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2013年高考(新课标I卷)文科数学试卷(word版含答案)


2013 年普通高等学校招生全国统一考试

文 科 数 学
注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分。答卷前,考生务必将自己的姓名、准考 证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。 2.回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡 皮擦干净后,再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。 4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷
一. 选择题:本大题共 12 小题,第小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 (1)已知集合 A ? {1,2,3,3} , B ? {x | x ? n2 , n ? A},则 A ? B ? (A) {1,4} (B) {2,3} (C) {9,16} (D) {1,2}

(2)

1 ? 2i = (1 ? i ) 2
1 i 2
(B) ? 1 ?

(A) ? 1 ?

1 i 2 1 4

(C) 1 ?

1 i 2 1 6

(D) 1 ?

1 i 2

(3)从 1,2,3,4 中任取 2 个不同的数,则取出的 2 个数之差的绝对值为 2 的概率是 (A)

1 2

(B)

1 3

(C)

(D)

(4) 已知双曲线 C: (A) y ? ?

x2 y2 5 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的离心率为 ,则 C 的渐近线方程为 2 2 a b
(B) y ? ?
x x

1 x 4

1 x 3

(C) y ? ?
3 2

1 x 2

(D) y ? ? x

(5)已知命题 p : ?x ? R,2 ? 3 ; 命题 q : ?x ? R, x ? 1 ? x ,则下列命题中为真命题的是 (A) p ? q (B) ? p ? q (C) p ? ?q (D) ? p ? ? q

(6)设首项为 1,公比为 (A) Sn ? 2an ? 1

2 的等比数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,则 3
(B) Sn ? 3an ? 2 (C) Sn ? 4 ? 3an (D) Sn ? 3 ? 2an

-1-

(7)执行右边的程序框图,如果输入的 t ? [?1,3] ,则输出的 s 属于 (A) [?3,4] (B) [?5,2] (C) [?4,3] (D) [?2,5]


开始 输入t
t ?1



s ? 3t

s ? 4t ? t 2

输出S

(8) O 为坐标原点, F 为抛物线 C : y ? 4 2 x 的焦点, P 为
2

结束

C 上一点,若 | PF |? 4 2 ,则 ?POF 的面积为
(A) 2 (B) 2 2 (C) 2 3 (D) 4

(9)函数 f ( x) ? (1 ? cos x) sin x 在 [ ?? , ? ] 的图像大致为

y

y

-?
(A)
y

?
O

-? x
(B)

1

O
y

? x

-?

1

O

?
(C)

-? x

1

O

? x
(D)

(10)已知锐角△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a, b, c , 23cos2 A ? cos2 A ? 0, a ? 7, c ? 6 ,则 b ? (A)10 (B)9 (C)8 (D)5

2
(11)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 (A)16+8 ? (B)8+8 ? (C)16+16 ? (D)8+16 ?

2 4 2 4

4
(12) 已知函数 f (x) ? ?

?? x ? 2 x, x ? 0, 若 | f ( x) | ≥ ax , ?ln( x ? 1), x ? 0.
2

2

则 a 的取值范围是 (A) (??,0] (B) (??,1] (C) [?2,1] (D) [?2,0]
-2-

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题-第 21 题为必考题,每个试题考生都必须作答,第 22-24 题为选考题,考生根据要求作答。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。 (13)已知两个单位向量 a,b 的夹角为 60°,c = ta+ (1-t) b. 若 b·c =0,则 t = .

(14)设 x, y 满足约束条件 ?

?1 ? x ? 3, 则 z ? 2 x ? y 的最大值为 ?? 1 ? x ? y ? 0,

.

(15)已知 H 是球 O 的直径 AB 上一点, AH : HB ? 1 : 2 , AB ? 平面 ? , H 为垂足,? 截球 O 所截得 的面积为 ? ,则球 O 的表面积为 . (16)设当 x ? ? 时,函数 f ( x) ? sin x ? 2 cos x 取得最大值,则 cos ? ? .

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 (17) (本小题满分 12 分) 已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn 满足 S3 ? 0, S5 ? ?5 . (Ⅰ)求 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)求数列 ?

?

? 1 ? 的前 n 项和. ? a2 n ?1a2 n ?1 ?

(18) (本小题满分 12 分) 为了比较两种治疗失眠的药(分别称为 A 药,B 药)的疗效,随机地选取 20 位患者服用A药,20 位患者 服用B药,这 40 位患者在服用一段时间后,记录他们日平均增加的睡眠时间(单位:h).试验的观测结果 如下: 服用A药的日平均增加的睡眠时间: 0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5 2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2.4 服用 B 药的日平均增加的睡眠时间: 3.2 1. 7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4 1.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5 (Ⅰ)分别计算两组数据的平均数,从计算结果看,哪种药的疗效更好? (Ⅱ)根据两组数据完成下面茎叶图,从茎叶图看,哪种药的疗效更好?

-3-

A药
0. 1. 2. 3.

B药

(19) (本小题满分 12 分) 如图,三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, CA ? CB , AB ? AA , ?BAA ? 60? . 1 1 (Ⅰ)证明: AB ? A1C ; (Ⅱ)若 AB ? CB ? 2, A C ? 6 ,求三棱柱 ABC ? A1B1C1 的体积 1
A B

C

C1

B1
A1

(20) (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? e x (ax ? b) ? x2 ? 4x ,曲线 y ? f (x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程为 y ? 4 x ? 4 . (Ⅰ)求 a, b 的值; (Ⅱ)讨论 f (x ) 的单调性,并求 f (x ) 的极大值.

(21) (本小题满分 12 分) 已知圆 M : ( x ? 1)2 ? y 2 ? 1 ,圆 N : ( x ? 1)2 ? y 2 ? 9 ,动圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切,圆心 P 的轨迹为曲线 C . (Ⅰ)求 C 的方程; (Ⅱ)l 是与圆 P ,圆 M 都相切的一条直线,l 与曲线 C 交于 A, B 两点,当圆 P 的半径最长时,求 | AB | .

-4-

请考生在第 22、23、24 题中任选一道作答。注意:只能做所选定的题目。如果多做,则按所做的第一题 计分。作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。 22.(本小题满分 10 分)选修 4—1;几何证明选讲 如图,直线 AB 为圆的切线,切点为 B,点 C 在圆上, ?ABC 的角平分线 BE D B 交圆与点 E,DB 垂直 BE 交圆与点 D。 (1) 证明:DB=DE;
F

(2) 设圆的半径为 1, BC= 3 ,延长 CE 交 AB 与点 F,求 ?BCF 外接圆 的半径。
C

E

A

23.(本小题满分 10 分)选修 4—4;坐标系与参数方程 已知曲线 C1 的参数方程式 ?

? x ? 4 ? 5 cost , ( t 为参数) ,以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立坐 ? y ? 5 ? 5 sin t ,

标系,曲线C2的极坐标方程式为 ? ? 2 sin ? . (Ⅰ)把 C1 的参数方程化为极坐标方程;

( (Ⅱ)求 C1 与C2交点的极坐标 ? ? 0,0 ? ? ? 2?) 。

24.(本小题满分 10 分)选修 4—5;不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| 2 x ? 1 | ? | 2 x ? a | , g ( x) ? x ? 3 . (Ⅰ)当 a ? ?2 时,求不等式 f ( x) ? g ( x) 的解集; (2)设 a ? ?1 ,且当 x ? [ ?

a 1 , ) 时, f ( x) ? g ( x) ,求 a 的取值范围。 2 2

-5-

-6-

-7-

-8-

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