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第二届全国中学生物理竞赛决赛试题及解答


第 二 届 全 国 中学 生 物 理 竞赛 决赛 试 题





(24 分 )
a

r ,

今 用 一 电流 计 G 接在
,


a

,

b

两 点

之 间 电 流计 位 于 纸 面
,

一 质 量 为 * 的 小球 与 一 长为 L 的 细 绳 组 成 一 单 摆 现 将此 单 摆 从 与 竖 直 线 成
,

内 电 流 计 的 内 阻亦 为 , ( 连 接 电流 计 的 导 线 的 电 阻 忽
) 略不 i十

角 的位 置 静 止 释 放
。 。



设 圆 形 区 域 外 的 磁 场 可 忽 略 不 计 试 问 在下
,





在 摆 动 的 途中 摆 绳 为 一 小木 桩 所 阻 木桩与摆 的 悬挂
点 相距
(1 ) 后
,

列 情况 下 通 过 电 流 计的 电流

几 为多 少 ?
,

r ,

两 者 的 连 线 与竖 直 线 成 口 角 如 图 1 所 示

,

(1 )

c 半圆 环 a


b



a

db

都位 干 纸 面 内 a 转过 b
。 ,

并分 别 位 折 成与 纸 面

若摆 绳 为 小 木 桩所 阻


于 直径 b a 的两侧 ( 2 ) 半 圆环
垂直


小 球在 继 续 上 升过 程 中摆
试 求出 现 此 情 况 之 间所 应 满 足 的


a

d 乡 绕直 径

90



,

绳 发 生 弯曲 时
r
,

L声




a

( 3 ) 半 圆 环再绕 直 径转 9 0

折 成与 a c

乙重 合

.

关系 式
(2 )

( B ) ( 12 分 )

若 将单摆从 适 当 的
, 。

图 1
,

由许 多 电容 量 都为

C
C

的 电容 器 组 成 一 个 多 级 网
C

角 位 置处 静 止 释 放 摆 绳 为小木桩 所 阻 后 小 球能 击 中

路 如图

4

所示



小 木桩


试求 此
( 20 分 )



值 ( 将结 果 以





的形 式表 示 之 )
,



( 1 ) 问 在 最后
一 级右 边 的 电 容 器



在 一 个 横 截面 面 积 为 容 器 中无 摩 擦 地 滑动
,


S 的 密 闭 容器 中

有一 个 质


上 并联 一 个 多大 的 电容
C


一州卜 一止巨 工 卫公丁






可曰 卜 r


-





_

_

_

_

_

~



`、

山。 L

盘 为 ` 的活 塞 把 容 器 中的 气 体分 成 两 部 分 当 活塞 处 于 平衡 时
p
, ,

活 塞可在

,

可使 整个
如不 加 C


图 4

活塞 两 边
V
:

网 路 的 总 电容也 等 于 C ? (2 )
,

气体 的 温 度 相 同 压 强 都 是

,

体 积 分 别是

和 犷 如
:
,

但无 限 增加 级 数
,

,

问 整个 网路 的

2



现 用 某 种 方法 使 活 塞 稍 微 偏 离 平 衡 位置 然 后 放

总 电 容是多 少 ? (3 ) 当 电 路中 的级 数足 够 多时

开 活塞 将 在 两 边气体
压 力的 作 用 下 来 回 运
V
1

如 果在 最 后 一 级
,

右 边 的 电容 器 上 并联 一 个 任 意大小 的 电容 心
网路 的 总 电容 是 多 少 ?



问整 个





整 个系 统 可看 作是


恒温 的
(1 )
,

(24 分)

求 活 塞 运动 的
, 尸 V

图 2
V: ,
,

(A ) ( 14 分 )

周 期 将结 果 用


: ,

和 S

表示



凸透 镜
,

L
L



与凹 透镜 L
” 。,

:

: 同轴 放置 L 左 侧媒 质 的

,

( 2 ) 求 气 体温 度
才= 30 C
O

= 云

了 C 时 的周 期


对气 体温度

折 射率 为
: :



,

:

右 侧媒 质 的 折 射 率 也 是 气 两 透镜 之 间 且
,

时 的周 期 ( 28 分 )

,



之比 值

媒 质的 折 射率 为
F



<

” 。

,

F
:

:



L

l

的 物方 焦点



,







L

的物 方 焦 点

:

F

是 二
,

L

的象 方焦 点

有一物

( A ) ( 16 分 )

点 S 位于

的 物方 焦 平 面 上 如 图 6 所示
乙]

一 导 线 围成半 径
区域 内有 一 半 径 为 切于
c
,

为刀

的 圆环

a尽

阮 在 圆 环 所围 的
,

,

LZ

刀了 2

的 圆 形区 域
,

其周 界 与 圆 环 内
B

点 此 区 域 内有 均 匀 磁场 磁感应 强度
3

垂直 于

_



圆 面 指 向如 图

所示

。`

磁场 的
,

磁 感应 强度 随时 间增大
化率
j B

其变
导线 (1 )

图 6

/水

=

兀= 常量
,



画 出成 象光 路 图 求 出 象 点 夕 的 位 里


,



简述

曲 是 圆 环 的一 条直 径



与 有磁

作图 的 依 据
(2 ) 距 几
=


场 分布 的 圃 形 区 域 的 周 界 相
设 导线
a石


1。

L,
,

的 物方 焦 距 f
S

:



0 厘米 2

,

L

:

的象方焦
,

以及被 其 所 分

厘 米 物点

离 光 轴 的距 离 为 2 厘米

问象

割成 的 两个半 圆 环 的 电 阻 都是



S

离光 轴 的距

离 为多 少?

(B ) (

10

分)

,



T
e

= 时 O 摆绳 将 发生 弯 曲 由此 条件可 得

,

,

由 阴 极 ` 发射 的 电子 ( 质 量 为

电量 为

`

,

设 其初
,

韶 夕=
`



2 (,


e

s 尽一 L o
3 (L 一 r

eo s。

)

速 度 为 零 ) 经加 速 极 A 加 速 后垂 直 射 向一 开 有两 条 平

)

③ ④

行 狭缝 的 屏
图 6 所示




电子 自狭 缝 出 射 后打 到 一 荧 光 屏 上
,

,



由 于 电子 具 有波 性 荧光 屏 上 将 出现 明 暗 相

息 少

同 的条 纹






犷犷 扩 ,节 「
`

_

由于 只 当

竺竺 任 丝 〔 一 裂架 〕


1<

< ` < 二 时 绳方 会发 生 弯 曲


故有

1<

e

o s夕 <
L
r

0

’ 一

`








e 2 ( r临 月一

3 ( L一


o s c
)



)

< 0

6

1

1

由之 得 ,
。 u

L 和 尹
,

a

间应 满足 的 条件为
_


设 加 速 极 A 与 阴 极 K 之 间 的 电压 为 V , 两平
d
,

,



_

_

_



,

_
.

气、 下 u涌
夕二 口


P 一



c。 吕 “

)

久二 乙

3

,

,





.

L妇 一



J


,

行 狭缝 间的距 离为

试问
口处 将

(1 ) 在整 个装置 的轴 线 与荧 光 屏 的交 点 现 暗条 纹 还 是亮 条 纹 ?

2 ) 设 ( 出 则有

时 小 球 下落 恰好 击 中小 木桩 ( 图 8 )

。 · s`n

( 2 ) 设 位 于轴线 外 侧 的 第 一 条 亮 条 纹出 现 在

夕角
_
_

(
~

,


,
.

晋 )
1
`
。 夕

·

, 一

(L

一 了, s ` n

。 (卜 ” )


,


处 写 出 夕 的表 示 式 ( 以
示)


,

,

,

。,

d

,



及 其它 有关 恒皇表

布 、 / 少 物C 。 石 ( 肠一下 、 ` /

_

,

,
.

,

,



,

`

一 气二 夕`

=

一又 力 一

r

e 。 吕又 万~ 入 ) 夕

~ 迁





(24 分 )

式 中 。 . 为 小 球在
A
,

处 时的 速

(1 )

三 个 质 最 皆 为 , 的 质点
,

B

,

c

组 成 一 边长



,



为小 球
, =

自口



处出 发 至 击 中小


为 用


a

的 等边 三 角 形

如图

7



质 点 之 间有 万 有 引 力 作
,

木 桩所 经 历 的 时 间


由⑥ 式
s
. 夕

为 使 此三角形 保 持 不 变
0




(L 一
” .

r

) n i
Bo

é甘 八 。 盛 ! 月 !l l 法 、` 、 什 曰 、 \

个 质点 应 皆 以 角速度 。 绕 通 过 它
们 的质心
的 轴 旋转 并 垂 直 于 三 角形 平 面



代 入 ⑦ 式得

.
, S in 叭 ’
.

试求 此角 速度 的大小
,


厂 (石一 J 一



r

。 ) s in 夕 门

1



(L

。 一 了 ) s i n 夕 门2

( 将 结 果用

,

a

以 及 万 有引力恒




( L 一 r ) e o s夕 由之 解得

全 G 表示 )

(2 ) 现 将 上 述 三 个质 且 相 同


” 。 c o名 口 o

! 一 气 , 口! 一 一 J 匕 七

1

9 (L 一 ,
e

) s in
夕。

,

. 夕

2

s o


” . cOS 口 .

}
J

的 质 点 换成质 t 分 别 为

`



,

,

,

,

,



(,

`
,

特,

B

拍”

c

质点 如 仍 欲 保 持 上 述 等 边 三 角形 不 变 此 时 三质 点应
皆 以 角 速 度 。 绕 通 过 新 的质 心 面 的轴 旋 转



}的

此 咔 须 满足 下 式 ( 令 ② 式 中 的


T



0

,

口“ e .

)

O



并垂 直于三 角 形 平


饥9

5 0
.

。 口 =

仇飞






试求 此 角 速度 的 大 小

《巴 (裕

口.





1~


.




,

解: ( 1 ) 取 单 摆 悬挂点为 重力 势 能 的 零 点 由
,
_

单 摆 在 摆 动过 程 中机 械能 守恒 可 列 出下 式
,
,


c o S
e O

气二
S



甲币矛

J

1

/ _ 布 ( 因下 < 气<
`

万 J



`



,

,

0旧。 二 一 。 夕 r 一” 夕 L 0 一 - - 〔 `
J

c




-





-



十 L s 月 o (一 尸


一 r

十 ) c临 口 〕 音 J Z蒯
/

1










~



代 入 ③式 得

一”一习 一会
9
,

为 小球 的 速度
,



摆绳 为 小 木桩所 阻后


,

穿

3

( 乙一 r )
L

小球绕


运动到
V:






:

(1 ) 如图
丁 二
,

以 活 塞 A 处 于 平 衡 时 的 位置
A 妇 川 卜 了 介 一 日
一 O ó ù
尹 U习

小 木 桩 作 圆 运动 其 运 动 方 程 为
T 一 琳g
全 为摆 绳 的 张 力


作 为 坐标 原 点

O

,

当活 塞
V
:

e

s o

夕=



卫 生
r

,L 一



x
,

处 时 体积 体积
犷:

变为
V
:

由① 式
, “

S

x

变为


X



。 ,



, Zm 夕〔



s 月+ (石 一 : ) e o o s 夕一 石。



S

工。

设 此时 两 边气 体 的 压 强
P:

代入 ② 式 得
二 一 3。 。


分别 为
p



夕:
,

,

因系统 的
,



,

+


山 J

(

:



。一

。、



)

温 度 恒定 不 变 根 据 玻 意耳 定 律 有






(V

:

+

习x )

=

pV

: ,

护:

(V

:

一 S x

)

=

尸V

,

由上 解出
P 厂 p
,

三 ( B )
pV
.



:

11图 12 (l ) 交

.

Z

二l

=





下刀二丽不 协
,

在 网 路 最 后 一 级 右边 的 电 容 器
卜并联 一 个 电容 C 时 从 最 后



,

按 题 意 活 塞 只 稍许离开平衡位 置
写成 , ~
,

故又 可 将 上 式 近 似
r

,
r

:
`

二p


( 、

l一



、/ 尊 V
x
一 l

,

,
r

:


、 ,



( 、
.

1+




票 、/ V
一 l



级的

A召

两 端 向右 看 去

,



一订 让
图 12
`,

电 容是

于 是 活 塞受 的 合 力 是



。,





火 F

l

一 F

,

0 = 少

一 F。



1 1 币 气 厂
\
r

1 、


一 弃 } 书 杀 宁井下止豁
这 时有
C
`
-



布 J工
y

21

要使

~

C





C



,

则 整 个 网 路 的 电容 亦 可 保 持 为 C
C(C ZC


所 以活 塞 运 动 的 方 程 是
_

+ +


C



)
.



,


n 1



=

一 F O

/ 1 下 气 厂
\
r

1 、
十 亏 于
,

~

_

_



,

V
,

:

V
l

:
二一

_

〔了






O



乞 I

J工 `

一 尸0



牙 ,

亏 于1r



其中

a

是 活塞 的 加 速 度
,

运动方程说 明
2

,

化 简 以后 得 出 由 此可 解 出
e
,

C
_

,

+

CC

C

=
.

0

活塞将 作简
V:
:

谐振 动

振 动周 期 是 设 温度 为
:
’ ,




, 厂 T 一

饥 V 一V
Z

:

又i
2
,



`

口、 0 6 1 8 `

pS

(V

:

+

)
,

(4 温度 为

)

(2)
,

时 活 塞 的 运动 周 期 为
p T 一
一 ù

( 2 ) 由图 看 出 每 增加 一 级 电路

,

都使 全 电路 的 电
,

容量 增加
,



但 即 使 无 限 增加 网 路 中 的级 数


也不会使



时 周 期为 所 以得 出

由于

总 电容大 于网 路 中被 串 连着 的 第一 个 电容 器 的 电容
可 见 这 个 网路 的 总 电容 有 极 限 存在
以 `


表示


:





2

:

可 杯

m V 犷
I

:

p S

`

,

(V

:



V: )

一 乙

叫 不叮可 马 不了

/

,

V V

.

:




电路 的 总 电容 于 是 极 限 电容 的 存在 保 证 下 式 成 立
C
。 ,

,

,


x

=

己 ( (了, C



e



(e

+

e



) )

二 一




(当
0
.



一。 )

可见 有
以 T






_

`

/了

,

由 上 式解 出
`

c -

_

二 夕互 里c
2

=

6 18 叮
,

(当



,

。 )

V

`

( 3 ) 如 果 网 路中 的 级 数足 够 多
,

并在 最后
0
.



级右

273

) 开和 T



30 3

开 代 入 得 出 o C 时 的周 期

边 的 电容 器 上 并 联 一 个 任 意 的 电 容 则 ( ) 2 的 分 析仍 然

,



3。 。 时的周 期 一

之 比是







·

5 9



成 立 所 以 得 出整 个 网 路 的 总 电容 仍 然 等 于

,

。 6 1叙 了





(A )

(1)
( ) ( b)
,
a


如 图10



`:

£一 +

+

与 3
:

件 耳 件 弓 平一 斗 , 定
·





3

(s

+

: £

)

巨州


4犷
: 。: 十 £

图 10





13

作图 依 据


:
。 , 夕
,

一 (晋 )


器 专
1. =
,




二D





.



” sin



一”
=

o

s in

” o> ”

。 夕

<

: 夕



.





os

L

=



石 下二

3

D. k
r

, 二,

I

劣 二

。 in 口

D lk

朋 in 口

:

口 z二 口 :

立匕



16 r

计算 象点 ’S 与光 轴 的 距 离
SF

, “ F

( 2 ) 与 ( 1 )的 结果 相 同

:

( 3 ) 如图
B 一+

1 1( a

) (b)





厂 了
;






夕F 二 一



£:

奋奋
£1 + ` ,
r

+

l
4

劣 刀,
.
. .



且 且心
(a)
`) 吸

`

一 癸 ;若
SF

:

-

2





`


`



(B ) (1 )
.

中央 ( O 点处 ) 出现 亮 条纹
,



( 2 ) 以 入 表示 电 子 的 波 长
一 足月
.

p

表 示 电子 的动 兰
.

,





.

^

=

h

,

,

. . . .

. ,



. . . . . . .

r


l 丹 : 二

11
Z

二 尸
s

,

p

=




— 2

1

,

l

二二

— 8

1

二D
.

k

又因

i n

e = 入 d

/

,






r





= “

,


~

把 上 面 得出 的 入 值 代 入 得出


匕帆 e V
,

r

e 久= h ` / 可 2杭 F






F
d ,

质点


) 质点 1 对

B 的万

( 有引 力为




G




方向

由、

指向



,



-

七一 一竺 卫土2生
饥泣 占

a 牛

.

明C




,

仍 协泣 +

a 十

切C

` 玉

n`

, 奋

,

B





质点

c

对质 点 A 的万 有 引 力 为
。 一



a 小



e

a 十

仇亡


.




方 向 由` 指 向 “

二二

十 心。 盛 ,

十 二, 洛





_

仍通



琳a

质 点 A 受 到 的 总作 用 力 为
F
孟 =

同理可得
30 。


,

一一
+

扔C





F

通.

0 咖3

`

*

F

通 c



r B 二

B O
,

`



、 叼, 忌



支、


,

c,

,

_



2

,




,



质 点 A 绕 O 旋 转 所需 的 向 心 力 即 由



,


,
公’



-

方 向沿
F
`

A . o

另一方 面
协e

提供



协左
`

的 作用 力是
c,

万 杀
由 于 三质 t 相 同
心处 故 有 R
,

=

R ·“


的重

。 二

、。

,



一一


仍通 小 切 B



彬C







它们 的 质 心 即位 于 △ A
。 。

BC

同理 可得 方
由于 九 a
刀刃


a 二

k。

`

协B
c 二


,

o



,

,

30

·



万亨
,
-



A召



.f / ”

c =




B 厂 ,
通c

D C

`



,

即了

通 B 和 了

图 巧
O


代入 上 式 得

。 。



力 二 J

机2 仃 二了 = 讯 .
`.



的合力 j

~

`

的作 用 线 通 过质 心


,

,

其大 小 人 是


一 下万
`,
r

.

`



可乃
k。
`

B ,



。 、

3协
r
.

公一 =

t r一 r

一丫

a

甲黔
,
B

习,


+



0 姚硫娜6 急
+


,

,





刀 的 作 用 线也 通 过 质 心 司理 可 证 例如 了

`

O

,



对 其 他 两质 点 也 得 出 相 同 的
( 2 ) 如 图 1 4 以 D 表示

,
c
,
、 、

j a
_

=

无,

,

+ 可m 丢



1

,



,

,

由① ② ③ 和 ④ 式得
碑 才

.

的质 心 则


,

, , 才 一 上 (二
a


J



,





,








一2 些 一
协a
+

~

a

仍 通 了通
翻 角



饥刀 r刀






执C
~ 。



侧,

.



一竺丝一
,

十爪 c

饥 a+ .






( 二,

+

,

,

,

二。

)

饥 a + 份口


+

14


同 理可 证

一 A D.

=

一 A B,
_ ,
.

B刀:



-B ZA
C
a



-D B


co 6

6 D

f a
-


B

/
`

饥。

。 :

.

,



\

,


+

(份


又 以 O 表示 三 个 质点 ”


协刀 +
,


,

匕阅 一竺 + C

B

,

仍了 ⑤⑥ 二 式 说 明

,



,



,
c

` ,

,

,



二) c

,

B



可在 三 个 质 点 的初位 置

`


`

+

`

e

所决 定 的 平 面 内 保 持 相 对位 置 不 变 地绕 质 心 ’o 作 匀 速 图周 运 动


s +




e

)
,

.

作 圃 周 运 动 的角 速 度
,

亦可 由 ⑤ ⑥ 二

a



,

`

的质 心 则 ,o 点

,

式得 出 为







通刀

上 且有

,

备 创
(,

· ·


,



)

( 上 接第 6 页 )

问 题 和 解 决 问 题 实验
维 教 捷 准 确判断
, ,






速 算等 能力方面 的 考 查 到


,


,

2

.

选 择 分 支 要 似 是 而 非或 似非而 是 ( 除 正 确 者
,

,

以及 智 力


技 能 等 涉 及 到 中学 物 理
,

外 ) 要 表 面 上相 似 实质 上有 异
是 而 非 或 似 非而是 的程 度
3
,

并 加 强 错误 分支 的似


的 各个 角 落 无一 不 到

所以

编拟得好 的 一 份选择 题
,



试 卷 完全 可 以 侧 t 简 单 至 复杂 的 各 种 学 习 结果

可以
,


各 选 择 分 支 要 命 在 学 生 易混 淆 易 忽 视 和 模糊

.

侧 t 除 表 达能 力 和 发散 思维 以 外 的 所 有 水 平 的 能 力

不 清 之处
4

从而 达 到 测 试 和 评价 学 生 知 识 的 掌握 程度 和 能 力



题 意要 明确 文 字要 简 练 尽 盆 避 免 否 定 句
,


,

,

,




力 的 高低 的 目 的
.



好 是 正 确 的 叙 述 以免 造 成 考 后 知 识 的 负 迁 移
,

: 关 于 选择 题 的 编制 笔 者 以 为

5

.

要 避 免 一 些 暗 示 性的 词 句 如 绝 不




,





唯一 等

1

在 保证科 学 性 的 前 提 下


,

力 求 综 合 性 强 ( 当然
,

不 是 每 道 题 都 如此要求 ) 灵 活 性 大 要 以 活 见 长





,



“ 词 有暗 示 错 的 含 义 6 题 的 解 答 以 多 思 考 少计算 形 式为宜
.
`



t 通过 活 题



” ,

考查 学 生 的 知 能





7

.

每 道题 要 围绕 一 个 范 畴 的 内 容




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