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双曲线知识点


成都书之香家教

双曲线
项目 内容 平面内与两个定点 F1 , F2 的距离之差的绝对值等于常数(小于 | F1 F2 | )的点的轨 第一定义 迹 叫双曲线。 平面内到定点与到定直线的距离之比为常数 e(e ? 1) 的点的轨迹叫双曲线。

第二定义

图形

标准方程 统一形式 范围

顶点与实 虚轴的长

x2 y 2 ? ? 1(a, b ? o) a 2 b2

y 2 x2 ? ? 1(a, b ? o) a 2 b2

Ax 2 ? By 2 ? 1? A ? B ? 0 ? 或 Ax 2 ? By 2 ? 1? A ? B ? 0 ?
| x |? a, y ? R
A1 (?a, 0), A2 (a, 0), 实轴长 ? 2a 虚轴长 ? 2b, a ? b叫等轴双曲线

x ? R,| y |? a
A1 (0, ?a), A2 (0, a), 实轴长 ? 2a 虚轴长 ? 2b, a ? b叫等轴双曲线

焦点焦距

F1 (?c, 0), F2 (c, 0) | F1 F2 |? 2c(其中c ? a ? b )
2 2 2

F1 (0, ?c), F2 (0, c) | F1 F2 |? 2c(其中c 2 ? a 2 ? b 2 )

准线方程

x??

a2 c

y??

a2 c

当 P( x0 , y0 ) 在右支上时

当 P( x0 , y0 ) 在上支上时 下 PF1 ? ey0 ? a, 上PF2 ? ey0 ? a 当 P( x0 , y0 ) 在下支上时 下 PF1 ? ?(ey0 ? a), 上PF2 ? ?(ey0 ? a)
a y 2 x2 y ? ? x(或 2 ? 2 ? 0) b a b p?c? a 2 b2 ? c c

几 何 性 质
左 PF1 ? ?(ex0 ? a), 右PF2 ? ?(ex0 ? a) 渐近线方 程 焦准距 离心率 准线间距 对称性
e?

左 PF1 ? ex0 ? a, 右PF2 ? ex0 ? a 焦半径 当 P( x0 , y0 ) 在左支上时

b x2 y 2 y ? ? x(或 2 ? 2 ? 0) a a b

c b (e ? 1), ? e2 ? 1 ( e 越小,双曲线开口越小),等轴双曲线的 e ? 2 a a

2a 2 c 双曲线都是关于 x, y 轴成轴对称,关于原点成中心对称 d?

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通径 焦点三角 形 焦点弦三 角形 参数方程 注意:

q?

2b 2 a

双曲线上一点与双曲线的两个焦点组成的三角形,解题中常用余弦定理和勾股 定理来进行相关的计算 双曲线的一焦点与过另一焦点的弦组成的三角形。
? x ? a sec ? (? 为参数) ? ? y ? b tan ? ? x ? b tan ? (? 为参数) ? ? y ? a sec ?

x2 y 2 ? 1、 若 P 是双曲线: 2 ? 2 ? 1(a, b ? o) 上的点. F 1, F 2 为焦点, 若 ?F 1PF 2 ? ? , 则 ?PF 1F 2 的面积为 b 2 ? cot . 2 a b

证明: S ?
2

1 2S 2 2 2 PF1 ? r1 , PF2 ? r2 , ?2c ? ? r1 ? r2 ? 2r1 ? r2 cos ? r1 r2 sin ? ? r1 r2 ? 2 sin ?
2

? ?r1 ? r2 ? ? 2r1 ? r2 ? 2r1 ? r2 cos ? ? ?r1 ? r2 ? ? 2r1 ? r2 ? 2r1 ? r2 cos ?

4b 2 ? 2r1 ? r2 ?1 ? cos ? ? ? 4b 2 ?
2 2

4S ?1 ? cos ? ? ? S ? b sin ? ? S ? sin ? 1 ? cos ?
2

b 2 2 sin

?
2

cos

?

2 sin 2

?
2

2 ? b 2 cot ? 2

2、等轴双曲线:双曲线 x ? y ? ? a (a=b)称为等轴双曲线,其渐近线方程为 y ? ? x ,离心率 e ? 2 . 3 、共轭双曲线:以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚轴的双曲线,叫做已知双曲线的共轭双曲 线.
x2 y2 x2 y2 x2 y2 与 互为共轭双曲线,它们具有共同的渐近线: ? ?0. ? ? ? ? ? ? ? a2 b2 a2 b2 a2 b2
x2 a2 ? y2 b2 ? ? (? ? 0) 的渐近线方程为 x2 a2 ? y2 b2 ? 0 如果双曲线的渐近线为

2

4 、共渐近线的双曲线系方程:

x2 y2 x y ? ? 0 时,它的双曲线方程可设为 2 ? 2 ? ? (? ? 0) . ? ? 0 焦点在 x 轴上, ? ? 0 焦点在 y 轴上。 a b a b

5、若 P 在双曲线

x2 a
2

?

y2 b2

? 1 ,则常用结论

(1)从双曲线一个焦点到一条渐近线的距离等于 b.
PF 1 d1 ? e (2)P 到焦点的距离为 m , n,则 P 到两准线的距离比为 m︰n. 简证: d2 PF 2 e
m . n

=

6.①当 2a=|F1F2|时,p 点的轨迹是分别以 F1,F2 为端点的两条射线.②2a>|F1F2|时,p 点轨迹不存在. 设 P 到 F1 的对应准线的距离为 d ,到 F2 对应的准线的距离为 d 2 ,则
PF1 d1 ? PF2 d2 ?e

认知:设 M 为双曲线上任意一点, F1 , F2 分别为双曲线两焦点, A1 , A2 分别为双曲线实轴端点,则有 (1)明朗的等量关系: MF1 ? MF2 ? 2a (解决双焦点半径问题的首选公式) (2)隐蔽的不等关系: MA1 ? M 2 ? 2a , MF1 ? MF2 ? 2c , (寻求某些基本量取值范围时 建立不等式的基本依据)

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推论:根据双曲线第二定义,设 M ? x 0 , y 0 ? 为双曲线 曲线左、 右焦点, 则有: MF1 ? ed1 , MF2 ? ed 2
2 2

x2 a2

?

y2 b2

? 1 (a>b>0)上任意一点, F1 , F2 分别为双

其中,d i 为焦点 Fi 到相应准线 l i 的距离 ?i ? 1,2 ?

椭圆与双曲线标准方程的统一形式 Ax ? By ? 1? A ? B ? 0且A ? B ? 7.具特殊联系的双曲线的方程 对应双曲线

x2

?

?

y2

?

? 1or

y2

?

?

x2

?
2

? 1?? ? 0, ? ? 0 ? (※)

(1)当 ? ? ? 为定值时,(※)为共焦点的双曲线(系)的方程 c ? ? ? ?

(2)当

? b2 a2 ? 2 为定值时,(※)为共离心率亦为共渐近线的双曲线(系)的方程: ? 2 or 2 ? e ? 1 ? a ? b
n x 为渐近线的双曲线(系)方程为: m

(3)以直线 y ? ?

n ?? n ? x y ? ? x y ?? x y ? ? y ? x ?? y ? x ? ? ? ?? ? 0 ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? 0 ? ? 2 ? 2 ? ? ?? ? 0 ? m ?? m ? m n ? ? m n ?? m n ?
特别:与双曲线

x2

?

?

y2

?

? m?? ? ? ? 0, m ? 0 ? ,共渐近线的双曲线的方程为:

x2

?

?

y2

?

? n (左边相同,

区别仅在于右边的常数) 8、弦长公式:设斜率为 k 的直线 l 与双曲线交于不同两点 M ? x1 , y1 ?, N ? x 2 , y 2 ? ,则

MN ? 1 ? k 2 x1 ? x 2 或
MN ? 1 ? 1 y1 ? y 2 。 k2


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