? v) ' ? u ' ? v ' ? y ? f1 ( x) ? f 2 ( x) ? ... ? f n ( x) ? y ' ? f1' ( x) ? f 2' ( x) ? ... ? f n' ( x)

(uv) ' ? vu ' ? v ' u ? (cv) ' ? c ' v ? cv ' ? cv ' ( c 为常数)
vu ' ? v ' u ?u? (v ? 0) ? ? ? v2 ?v?
'

注: u, v 必须是可导函数. 4. 复合函数的求导法则: f x ' (? ( x)) ? f ' (u )? ' ( x) 或 y ' x ? y ' u ? u ' x 复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形. 5. 函数单调性: ?函数单调性的判定方法: 设函数 y ? f ( x) 在某个区间内可导, 如果 f ' ( x) >0, 则 y ? f ( x) 为 增函数;如果 f ' ( x) <0,则 y ? f ( x) 为减函数. ?常数的判定方法; 如果函数 y ? f ( x) 在区间 I 内恒有 f ' ( x) =0,则 y ? f ( x) 为常数. 注:① f ( x) ? 0 是 f(x)递增的充分条件,但不是必要条件,如 y ? 2 x 3 在 (??,??) 上并不是 都有 f ( x) ? 0 ,有一个点例外即 x=0 时 f(x) = 0,同样 f ( x) ? 0 是 f(x)递减的充分非必 要条件. ②一般地,如果 f(x)在某区间内有限个点处为零,在其余各点均为正(或负) ,那么 f(x) 在该区间上仍旧是单调增加(或单调减少)的. 6. 极值的判别方法: (极值是在 x 0 附近所有的点,都有 f ( x) < f ( x 0 ) ,则 f ( x 0 ) 是函数 f ( x) 的极大值,极小值同理) 当函数 f ( x) 在点 x 0 处连续时, ①如果在 x 0 附近的左侧 f ' ( x) >0,右侧 f ' ( x) <0,那么 f ( x 0 ) 是极大值; ②如果在 x 0 附近的左侧 f ' ( x) <0,右侧 f ' ( x) >0,那么 f ( x 0 ) 是极小值. 也就是说 x 0 是极值点的充分条件是 x 0 点两侧导数异号,而不是 f ' ( x) =0 . 此外,函数不


可导的点也可能是函数的极值点 . 当然,极值是一个局部概念,极值点的大小关系是不确 定的,即有可能极大值比极小值小(函数在某一点附近的点不同). 注①: 若点 x 0 是可导函数 f ( x) 的极值点,则 f ' ( x) =0. 但反过来不一定成立. 对于可导函 数,其一点 x 0 是极值点的必要条件是若函数在该点可导,则导数值为零. 例如:函数 y ? f ( x) ? x 3 , x ? 0 使 f ' ( x) =0,但 x ? 0 不是极值点. ②例如:函数 y ? f ( x) ?| x | ,在点 x ? 0 处不可导,但点 x ? 0 是函数的极小值点. 8. 极值与最值的区别:极值是在局部对函数值进行比较,最值是在整体区间上对函数值进
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行比较. 注:函数的极值点一定有意义. 9. 几种常见的函数导数: I. C ' ? 0 ( C 为常数)

(sin x) ' ? cos x
(cos x) ' ? ? sin x
(loga x) ' ? 1 log a e x

( x n ) ' ? nx n ?1 ( n ? R )
II. (ln x) ' ?
1 x

(e x ) ' ? e x
复数

(a x ) ' ? a x ln a

1. ?复数的单位为 i,它的平方等于-1,即 i 2 ? ?1 . ?常用的结论:

i 2 ? ?1,i 4n?1 ? i,i 4n? 2 ? ?1,i 4n?3 ? ?i,i 4n ? 1

i n ?i n?1 ?i n? 2 ?i n?3 ? 0, (n ? Z )
(1 ? i) 2 ? ?2i, 1? i 1? i ? i, ? ?i 1? i 1? i

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