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一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题 给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.) 1.(文)(2014· 福建省闽侯二中、永泰二中、连江侨中、长乐二中联 3x2 考)函数 f(x)= +lg(3x+1)的定义域是( 1-x 1 A.(-3,+∞) )

/>A.b<a<c

B.c<b<a

C.b<c<a

D.c<a<b )

(理)(2014· 北京朝阳区期中)若 0<m<1,则( A.logm(1+m)>logm(1-m) C.1-m>(1+m)2

B.logm(1+m)>0 1 1 D.(1-m)3>(1-m)2

5.(2014· 山东省菏泽市期中)若 f(x)是 R 上周期为 5 的奇函数,且满 足 f(1)=1,f(2)=3,则 f(8)-f(4)的值为( A.-1 B.1 C.-2 ) D.2

1 1 1 1 B.(-3,1) C.(-3,3) D.(-∞,-3)

(理)(2014· 山东省德州市期中)已知函数 f(x)的定义域为(0,1),则函 数 f(2x+1)的定义域为( A.(-1,1) ) C.(-1,0) 1 D.(2,1)

6.(文)(2014· 福建省闽侯二中、永泰二中、连江侨中、长乐二中联 ?log4x,x>0 1 考)已知函数 f(x)=? x ,则 f[f(16)]=( ?3 ,x≤0 A.9 1 B.-9 1 C.9 ) D.-9

1 B.(-2,0)

2.(2014· 营口三中期中)函数 f(x)=ex+x-2 的零点所在的一个区间 是( ) A.(-2,-1) B.(-1,0) C.(0,1) D.(1,2) )

-x ?x≥3?, ?2 (理)(2014· 江西临川十中期中)若 f(x)=? 则 f(- ?f?x+3? ?x<3?,

3.(文)(2014· 枣庄市期中)函数 y= 16-3x的值域是( A.[0,+∞) B.[0,4] C.[0,4) D.(0,4)

4)等于( A.2

) B. 1 2 C.32 D. 1 32

(理)(2014· 北京海淀期中)下列函数中,值域为(0,+∞)的函数是 ( ) A.f(x)= x B.f(x)=lnx C.f(x)=2x
2

7.(文)(2014· 河南省实验中学期中)下列函数中,既是偶函数,又在 D.f(x)=tanx
0.3

区间(1,2)内是增函数的为( A.y=cos2x

) ex-e-x C.y= 2 D.y=x3+1

4. (文)(2014· 甘肃省金昌市二中期中)设 a=0.3 , b=2 , c=log0.34, 则( )
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B.y=log2|x|

(理)(2014· 广东梅县东山中学期中)下列函数中, 既是偶函数又在(0,

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+∞)上是单调递增的是( A.y=2
|x+1| 2

) C.y=cosx D.y=log0.5|x|

A.(1,+∞)

B.(-∞,3)

B.y=x +2|x|+3

3 C.[ ,3) 2

D.(1,3)

8.(2014· 福建省闽侯二中、永泰二中、连江侨中、长乐二中联考)定 义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+3)=-f(x),当-3≤x<-1 时,f(x)=-(x +2)2,当-1≤x<3 时,f(x)=x.则 f(1)+f(2)+f(3)+?+f(2013)=( A.338 B.337 C.1678 D.2013 )

11. (文)(2014· 银川九中一模)如果不等式 f(x)=ax2-x-c>0 的解集为 {x|-2<x<1},那么函数 y=f(-x)的大致图象是( )

9.(文)(2014· 枣庄市期中)如图是张大爷离开家晨练过程中离家距离 y 与行走时间 x 之间函数关系的图象.若用黑点表示张大爷家的位置, 则张大爷散步行走的路线可能是( )

(理)(2014· 抚顺市六校联合体期中)函数 f(x)=(1-cosx)sinx 在[-π, π] 的图象大致为( 1 (理)(2014· 泸州市一诊)函数 f(x)=(1-x2)sinx 的图象大致为( ) )

12.(2014· 山西曲沃中学期中)如图,直角坐 标平面内的正六边形 ABCDEF,中心在原点, 边长为 a,AB 平行于 x 轴,直线 l:y=kx+t(k 为常数)与正六边形交于 M、N 两点,记△OMN 的面积为 S, 则关于函数 S=f(t)的奇偶性的判断

??3-a?x-a?x<1?, 10.(2014· 安徽程集中学期中)已知 f(x)=? 是(- ?logax?x≥1?. ∞,+∞)上的增函数,那么实数 a 的取值范围是(
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正确的是(

) B.一定是偶函数 D.奇偶性与 k 有关

A.一定是奇函数 C.既不是奇函数,也不是偶函数

)
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二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分,把正确答 案填在题中横线上.) 13.(2014· 营口三中期中)定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(x+1)=f(1 -x).若当 0≤x<1 时,f(x)=2 ,则 f(log26)=________. 14.(文)(2014· 河南省实验中学期中)方程 4x-2x+1-3=0 的解是 ________. (理)(2014· 长安一中质检)方程 ________. 15.(2014· 北京海淀期中)已知 a=log25,2b=3,c=log32,则 a,b, c 的大小关系为________. 16.(文)(2014· 北京朝阳区期中)已知函数 f(x)=
2 ?-x -2x, x≥0, ? 2 若 f(3-a2)<f(2a),则实数 a 的取值范围是 ?x -2x, x<0. x

2 ? x +3x 1 ? a a ? 1 2 ? ? ?=a1b2-a2b1,则函数 f(x)=? ④定义运算? 1 ?的 ? ? b1 b2 ? x 3x ? ?

1 图象在点(1,3)处的切线方程是 6x-3y-5=0.其中正确命题的序号是 ________(把所有正确命题的序号都写上). 三、解答题(本大题共 6 个小题,共 74 分,解答应写出文字说明,

3 1 +3=3x-1 的实数解为 3 -1
x

证明过程或演算步骤.) 17.(本小题满分 12 分)(文)(2014· 甘肃省金昌市二中期中)已知函数 f(x)=2ax2+4x-3-a,a∈R. (1)当 a=1 时,求函数 f(x)在[-1,1]上的最大值; (2)如果函数 f(x)在 R 上有两个不同的零点,求 a 的取值范围. (理)(2014· 北京朝阳区期中)已知函数 f(x)=x2-4x+a+3,a∈R. (1)若函数 y=f(x)的图象与 x 轴无交点,求 a 的取值范围; (2)若函数 y=f(x)在[-1,1]上存在零点,求 a 的取值范围; (3)设函数 g(x)=bx+5-2b, b∈R.当 a=0 时, 若对任意的 x1∈[1,4], 总存在 x2∈[1,4],使得 f(x1)=g(x2),求 b 的取值范围.

________. (理)(2014· 湖南省五市十校联考)下列命题: π ①函数 y=sin(x-2)在[0,π]上是减函数; ②点 A(1,1),B(2,7)在直线 3x-y=0 两侧; ③数列{an}为递减的等差数列,a1+a5=0,设数列{an}的前 n 项和 为 Sn,则当 n=4 时,Sn 取得最大值;

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18.(本小题满分 12 分)(文)(2014· 韶关市曲江一中月考)已知二次函 数 f(x)满足条件:①在 x=1 处导数为 0; ②图象过点 P(0,-3);③在点 P 处的切线与直线 2x+y=0 平行. (1)求函数 f(x)的解析式; (2)求在点 Q(2,f(2))处的切线方程. (理)(2014· 河南淇县一中模拟)已知函数 f(x)=e -ln(x+m). (1)设 x=0 是 f(x)的极值点,求 m,并讨论 f(x)的单调性; (2)证明当 m≤2 时,f(x)>0.
x x

19.(本小题满分 12 分)(文)(2014· 枣庄市期中)已知函数 f(x)=a- 2 (a∈R). 2 -1 (1)用单调函数的定义探索函数 f(x)的单调性; (2)求实数 a 使函数 f(x)为奇函数. -2x+b (理)(2014· 泉州实验中学期中)已知定义域为 R 的函数 f(x)= x+1 2 +a 是奇函数. (1)求 a,b 的值; (2)已知 f(x)是减函数, 若对任意的 t∈R, 不等式 f(t2-2t)+f(2t2-k)<0 恒成立,求 k 的取值范围.

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20.(本小题满分 12 分)(文)(2014· 福州市八县联考)函数 f(x)=2ax- x2+lnx,a 为常数. 1 (1)当 a=2时,求 f(x)的最大值; (2)若函数 f(x)在区间[1,2]上为单调函数,求 a 的取值范围. a (理)(2014· 韶关市曲江一中月考)如图是函数 f(x)=3x3-2x2+3a2x 的 导函数 y=f ′(x)的简图,它与 x 轴的交点是(1,0)和(3,0). (1)求函数 f(x)的极小值点和单调递减区间; (2)求实数 a 的值.

21.(本小题满分 12 分)(文)(2014· 湖南省五市十校联考)已知 A,B, → ,OB → ,OC → 满足OA →= C 是直线 l 上的不同三点,O 是 l 外一点,向量OA 3 → +(lnx-y)OC → ,记 y=f(x). (2x2+1)OB (1)求函数 y=f(x)的解析式; (2)求函数 y=f(x)的单调区间.

(理)(2014· 河北冀州中学期中)已知函数 f(x)=ax3+bx2+cx+a2(a>0) 的单调递减区间是(1,2)且满足 f(0)=1. (1)求 f(x)的解析式; 1 (2)对任意 m∈(0,2],关于 x 的不等式 f(x)<2m3-mlnm-mt+3 在 x ∈[2,+∞)上有解,求实数 t 的取值范围.

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22.(本小题满分 14 分)(文)(2013· 泗阳县模拟)某生产旅游纪念品的 工厂,拟在 2013 年度将进行系列促销活动.经市场调查和测算,该纪念 品的年销售量 x 万件与年促销费用 t 万元之间满足 3-x 与 t+1 成反比 例.若不搞促销活动,纪念品的年销售量只有 1 万件.已知工厂 2013 年生产纪念品的固定投资为 3 万元,每生产 1 万件纪念品另外需要投资 32 万元.当工厂把每件纪念品的售价定为:“年平均每件生产成本的 150%”与“年平均每件所占促销费一半”之和时, 则当年的产量和销量 相等.(利润=收入-生产成本-促销费用) (1)求出 x 与 t 所满足的关系式; (2)请把该工厂 2013 年的年利润 y 万元表示成促销费 t 万元的函数; (3)试问:当 2013 年的促销费投入多少万元时,该工厂的年利润最 大? (理)(2014· 安徽屯溪一中质检)某沿海地区养殖的一种特色海鲜上 市时间仅能持续 5 个月,预测上市初期和后期会因供应不足使价格呈持 续上涨态势,而中期又将出现供大于求,使价格连续下跌.现有三种价 格模拟函数:①f(x)=p· qx;②f(x)=px2+qx+1;③f(x)=x(x-q)2+p.(以 上三式中 p,q 均为常数,且 q>1). (1)为准确研究其价格走势, 应选哪种价格模拟函数(不必说明理由); (2)若 f(0)=4,f(2)=6,求出所选函数 f(x)的解析式(注:函数定义域 是[0,5].其中 x=0 表示 8 月 1 日,x=1 表示 9 月 1 日,?,以此类推); (3)在(2)的条件下研究下面课题:为保证养殖户的经济效益,当地政
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府计划在价格下跌期间积极拓宽外销,请你预测该海鲜将在哪几个月份 内价格下跌.

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一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题 给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.) 1.(文)(2014· 福建省闽侯二中、永泰二中、连江侨中、长乐二中联 3x2 考)函数 f(x)= +lg(3x+1)的定义域是( 1-x 1 A.(-3,+∞) [答案] B [解析] ) (

3.(文)(2014· 枣庄市期中)函数 y= 16-3x的值域是( A.[0,+∞) [答案] C[解析] B.[0,4] C.[0,4) D.(0,4)

)

要使函数有意义,应有 16-3x≥0,∴3x≤16,

又 3x>0,∴0<3x≤16,∴0≤16-3x<16,∴0≤y<4,故选 C. (理)(2014· 北京海淀期中)下列函数中,值域为(0,+∞)的函数是 ) A.f(x)= x B.f(x)=lnx C.f(x)=2x D.f(x)=tanx

1 1 1 1 B.(-3,1) C.(-3,3) D.(-∞,-3) 为使 f(x)= 3x +lg(3x+1)有意义, 1-x 则(
2

[答案] C[解析]

∵ x≥0,lnx∈R,2x>0,tanx∈R,∴选 C.

4. (文)(2014· 甘肃省金昌市二中期中)设 a=0.32, b=20.3, c=log0.34, ) A.b<a<c [答案] c<a<b. B.c<b<a C.b<c<a D.c<a<b

?1-x>0, 1 须? 解得-3<x<1,故选 B. ?3x+1>0, (理)(2014· 山东省德州市期中)已知函数 f(x)的定义域为(0,1),则函数 f(2x+1)的定义域为( A.(-1,1) [答案] B[解析] ) 1 B.(-2,0) C.(-1,0) 1 D.(2,1)

D [解析]

∵0<0.32<1,20.3>20=1,log0.34<log0.31=0,∴

(理)(2014· 北京朝阳区期中)若 0<m<1,则( A.logm(1+m)>logm(1-m) C.1-m>(1+m)2 [答案] D[解析]

)

B.logm(1+m)>0 1 1 D.(1-m) >(1-m) 3 2

要有 f(2x+1)有意义,应有 0<2x+1<1,

1 ∴-2<x<0,故选 B. 2.(2014· 营口三中期中)函数 f(x)=e +x-2 的零点所在的一个区间 是( ) A.(-2,-1) [答案] C[解析] B.(-1,0) C.(0,1) D.(1,2)
x

∵0<m<1,∴1<m+1<2,0<1-m<1,∴y=logmx

为减函数,y=(1-m)x 为减函数,∴logm(1+m)<logm1<logm(1-m),A、 1 1 B 错;(1+m)2>1>1-m,C 错;(1-m)3>(1-m)2,故正确答案为 D. 5.(2014· 山东省菏泽市期中)若 f(x)是 R 上周期为 5 的奇函数,且满

∵f(0)· f(1)=(e0-2)· (e-1)<0,∴选 C.
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足 f(1)=1,f(2)=3,则 f(8)-f(4)的值为( A.-1 B.1 C.-2

) D.2

7.(文)(2014· 河南省实验中学期中)下列函数中,既是偶函数,又在 区间(1,2)内是增函数的为( A.y=cos2x [答案] ) C.y= ex-e-x 2 D.y=x3+1

[答案] C [解析]

∵f(1)=1,f(2)=3,f(x)为奇函数,

B.y=log2|x|
3

∴f(-1)=-1,f(-2)=-3,∵f(x)周期为 5, ∴f(8)-f(4)=f(-2)-f(-1)=-2. 6.(文)(2014· 福建省闽侯二中、永泰二中、连江侨中、长乐二中联 ?log4x,x>0 1 考)已知函数 f(x)=? x ,则 f[f(16)]=( ?3 ,x≤0 A.9 1 B.-9 1 C.9 ) D.-9 B[解析]

ex-e-x y=x +1 是非奇非偶函数;y= 2 为奇函数;

y=cos2x 在(1,2)内不是单调增函数,故选 B. (理)(2014· 广东梅县东山中学期中)下列函数中,既是偶函数又在(0, +∞)上是单调递增的是( A.y=2|x+1| [答案] ) C.y=cosx D.y=log0.5|x|

B.y=x2+2|x|+3

[答案] C [解析]

?log4x,x>0 1 1 ∵f(x)=? x ∴f(16)=log416=-2, ?3 ,x≤0

B [解析]

y=2|x+1|是非奇非偶函数;y=cosx 在(0,+∞)上

不是单调增函数,y=log0.5|x|在(0,+∞)上单调递减,故选 B. 8.(2014· 福建省闽侯二中、永泰二中、连江侨中、长乐二中联考) 定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+3)=-f(x),当-3≤x<-1 时,f(x)=- (x+2)2,当-1≤x<3 时, f(x)=x.则 f(1)+f(2)+f(3)+?+f(2013)=( A.338 [答案] B.337 B[解析] C.1678 D.2013 )

1 1 f[f(16)]=f(-2)=3-2=9,故选 C.
-x ?x≥3?, ?2 (理)(2014· 江西临川十中期中)若 f(x)=? 则 f(-4) ?f?x+3? ?x<3?,

等于( A.2

) 1 B.2 D[解析] C.32
-x

∵定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+3)=-f(x), ∴

1 D.32

f(x+6)=f[(x+3)+3]=-f(x+3)=f(x), ∴f(x)是周期为 6 的周期函数. 又当-3≤x<-1 时,f(x)=-(x+2)2,当-1≤x<3 时,f(x)=x. ∴f(1)=1,f(2)=2,f(3)=f(-3)=-1,f(4)=f(-2)=0,f(5)=f(- 1)=-1, f(6)=f(0)=0,2013=6×335+3, 故 f(1)+f(2)+f(3)+?+f(2013) =335(1+2-1+0-1+0)+1+2-1=337,选 B.
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[答案]

?x≥3?, ?2 ∵f(x)=? ?f?x+3? ?x<3?,
-5

1 ∴f(-4)=f(-1)=f(2)=f(5)=2 =32.
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9.(文)(2014· 枣庄市期中)如图是张大爷离开家晨练过程中离家距离 y 与行走时间 x 之间函数关系的图象.若用黑点表示张大爷家的位置, 则张大爷散步行走的路线可能是( )

∞,+∞)上的增函数,那么实数 a 的取值范围是( A.(1,+∞) B.(-∞,3) 3 C.[2,3)

) D.(1,3)

[答案] C[解析]

?3-a>0, ∵f(x)在 R 上为增函数,∴?a>1, ?3-2a≤0,

3 ∴2≤a<3,故选 C. [答案] D[解析] 由图象知,张大爷散步时,离家的距离 y 随散步 11.(文)(2014· 银川九中一模)如果不等式 f(x)=ax2-x-c>0 的解集 为{x|-2<x<1},那么函数 y=f(-x)的大致图象是( )

行走时间 x 的变化规律是,先均速增加,中间一段时间保持不变,然后 匀速减小,故选 D. 1 (理)(2014· 泸州市一诊)函数 f(x)=(1- 2)sinx 的图象大致为( x )

[答案] C [解析] 由于不等式 ax2-x-c>0 的

解集为{x|-2<x<1},∴a<0,且-2 和 1 是方程 ax2-x-c=0 的两根,∴a=-1, c=-2, [答案] [解析] A 1 首先 y=1-x2为偶函数,y=sinx 为奇函数,从而 f(x)为奇 ∴f(x)=-x2-x+2,∴y=f(-x)=- x2+x+2,故选 C. (理)(2014· 抚顺市六校联合体期 中)函数 f(x)=(1-cosx)sinx 在[-π, π]的图象大致为( [答案] C )

函数,故排除 C、D;其次,当 x=0 时,f(x)无意义,故排除 B,选 A. ??3-a?x-a?x<1?, 10.(2014· 安徽程集中学期中)已知 f(x)=? 是(- ?logax?x≥1?.
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x x [解析] f(x)=(1-cosx)sinx=4sin3 cos , 2 2 π ∵f(2)=1,∴排除 D;∵f(x)为奇函数,∴排除 B; ∵0<x<π 时,f(x)>0,排除 A,故选 C.

-x).若当 0≤x<1 时,f(x)=2x,则 f(log26)=________. 3 [答案] 2[解析] ∵f(x+1)=f(1-x),∴函数 f(x)的图象关于直线 x

=1 对称,又 f(x)为偶函数,∴f(-x)=f(x),∴f(x+2)=f(x),∴f(x)是周 3 3 期为 2 的周期函数,∴f(log26)=f(log26-2)=f(log22),∵0<log22<1,

12.(2014· 山西曲沃中学期中)如图,直角坐 标平面内的正六边形 ABCDEF, 中心在原点, 边 长为 a,AB 平行于 x 轴,直线 l:y=kx+t(k 为常数)与正六边形交于 M、 N 两点,记△OMN 的面积为 S,则关于函数 S=f(t)的奇偶性的判断正确 的是( ) B.一定是偶函数 D.奇偶性与 k 有关 [答案] x=log34 [解析] 令 3x=t,则 t>0,∴原方程化为 14.(文)(2014· 河南省实验中学期中)方程 4x-2x+1-3=0 的解是 ________. [答案] x=log23 [解析] 令 2x=t,则 t>0, 即 2x=3,∴x=log23.

∴原方程化为 t2-2t-3=0,∴t=3. (理)(2014· 长安一中质检)方程

A.一定是奇函数 C.既不是奇函数,也不是偶函数 [答案] B[解析]

3 1 + =3x-1 的实数解为________. 3x-1 3 3 1 +3= t-1

设直线 OM、 ON 与正六边形的另一个交点分别为

M′、N′,由于正六边形关于点 O 成中心对称,∴OM′=OM,ON′ =ON,从而△OM′N′与△OMN 成中心对称,设直线 l 交 y 轴于 T, 直线 M′N′交 y 轴于 T′,则|OT|=|OT′|,且 S△OM′N′=S△OMN,即当 t<0 时,有 S=f(t)=f(-t),∴S=f(t)为偶函数. 二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分,把正确答 案填在题中横线上.) 13.(2014· 营口三中期中)定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(x+1)=f(1
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t x 3,∴t=4,即 3 =4,∴x=log34. 15.(2014· 北京海淀期中)已知 a=log25,2b=3,c=log32,则 a,b, c 的大小关系为________. [答案] a>b>c[解析] 因为, a=log25>log24=2, c=log32<log33=1,

由 2b=3 得,b=log23,1=log22<log23<log24=2,所以 a>b>c. 16.(文)(2014· 北京朝阳区期中)已知函数 f(x)=

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2 ?-x -2x, x≥0, ? 2 若 f(3-a2)<f(2a),则实数 a 的取值范围是 ?x -2x, x<0.

1 图象在点(1, )处的切线方程是 6x-3y-5=0.其中正确命题的序号是 3 ________(把所有正确命题的序号都写上).

________. [答案] [解析] -3<a<1 根据所给分段函数,画图象如下:

[答案] [解析]

②④ π y=sin(x-2)=-cosx 在[0, π]上为增函数, ∴①错; ∵(3×1

-1)(3×2-7)<0,∴②正确;∵{an}为递减等差数列,∴d<0,∵a1+a5 =0,∴a1>0,a5<0,且 a3=0,∴当 n=2 或 3 时,Sn 取得最大值,故③ 1 错;由新定义知 f(x)=3x3+x2-x,∴f ′(x)=x2+2x-1, 1 1 ∴f ′(1)=2,故 f(x)在(1,3)处的切线方程为 y-3=2(x-1),即 6x -3y-5=0,∴④正确,故填②④. 可知函数 f(x)在整个定义域上是单调递减的, 由 f(3-a )<f(2a)可知,3-a >2a,解得-3<a<1. (理)(2014· 湖南省五市十校联考)下列命题: π ①函数 y=sin(x-2)在[0,π]上是减函数; ②点 A(1,1),B(2,7)在直线 3x-y=0 两侧; ③数列{an}为递减的等差数列,a1+a5=0,设数列{an}的前 n 项和 为 Sn,则当 n=4 时,Sn 取得最大值; ? a1 ④定义运算? ? b1 x2+3x 1 ? ? a2 ? ? ?=a1b2-a2b1,则函数 f(x)=? 1 ?的 ? b2 ? x x 3 ? ?
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2 2

三、解答题(本大题共 6 个小题,共 74 分,解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤.) 17.(本小题满分 12 分)(文)(2014· 甘肃省金昌市二中期中)已知函数 f(x)=2ax2+4x-3-a,a∈R. (1)当 a=1 时,求函数 f(x)在[-1,1]上的最大值; (2)如果函数 f(x)在 R 上有两个不同的零点,求 a 的取值范围. [解析] (1)当 a=1 时,f(x)=2x2+4x-4

=2(x2+2x)-4=2(x+1)2-6. 因为 x∈[-1,1],所以 x=1 时,f(x)取最大值 f(1)=2.

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2 ?Δ>0, ?a +3a+2>0, ? ? (2)∵ ∴ ?a≠0, ?a≠0,

知 b 的取值范围是 b≥6 或 b≤-3. 18.(本小题满分 12 分)(文)(2014· 韶关市曲江一中月考)已知二次函 数 f(x)满足条件:①在 x=1 处导数为 0; ②图象过点 P(0,-3);③在点 P 处的切线与直线 2x+y=0 平行. (1)求函数 f(x)的解析式; (2)求在点 Q(2,f(2))处的切线方程. [解析] (1)设 f(x)=ax2+bx+c(a≠0),则 f ′(x)=2ax+b,

∴a<-2 或-1<a<0 或 a>0, ∴a 的取值范围是(-∞,-2)∪(-1,0)∪(0,+∞). (理)(2014· 北京朝阳区期中)已知函数 f(x)=x2-4x+a+3,a∈R. (1)若函数 y=f(x)的图象与 x 轴无交点,求 a 的取值范围; (2)若函数 y=f(x)在[-1,1]上存在零点,求 a 的取值范围; (3)设函数 g(x)=bx+5-2b, b∈R.当 a=0 时, 若对任意的 x1∈[1,4], 总存在 x2∈[1,4],使得 f(x1)=g(x2),求 b 的取值范围. [解析] (1)∵f(x)的图象与 x 轴无交点, ∴Δ=16-4(a+3)<0, ∴a>1.

?f ′?1?=0, 由题意有?f?0?=-3, ?f ′?0?=-2,
∴f(x)=x2-2x-3.

?2a+b=0, 即?c=-3, ?b=-2,

?a=1, 解得?b=-2, ?c=-3.

(2)∵f(x)的对称轴为 x=2, ∴f(x)在[-1,1]上单调递减, 欲使 f(x)在[- 1,1]上存在零点,应有 ?f?1?≤0, ?a≤0, ? 即? ∴-8≤a≤0. ?f?-1?≥0. ?8+a≥0, (3)若对任意的 x1∈[1,4],总存在 x2∈[1,4],使 f(x1)=g(x2),只需函 数 y=f(x)的值域为函数 y=g(x)值域的子集即可.∵函数 y=f(x)在区间 [1,4]上的值域是[-1,3],当 b>0 时,g(x)在[1,4]上的值域为[5-b,2b+5], ?5-b≤-1, 只需? ∴b≥6;当 b=0 时,g(x)=5 不合题意,当 b<0 时, ?2b+5≥3, ?2b+5≤-1, g(x)在[1,4]上的值域为[2b+5,5-b], 只需? ∴b≤-3.综上 ?5-b≥3,
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(2)由(1)知 f(x)=x2-2x-3,f ′(x)=2x-2, ∴切点 Q(2,-3),在 Q 点处切线斜率 k=f ′(2)=2, 因此切线方程为 y+3=2(x-2),即 2x-y-7=0. (理)(2014· 河南淇县一中模拟)已知函数 f(x)=ex-ln(x+m). (1)设 x=0 是 f(x)的极值点,求 m,并讨论 f(x)的单调性; (2)证明当 m≤2 时,f(x)>0. [解析] (1)f ′(x)=ex- 1 , x+m

由 x=0 是 f(x)的极值点得 f ′(0)=0,所以 m=1. 于是 f(x)=ex-ln(x+1),定义域为(-1,+∞),f ′(x)=ex- 1 . x+1

函数 f ′(x)=ex-

1 在(-1,+∞)上单调递增,且 f ′(0)=0, x+1

(2)求实数 a 使函数 f(x)为奇函数. [解析] (1)f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞).任取非零实数 x1,

因此,当 x∈(-1,0)时,f ′(x)<0;当 x∈(0,+∞)时,f ′(x)>0. 所以 f(x)在(-1,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增. (2)当 m≤2,x∈(-m,+∞)时,ln(x+m)≤ln(x+2), 故只需要证明当 m=2 时,f(x)>0. 当 m=2 时,函数 f ′(x)=ex- 1 在(-2,+∞)上单调递增. x+2

x2,且 x1<x2,

又 f ′(-1)<0,f ′(0)>0,故 f ′(x)=0 在(-2,+∞)上有唯一实根 x0,且 x0∈(-1,0). 当 x∈(-2,x0)时,f ′(x)<0;当 x∈(x0,+∞)时,f ′(x)>0, 从而当 x=x0 时,f(x)取得最小值. 由 f ′(x0)=0 得 ex0= 1 , x0+2 从而 f(x1)-f(x2)<0,所以 f(x1)<f(x2). 所以 f(x)在(-∞,0)上单调递增. 同理可证,f(x)在(0,+∞)上单调递增. (2)解法一:对?x∈(-∞,0)∪(0,+∞),有-x∈(-∞,0)∪(0, +∞). f(x)+f(-x)=a- 故 f(x)≥f(x0)>0, 综上,当 m≤2 时,f(x)>0. 19.(本小题满分 12 分)(文)(2014· 枣庄市期中)已知函数 f(x)=a- 2 (a∈R). 2 -1
x

所以 ln(x0+2)=-x0,

2 2 2 2· 2x +a- -x =2a- x - =2a+ 2 -1 2 -1 2 -1 1-2x
x

2· 2x-2 =2a+2. 2x-1 若函数 f(x)为奇函数,则有 2a+2=0,解得 a=-1, 此时 f(-x)=-f(x). 所以 a=-1 为所求.
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(1)用单调函数的定义探索函数 f(x)的单调性;
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解法二:若函数 f(x)为奇函数,则 f(-1)=-f(1),即 a- (a- 2 ).解得 a=-1. 2 -1
1

2 =- 2 -1
-1

减函数,∵f(x)是奇函数,∴不等式 f(t2-2t)+f(2t2-k)<0 等价于 f(t2- 2t)<f(k-2t2),∵f(x)为减函数,∴t2-2t>k-2t2.即对一切 t∈R 有:3t2- 2t-k>0, 1 ∴判别式 Δ=4+12k<0,∴k<-3. 20.(本小题满分 12 分)(文)(2014· 福州市八县联考)函数 f(x)=2ax-

当 a=-1 时,对?x∈(-∞,0)∪(0,+∞),有-x∈(-∞,0)∪ (0,+∞). f(x)+f(-x)=-1- 2 2 2 2· 2 -1- -x =-2- x - =0, 2 -1 2 -1 2 -1 1-2x
x x

x2+lnx,a 为常数. 1 (1)当 a=2时,求 f(x)的最大值; (2)若函数 f(x)在区间[1,2]上为单调函数,求 a 的取值范围.

所以 f(-x)=-f(x),即函数 f(x)为奇函数. 所以 a=-1 为所求. (理)(2014· 泉州实验中学期中)已知定义域为 R 的函数 f(x)= 是奇函数. (1)求 a,b 的值; (2)已知 f(x)是减函数, 若对任意的 t∈R, 不等式 f(t2-2t)+f(2t2-k)<0 恒成立,求 k 的取值范围. [解析] (1)∵f(x)是奇函数,定义域为 R, -2 +b 2x+1+a
x

[解析]

1 (1)当 a=2时, f(x)=x-x2+lnx, 则 f(x)的定义域为(0, +∞),

1 -?2x+1??x-1? ∴f ′(x)=1-2x+ x = . x 由 f ′(x)>0,得 0<x<1;由 f ′(x)<0,得 x>1; ∴f(x)在(0,1)上是增函数,在(1,+∞)上是减函数. ∴f(x)的最大值为 f(1)=0. 1 (2)∵f ′(x)=2a-2x+ x. 若函数 f(x)在区间[1,2]上为单调函数, 则 f ′(x)≥0,或 f ′(x)≤0 在区间[1,2]上恒成立. 1 1 ∴2a-2x+x ≥0,或 2a-2x+ x≤0 在区间[1,2]上恒成立. 1 1 即 2a≥2x-x ,或 2a≤2x- x在区间[1,2]上恒成立.

b-1 1-2x ∴f(0)=0,即 =0?b=1,∴f(x)= , a+2 a+2x+1 1 1-2 1-2 又由 f(1)=-f(-1)知, =- ,∴a=2. a+4 a+1 1-2x 1 1 (2)由(1)知 f(x)= x+1=- + x 2 2 +1,易知 f(x)在(-∞,+∞)上为 2+2
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1 1 设 h(x)=2x- ,∵h′(x)=2+ 2>0, x x 1 ∴h(x)=2x-x 在区间[1,2]上为增函数. 7 ∴h(x)max=h(2)=2,h(x)min=h(1)=1, 7 7 1 ∴只需 2a≥2,或 2a≤1, ∴a≥4,或 a≤2. a (理)(2014· 韶关市曲江一中月考)如图是函数 f(x)=3x3-2x2+3a2x 的 导函数 y=f ′(x)的简图,它与 x 轴的交点是(1,0)和(3,0). (1)求函数 f(x)的极小值点和单调递减区间; (2)求实数 a 的值. [解析] 增函数; 当 1<x<3 时,f ′(x)<0,f(x)在(1,3)上为减函数; 当 x>3 时,f ′(x)>0,f(x)在(3,+∞)为增函数; ∴x=3 是函数 f(x)的极小值点,函数 f(x)的单调减区间是(1,3). ?f ′?1?=0, (2)f ′(x)=ax -4x+3a ,由图知 a>0 且? ?f ′?3?=0,
2 2

21.(本小题满分 12 分)(文)(2014· 湖南省五市十校联考)已知 A,B, → ,OB → ,OC → 满足OA →= C 是直线 l 上的不同三点,O 是 l 外一点,向量OA 3 → +(lnx-y)OC → ,记 y=f(x). (2x2+1)OB (1)求函数 y=f(x)的解析式; [解析] (2)求函数 y=f(x)的单调区间.

→ =(3x2+1)OB → +(lnx-y)OC → ,且 A,B,C 是直线 l (1)∵OA 2

上的不同三点, 3 3 ∴(2x2+1)+(lnx-y)=1,∴y=2x2+lnx.
2 3 2 1 3x +1 (2)∵f(x)=2x +lnx,∴f ′(x)=3x+ x = x ,

(1)由图象可知:当 x<1 时,f ′(x)>0,f(x)在(-∞,1)上为

3 ∵f(x)=2x2+lnx 的定义域为(0,+∞), ∴f ′(x)= 3x2+1 x 在(0,+∞)上恒正,

∴y=f(x)在(0,+∞)上为增函数, 即 y=f(x)的单调增区间为(0,+∞). (理)(2014· 河北冀州中学期中)已知函数 f(x)=ax3+bx2+cx+a2(a>0) 的单调递减区间是(1,2)且满足 f(0)=1. (1)求 f(x)的解析式;

?a>0, 2 ∴?a-4+3a =0, ?9a-12+3a2=0.

∴a=1.

1 (2)对任意 m∈(0,2],关于 x 的不等式 f(x)<2m3-mlnm-mt+3 在 x ∈[2,+∞)上有解,求实数 t 的取值范围.
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[解析]

(1)由 f(0)=a2=1,且 a>0,可得 a=1.

由 m∈(0,2],列表如下: m h′(m) h(m) (0,1) - ↘ 1 0 极小值 (1,2) + ↗ 2

由已知,得 f′(x)=3ax2+2bx+c=3x2+2bx+c, ∵函数 f(x)=ax3+bx2+cx+a2 的单调递减区是(1,2), ∴f ′(x)<0 的解是 1<x<2. 所以方程 3x2+2bx+c=0 的两个根分别是 1 和 2, 9 ? ?b=- , ?3+2b+c=0, 2 ∴? 得? ?12+4b+c=0, ? ?c=6. 9 ∴f(x)=x3-2x2+6x+1.

1 1 ∴当 m=1 时,h(m)min=h(m)极小值=2,∴t<2. 22.(本小题满分 14 分)(文)(2013· 泗阳县模拟)某生产旅游纪念品的 工厂,拟在 2013 年度将进行系列促销活动.经市场调查和测算,该纪念 品的年销售量 x 万件与年促销费用 t 万元之间满足 3-x 与 t+1 成反比 例.若不搞促销活动,纪念品的年销售量只有 1 万件.已知工厂 2013 年生产纪念品的固定投资为 3 万元,每生产 1 万件纪念品另外需要投资 32 万元.当工厂把每件纪念品的售价定为:“年平均每件生产成本的 150%”与“年平均每件所占促销费一半”之和时, 则当年的产量和销量 相等.(利润=收入-生产成本-促销费用) (1)求出 x 与 t 所满足的关系式; (2)请把该工厂 2013 年的年利润 y 万元表示成促销费 t 万元的函数; (3)试问:当 2013 年的促销费投入多少万元时,该工厂的年利润最 大? [解析] (1)设比例系数为 k(k≠0).由题意知,3-x= k . t+1

(2)由(1),得 f ′(x)=3x2-9x+6=3(x-1)(x-2), ∵当 x>2 时,f ′(x)>0,∴f(x)在[2,+∞)上单调递增,x∈[2,+ ∞)时,f(x)min=f(2)=3, 1 要使 f(x)<2m3-mlnm-mt+3 在 x∈[2,+∞)上有解, 1 1 应有2m3-mlnm-mt+3>f(x)min, ∴2m3-mlnm-mt+3>3, 1 mt<2m3-mlnm 对任意 m∈(0,2]恒成立, 1 即 t<2m2-lnm 对任意 m∈(0,2]恒成立. 1 设 h(m)=2m2-lnm,m∈(0,2],则 t<h(m)min, 1 m -1 ?m-1??m+1? h′(m)=m-m= m = , m 令 h′(m)=0 得 m=1 或 m=-1,
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2

k 2 又 t=0 时, x=1.∴3-1= .∴k=2, ∴x 与 t 的关系是 x=3- 0+1 t+1
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(t≥0). (2)依据题意,可知工厂生产 x 万件纪念品的生产成本为(3+32x)万 3+32x t 元,促销费用为 t 万元,则每件纪念品的定价为:( x · 150%+2x)元/ 3+32x t 件.于是,y=x· ( x · 150%+2x)-(3+32x)-t,化简得, 99 32 t y= 2 - -2(t≥0). t+1 99 32 t 因此,工厂 2013 年的年利润 y= 2 - - (t≥0)万元. t+1 2 99 32 t 32 t+1 (3)由(2)知,y= 2 - -2(t≥0) =50-( + 2 ) t+1 t+1 ≤50-2 t+1 32 32 t+1 · 2 =42(当 2 = ,即 t=7 时,等号成立). t+1 t+1

是[0,5].其中 x=0 表示 8 月 1 日,x=1 表示 9 月 1 日,?,以此类推); (3)在(2)的条件下研究下面课题:为保证养殖户的经济效益,当地政 府计划在价格下跌期间积极拓宽外销,请你预测该海鲜将在哪几个月份 内价格下跌. [分析] (1)利用价格呈现前几次与后几次均连续上升,中间几次连

续下降的趋势,故可从三个函数的单调上考虑,前面两个函数没有出现 两个递增区间和一个递减区间,应选 f(x)=x(x-q)2-p 为其模拟函数; (2)由题中条件:f(0)=4,f(2)=6,得方程组,求出 p,q 即可得到 f(x)的 解析式;(3)确定函数解析式,利用导数小于 0,即可预测该海鲜产品在 哪几个月份内价格下跌. [解析] (1)根据题意,应选模拟函数 f(x)=x(x-q)2+p.

所以,当 2013 年的促销费用投入 7 万元时,工厂的年利润最大,最 大利润为 42 万元. (理)(2014· 安徽屯溪一中质检)某沿海地区养殖的一种特色海鲜上市 时间仅能持续 5 个月,预测上市初期和后期会因供应不足使价格呈持续 上涨态势,而中期又将出现供大于求,使价格连续下跌.现有三种价格 模拟函数:①f(x)=p· qx;②f(x)=px2+qx+1;③f(x)=x(x-q)2+p.(以上 三式中 p,q 均为常数,且 q>1). (1)为准确研究其价格走势, 应选哪种价格模拟函数(不必说明理由); (2)若 f(0)=4,f(2)=6,求出所选函数 f(x)的解析式(注:函数定义域
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?p=4, ?p=4, ? (2)∵f(0)=4,f(2)=6,∴? ∴ 2 ??2-q? =1, ?q=3, 所以 f(x)=x3-6x2+9x+4(0≤x≤5). (3)f(x)=x3-6x2+9x+4,f ′(x)=3x2-12x+9, 令 f ′(x)<0 得,1<x<3, 又∵x∈[0,5],∴f(x)在(0,1),(3,5)上单调递增,在(1,3)上单调递减. 所以可以预测这种海鲜将在 9 月,10 月两个月内价格下跌.


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