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2.4.1-1 抛物线及其标准方程


资中县龙结中学数学组

(第一课时)
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你对抛物线有哪些认识?
y

二次函数是开口向 上或向下的抛物线

o

x

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生活中存在各种 形式的抛物线

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投篮运动

抛球运动

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点M(x,y)与定点F(4,0)的距离和它到

定直线l: x= 25 的距离的比是常数 4 ,求
点M的轨迹.
x2 y2 + =1 25 9
4
5

y

x=

25 4

M的轨迹是以F为焦点,长轴、 短轴长分别为10、6的椭圆.

M(x,y) d F(4,0)

l x

O

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点M(x,y)与定点F(5,0)的距离和它到

定直线l: x= 16 的距离的比是常数 5 ,求
点M的轨迹.
x y =1 16 9
2 2

5

4

y

x=

16 5

M(x,y)

d M的轨迹是以F为焦点,实轴、 虚轴长分别为8、5的双曲线.
O

l

F(5,0) x

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若点M(x,y)与定点F(3,0)的距离和 它到定直线l:x=-3的距离的比是常数1, 则点M的轨迹是什么呢?

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在平面内,到一个定点F距离 和定直线l(l不经过点F)的距离 H 相等的点的轨迹叫做抛物线. 点F叫做抛物线的焦点, 直线l 叫抛物线的准线.

d

M

·
焦 点

C

·
F

l
准线

F在l上时,轨迹是什么?
F在l上时,轨迹是过点F垂直于l的一条直线.
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l N 如何建立直角坐标系?

M

· · F

y

y

y

N Ko F

M
x

N K oF

M

N
x Ko F

M
x

L

L

L
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取过焦点F且垂直于准线l的直线 为x轴,线段KF的中垂线y轴.
设︱KF︱= p p p 则F( 2 ,0),l:x = 2 设点M的坐标为(x,y), 由定义可知,

l y N K o
M

· · F

x

p2 p ( x ? ) ? y2 ? x ? 2 2
化简得:

y2 = 2px(p>0)
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方程 y2 = 2px(p>0)叫做 抛物线的标准方程.
它表示抛物线的焦点在 X轴的 正半轴上. p p 则F( 2 ,0),l:x = 2 其中 p 为正常数,它的几何意义是: 焦点到准线的距离 N

l y
M

K o

· · F

x

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﹒ ﹒ ﹒
y

图形 o

标准方程 焦点坐标 准线方程
y 2 ? 2 px

x

y

? p ? 0?
y 2 ? ?2 px ? p ? 0?

p ( , 0) 2
p (? , 0) 2

p x?? 2
p x? 2
p y?? 2
p y? 2
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o

x

y

o

x


o

y

x 2 ? 2 py ? p ? 0?
x ? ?2 py
2

p (0, ) 2
p (0, ? ) 2

x

? p ? 0?

如何判断抛物线的 焦点位置和开口方向?

1.一次项的变量为抛物线的焦点所在轴,且一次项系 数为正就在正半轴,一次项系数为负就在负半轴. 2.一次项系数的正负决定了抛物线的开口方向.

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例1 求适合下列条件的抛物线的标准方程: (1)焦点是F(0,-2) (2)准线为y=-1 (3)过点M(-6,6) (4)焦点F在直线l:3x-2y-6=0上 解:

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例2 (1)如果抛物线的顶点在原点,焦点在y轴上,抛物线上 一点M(m,-3)到焦点的距离等于5,求抛物线方程. (2)点M与点F(2,0)的距离比它到直线x=-4的距离 小2,求M的轨迹方程.
解:
y N A N y M

. M(m,-3)
F

x

O

F

x

x=-4 x=-2
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定义 在平面内, 与一个定点 F和一条定 直线l(l不 经过点F)的 距离相等的 点的轨迹叫 抛物线.点F 叫做抛物线 的焦点,直 线l叫做抛 物线的准线.
l

图形
y
O

标准方程
x

焦点

准线方程

F
l
O

y2=2px (p>0) y2=-2px (p>0) x2=2py (p>0)

p ( ,0 ) 2 p ( ? ,0 ) 2 p (0, ) 2

p x?? 2 p x? 2 p y?? 2 p y? 2

y
F

x

y
F
O

l

x

y
l
O

F

x

p x2=-2py (0, ? ) (p>0) 2

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课堂练习 课堂作业

第67页练习第1题 第73页习题2.4A组第2题 第73页习题2.4A组第3、4题

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