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选修2-3 第二章2.5.1 离散型随机变量的均值


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第二章

概率

2.3 离散型随机变量的均值与方差

第一课时

离散型随机变量的均值

? 思维导航 有一组数据,其中有3个1,2个2,1个3,这组数据的 平均数是多少?从中任取一个数据,用X表示这个 数据,X的可能取值有哪些?X取每个值的概率是多 少?将X的每个值与其对应的概率相乘,求其所有 积的和与上面求得的平均数相比较,你发现了什么?

1.离散型随机变量的均值或数学期望 若离散型随机变量 X 的分布列为 X P x1 p1 x2 p2 ? ? xi pi ? ? xn pn

则称 E(X)=x1p1+x2p2+?+xipi+?+xnpn 为随机变量 X 的均值或数学期望.它反映了离散型随机变量取值 的平均水平.

2.离散型随机变量的性质 若 X 为(离散型)随机变量, 则 Y=aX+b(其中 a, b 为常数)也是随 机变量,且 P(X=x )= P(Y=axi+b) ,i=1,2,3,?,n.E(Y)=
i

E(aX+b) = aE(X)+b .

3.两点分布与二项分布的均值

1.离散型随机变量的均值 (1)由定义可知离散型随机变量的数学期望与它的本身有相同的 单位. (2)随机变量的数学期望与样本的平均值的关系:随机变量的均 值是一个常数,它不依赖于样本的抽取,而样本平均值是一个随 机变量,它随样本抽取的不同而变化.对于简单随机样本,随着 样本容量的增加,样本平均值越来越接近于总体的均值.

2.均值的性质 若 Y=aX+b,其中 a,b 是常数(X 是随机变量),则 Y 也是随机 变量,且有 E(aX+b)=aE(X)+b. (1)当 a=0 时,E(b)=b,即常数的数学期望就是这个常数本身; (2)当 a=1 时,E(X+b)=E(X)+b,即随机变量 X 与常数之和的 期望等于 X 的期望与这个常数的和;

(3)当 b=0 时,E(aX)=aE(X),即常数与随机变量乘积的期望等 于这个常数与随机变量期望的乘积.

课 时 学 案

题型一
例1

均值的求法

在一次购物抽奖活动中, 假设某 10 张券中有一等奖奖

券 1 张,可获价值 50 元的奖品;有二等奖奖券 3 张,每张可获 价值 10 元的奖品;其余 6 张没有奖.某顾客从这 10 张奖券中任 抽 2 张,求: (1)该顾客中奖的概率; (2)该顾客获得的奖品总价值 X(元)的分布列和均值 E(X).

思路分析

本题(1)可直接用古典概型求概率,也可从其对

立事件“2 张都不中奖”考虑,间接求解; (2)可以设中奖的奖品价值为随机变量 X,然后写出 X 的所有 可能的取值及 X 的分布列,进而求出 E(X).

解析 (1)方法一:设“该顾客中奖”为事件 A, C2 15 2 6 则 P(A)=1-P( A )=1- 2 =1- = . C10 45 3
1 1 C4 C6+C2 30 2 4 方法二:P(A)= C2 =45=3. 10

2 即该顾客中奖的概率为 . 3

(2)X 的所有可能值为 0,10,20,50,60,
2 1 C6 1 C1 2 3C6 且 P(X=0)= 2 = ,P(X=10)= 2 = , C10 3 C10 5 2 1 C3 1 C1 2 1C6 P(X=20)=C2 =15,P(X=50)= C2 =15, 10 10 1 1 C1 C3 1 P(X=60)= 2 = .故 X 的分布列如下. C10 15

X P

0 1 3

10 2 5

20 1 15

50 2 15

60 1 15

1 2 1 2 1 从而均值 E(X)=0× +10× +20× +50× +60× = 3 5 15 15 15 16.

探究 1

求期望一般分为四步:

(1)确定 X 可能的取值; (2)计算 P(X=k); (3)写出分布列; (4)利用 E(X)的计算公式计算 E(X).

?思考题 1

据统计一年中一个家庭万元以上的财产被窃的

概率为 0.005,保险公司开办一年期万元以上家庭财产保险,交 保险费 100 元,若一年内万元以上财产被窃,保险公司赔偿 a 元 (a>1 000).问 a 如何确定可使保险公司的期望获益.

解析 布为:

X 表示保险公司在参加保险者身上的收益, 其概率分

X P

100 0.995

100-a 0.005

a E(X)= 0.995×100 + (100 - a)×0.005= 100-200 ,若获益, 期望大于 0,解得 a<20 000,所以 a∈(1 000,20 000)时保险公司 可期望获益.

点评

根据题意,可以确定随机变量的可能取值为 100 和

(100-a),这是求概率分布的关键,概率分布的求解正确与否直 接影响期望计算的正确性.

题型二

均值性质的应用

例 2 已知随机变量 X 的分布列如下: X P -2 1 4 -1 1 3 0 1 5 1 m 2 1 20

(1)求 m 的值; (2)求 E(X); (3)若 Y=2X-3,求 E(Y).

思路分析

解答本题可先由分布列的性质求出 m 的值,然

后由随机变量的均值计算公式求出相应的期望值, 而对于(3)可以 直接利用公式,E(Y)=E(2X-3)=2E(X)-3,也可以先写出 Y 的 分布列,再求 E(Y).

解析 (1)由随机变量分布列的性质,得 1 1 1 1 1 + + +m+ =1,解得 m= . 4 3 5 20 6 1 1 1 1 1 17 (2)E(X)=(-2)×4+(-1)×3+0×5+1×6+2×20=-30. (3)方法一:由公式 E(aX+b)=aE(X)+b, 17 62 得 E(Y)=E(2X-3)=2E(X)-3=2×(-30)-3=-15.

方法二:由于 Y=2X-3,所以 Y 的分布列如下 Y P -7 -5 -3 -1 1 4 1 3 1 5 1 6 1 1 20

1 1 1 1 所以 E(Y) = ( - 7)× 4 + ( - 5)× 3 + ( - 3)× 5 + ( - 1)× 6 + 1 62 1× =- . 20 15

探究 2

求均值的关键是求出分布列,只要求出了随机变量

的分布列,就可以套用均值的公式求解,对于 aX+b 型随机变量 的均值,可以利用 E(aX+b)=aE(X)+b 求解,当然也可以先求出 aX+b 的分布列,再用定义求解.

?思考题 2 (1)已知随机变量 X 的分布列为 X P 求:①E(X); ②若 Y=5X+4,求 E(Y). 0 0.4 2 m 4 0.3

解析 直接利用离散型随机变量的均值公式及性质求解. ①由随机变量分布列的性质,得 0.4+m+0.3=1. ∴m=0.3. ∴E(X)=0×0.4+2×0.3+4×0.3=1.8. ②由公式 E(aX+b)=aE(X)+b,得 E(Y)=E(5X+4)=5E(X)+4=5×1.8+4=13.

(2)设离散型随机变量 ξ 可能的取值为 1,2,3,4,P(ξ=k)=ak +b(k=1,2,3,4),又 ξ 的数学期望 E(ξ)=3,则 a+b=________.

解析

由分布列的性质,可得

P(ξ=1)+P(ξ=2)+P(ξ=3)+P(ξ=4)=1. 即(a+b)+(2a+b)+(3a+b)+(4a+b)=1, 化简,可得 10a+4b=1.① 由数学期望公式,可得 E(ξ) = 1×(a + b) + 2×(2a + b) + 3×(3a + b) + 4×(4a + b) = 30a+10b. ∴30a+10b=3.②

1 1 由①,②联立,解得 a= ,b=0,∴a+b= . 10 10

1 答案 10

题型三

两点分布的均值

例3

某运动员投篮命中率为 P=0.8.

(1)求一次投篮时命中次数 ξ 的期望; (2)求重复 5 次投篮时,命中次数 η 的期望.

思路分析

根据题意,ξ 服从两点分布,η 服从二项分布,

由相应公式可得 ξ、η 的期望值.

解析

(1)投篮一次,命中次数 ξ 的分布列为 ξ P 0 0.2 1 0.8

,则 E(ξ)=0.8. (2)由题意, 重复 5 次投篮, 命中次数 η 服从二项分布, 即 η~ B(5,0.8),则 E(η)=np=5×0.8=4.

探究 3

解这类题的关键要准确判断变量是否服从二项分

布、两点分布. ?思考题 3 在篮球比赛中,罚球命中 1 次得 1 分,不中得

0 分.如果某运动员罚球命中的概率为 0.7,那么他罚球 1 次的得 分 X 的均值是多少?

解析 显然这里的得分 X 服从参数 p=0.7 的二点分布,∴ E(X)=0.7. 故他罚球 1 次的得分 X 的均值为 0.7.

题型四

二项分布的均值

例4

一份数学模拟试卷由 25 个选择题构成, 每个选择题有

4 个选项,其中有且仅有一个选项是正确的,每题选对正确答案 得 4 分,不做选择或选错不得分,满分 100 分.张强选对任一题 的概率为 0.8,求他在这次数学测验中的成绩的期望.

解析

张强在数学测验中选择了正确答案的选择题的个数

服从二项分布 X~B(25,0.8),其数学期望可有简便算法. 设张强做对选择题的个数为 X,则 X~B(25,0.8),所以 E(X) =np=25×0.8=20. 因为答对每题得 4 分,所以张强在这次数学测验中的成绩为 4X,其成绩的期望值为 E(4X)=4E(X)=4×20=80.

探究 4

本例中,利用二项分布的均值公式 E(X)=np 快速地

求出所求的期望值,当 n 的值越大时,这一公式更加显得威力无 比,因此我们要熟练掌握这一公式,并能灵活地运用它,在运用 时,需要注意的是,只有随机变量 X 服从二项分布时,才能运用 该公式来求均值.

?思考题 4

某寻呼台共有客户 3 000 人,若寻呼台准备了

100 份小礼品,邀请客户在指定时间内来领取.假设任一客户去 领奖的概率为 4%.问寻呼台能否向每一位客户都发出领奖邀请? 若能使每一位领奖人都得到礼品,寻呼台至少应准备多少份礼 品?

解析

可能来多少人,是一个随机变量.由于每人是否去

领奖,相互间是独立的,因而随机变量服从二项分布,用数学期 望来反映平均领奖人数,即能说明是否可行.

答案 设来领奖的人数 ξ=k(k=0,1,?,3 000),
k 3 所 以 P(ξ = k) = C k 3 000 (0.04) (1 - 0.04) 000 - k

, 则 ξ ~ B(3

000,0.04),那么 E(ξ)=3 000×0.04=120(人)>100(人). 答:寻呼台至少应准备 120 份礼品.


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